以高等数学为背景的高考数学试题的研究

以高等数学为背景的高考数学试题的研究

定边四中曹世鹏

摘要：本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议，为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。

关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中，中学数学里高等数学的含量正一步步扩大。选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容。选修2—2导数与微积分; 选修系列3：选修3—1 数学史选讲、选修3—3 球面上的几何、选修3—4 对称与群；选修系列4: 选修4—4 几何证明选讲、选修4—2 矩阵与变换、选修4 —3 平面坐标系中几种常见变换、选修4—4 极坐标与参数方程、选修4—5不等式、选修4—6初等数论初步。由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容，现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分

支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法。

作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作。

随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年来高考试卷中以

高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高，本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。

下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：

一、以高等数学的符号、概念为背景的问题

命题1: （2013年陕西理10）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y ，有：

A. x x

B. 2x 2 x

C. x y x y

D. x y x y 命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题。对任意的实数x,记不超过x的最大整数为x，通常称函数y x 为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数，即对任意X i，X2 R,若X i X2,则X i X2 ;若x, y R,则X y x y x y 1；由这条性质可推得选项D成立；若n N , x R, 则nx n x 。本题考查学生对取整符号的理解,以及对取整函数（高斯函数）概念的理解和性质的掌握。高等数学中涉及很多数学符号,比如表示直和、表示连乘符号、表示求和符号等。

A.不存在

B. 等于6

C. 等于3

D. 等于0 本题主要考查函数的左、右极限与极限的概念。

2

9

解：依题意可知：lim f (x) lim --------------- lim (x 3) 6

x 3 x 3 x 3 - 3

lim f (x) lim ln(x 2) ln(3 2)

—3

— 3

因此函数f(x)在x 3处的极限不存在 命题3：(2012年上海理3)函数f(x) 2

C0Sx

的值域是：

sin x 1

1

解：因为 f(x) 2 sinxcosx 2 sin2x,且sin 2x 1,1 ，所以函数 f (x)

的值域是

5

,-。 2 2

本题考查了行列式的计算，要熟记行列式计算的概念。 二、以高等数学基本公式为背景的问题

在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列

4—5不等式选讲

是这样叙述柯西不等式的：设a 1,a 2, ,a n 与d®, 4是两组实数，则有 (a ： a ；

a ；)(

b 2 b ；

b ；) (aQ a z b ? and)2 当向量

(a 1,a 2, ,a n )与向量(db, ,b n )共线时，等号成立，即当且仅当 b i a i (i 1,2,••…,n)时等号

成立。虽然课标对这一部分内容要求不高，

但这是一个很好的高等数学与中学数学知识点的交汇。 以此为背景可

以设计很多题目。

命题4：(2013年湖北理13)设x,y,z R 且满足：x 2 y 2 z 2 1， x 2y 3z 14，贝S x y z

命题2: (2012年四川理3)函数f(x)

x 9

,x x 3 ln(x 2), x

3,

在x

3处的极限

(

命题透视：本题以求解代数式的值的形式考查了柯西不等式的应 用，解答的关键是如何巧妙利用柯西不等式等号成立的条件来求解

例 1： （ 2014 年陕西理 15A ）设 a,b,m, n R,且 a 2 ,m 2 n 2的最小值为（）

解：由柯西不等式可知

(a 2 b 2)(m 2 n 2) (ma nb)2 将 a 2 b 2 5,ma nb 5,代入得..m 2 n 2 5。 例2： (2013年陕西

理15A )设a,b,m, n 均为正数，且a b 1,mn 2,则

(am bn)(bm an)的最小值为(

)

解：由柯西不等式可知

(am bn)(bm an) (am bn)(an bm) ( 一 am ? 一 an , bn ? . bm)2 (a b)2mn 2 当m n 、2

时，(am bn)(bm an)取得最小值2.

三、以高等数学中矩阵知识点为背景的问题

矩阵的相关理论是高等数学中高等代数的知识点， 而在普通高中 数学课程标准实验教科书选修系列 4—2矩阵与变换中给出了二阶矩 阵的定义，以及矩阵的特征值和特征向量的概念及性质。

解: 由柯西不等式得： 2 2

(X y

z 2)(12 22 32) (X 2y 3z ）2，当且仅

当

X —-时等号成立。 由已知 2 2

X y 2

z 1, X 2y 3z

14得：

1 2 3

/ 2 2 (X y 2 2 z )(1 22 32)

(X 2y 3z)2

x, y, z 的值，理解柯西不等式等号成立的条件是关键。

.14

2.14 3 14

X

石，2寸’有

所以有X 土 3，再结合x 22 3Z 、

14 得: 所以x y z

314 7

b 2 5,ma nb 5,则