以高等数学为背景的高考数学试题的研究
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
以高等数学为背景的题型与高考走势
② Ｇ＝｛ 偶数 ｝０ 为整 数的乘法 ； ， ③ Ｇ 平 面向量 ｝ｏ 为平 面向量的加法 ； ＝｛ ， ④ Ｇ 二次 三项 式 ｝０ 为多项 式的加法 ； ＝｛ ， ⑤ Ｇ＝｛ 虚数 ｝０ 为复数的乘法． ，
其中 Ｇ关 于 运算 ① 为“ 洽集 ” 是— 融 的 “ 融洽集” 的序号 ） ． （ ０ ６年四川省数 学高考理科试题 ） ２０ — （ 出所 有 写
例 １ 非空集合 Ｇ关 于运算① 满足 ： １ 对 任意 口 ６ （） ，∈ Ｇ 都有 口 ∈Ｇ （ ） ， ①６ ；２ 存在 ｅ ∈Ｇ， 使得对一切 口 ， ∈Ｇ 都有口 ① ｅｅ ＝ ￣ａ＝ ， ｏ 则称 Ｇ关 于运算① 为“ 融洽集 ” 现给出下列 集 ． 合和运算 ：
① Ｇ＝｛ 负整数 ｝① 为整数 的加法 ； 非 ，
口一１ ４ 口一２ ， ｍ＝口一１ ＜ （ ）得 ．
综上所述 ， 所求函数的最小值 １ ， 一口 ０ ，
ｍ ＝
所以问题 可转化为 ｍ ＋￡ ｍ＋１ ≥３对任意 ｔ ∈［一１ １ 恒成 ，］ 立． （） ｔ ， ∈［一１ １ ， 记ｈ ｔ ＝ｍ ＋ｍ 一２ ｔ ， ］ 可知 函数 （） 图 ｔ的
） 似 ， ＝ 一 得
式（） ３ 成立 的充要条件是
ｆ （一１ 口一１ ； ， ｐ ）＝ ≤０
） ａ ＝（ 一． ＝ｘ ３ ２ ｘ ） 。
若口 ， ≥３ 在区间（ ， ） （ １２ 内， ）＞０ 从 而 ｆ ） 区间 ， （ 为 ［ ，］ １２ 上的增 函数 ， 由此得 ｍ＝ １ 口一 ． ）＝ １
｛ ２ ，＋－ － ｍ２ ≥ ｍ ２＞ ＋一。 ｔ
。
。；
解 得
ｍ≤ 一 ２或 ｍ≥２ ．
以 高 等 数 学 为 背 景 的 题 型 与 高 考 走 势
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
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．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高等数学背景下的高考命题探究_2_省略_12年全国数学高考理科卷第22题_杨思源
2， 4］上连续， f ' （ x） = 在区间［ 2x － 2 ＞ 0， f ″ （ x ） = 2 ＞ 0， 且 f（ 2 ） = － 3 ＜ 0 ， f（ 4 ） = 5 ＞ 0 ． 图3
第1 期
杨思源: 高等数学背景下的高考命题探究
· 25· x n +1 － 3 = xn + 1 = xn － 3 ； xn + 2 （ 3） （ 4）
（ 由 αγ≠β 可知 λ ≠α） ．
2 当（ γ － α） + 4 β≠0 时， 有
a n + 1 － λ1 = a n + 1 － λ2 = 从而
α － λ1 （ a － λ1 ） ； an + γ n α － λ2 （ a － λ2 ） ， an + γ n
3 或 x = － 1， 因此
a n + 1 － λ1 α － λ1 a n － λ1 = · ， a n + 1 － λ2 α － λ2 a n － λ2
· 24·
中学教研 ( 数学)
2013 年
高 等数学背景下的高考命题探究
— — —2012 年全国数学高考理科卷第 22 题
●杨思源
( 嘉定区第一中学 上海 201808 )
2 题目 设函数 f （ x ） = x － 2 x － 3 ， 定义数列 ｛ x n ｝ 如 下： x1 = 2 ， xn + 1 是 过 点 P （ 4， 5） ， Qn （ xn ， f（ x n ） ） 的直线 PQ n 与 x 轴交点的横坐标． （ 1 ） 证明： 2 ≤x n ＜ x n + 1 ＜ 3 ； （ 2 ） 求数列｛ x n ｝ 的通项公式．
5（ xn + 1） ． xn + 2
高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究
!高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究#山东省烟台第三中学!杨新萍新课标背景下!数学高考试卷压轴题命题的视角愈发多元!其难易程度以及能力考查位于中等与高等之间!整合了竞赛类数学题目中典型知识点)问题)数学思想!而竞赛数学为高等数学的基础!其在高考试卷压轴题中的渗透是高中数学课改的最新尝试!以加大能力考查力度!对学生智力以及综合能力展开更精准的衡量!从而更好地发挥高考的选拔功能!因此!在高中阶段!溯源高考数学压轴题背景!是把控高考数学热点与方向的重要手段!本文基于此!从知识背景与方法背景两个层面展开高考数学压轴题溯源!并提出针对性备考教学设计方法!以为高中生数学复习提供有益参考!!高考数学压轴题背景溯源!1!知识背景目前高考数学压轴题的难度以及考查的主要内容介于中等与高等数学之间!与竞赛数学在思想)方法方面存在诸多融合之处!其中两者知识点的重合部分有'代数方程)三角函数)平面几何)初等数论等!而高考作为一次选拔性考试!其命题过程中始终遵循以能力意志为基础的原则-且课程标准提倡尊重学生个性差异!从不同角度学习数学!而在高考命题中也充分体现这一特点!压轴题的出现则是加深试卷整体深度!对学生思维品质与综合能力展开更高标准的考查!其中借鉴了诸多竞赛数学题目)思想)理念!因此!从知识背景溯源应考虑高考命题与竞赛数学结合后题型)考点的创新!以函数问题为例'高考试题 %#((%年广东卷&设函数-%"&在%&K !$K &上满足-%#&"&%-%#$"&!-%'&"&%%'$"&!且在闭区间5(!'6上!只有-%!&%-%$&%(!问题'%!&试判断函数#%-%"&的奇偶性-%#&试求方程-%"&%(在闭区间5&#((%!#((%6上的根的个数!并证明结论!竞赛试题 %!3&"年第二节美国数学邀请赛&函数-定义在实数域上!且满足如下条件'对任何实数"!-%#$"&%-%#&"&!-%'$"&%-%'&"&!如果"%(是-%"&%(的一个根!那么-%"&%(在区间&!(((&"&!(((中至少应有几个根$两个题目的条件以及问题都具有相似性!高考试题仅在试题的问题上以及已知条件中做了简单改动!考查学生对函数单调性)周期性等知识点的掌握!主要测试学生的运算能力与思维能力!!1"方法背景除了考查知识点)命题思想等知识层面与竞赛数学试题的关联!在数学方法上也存在直接的联系!例如!对极端原理的考查!通过已知条件对研究对象极端情况的约束!研究数学题目中的某种极端性质!用于解题的思想)方法及研究都被称作极端原理!利用该原理解决数学问题过程中!重点应放在全面讨论问题的极端情况上!如果已知条件发现矛盾或特殊性质!极端情况往往隐藏其中!这是竞赛数学中频繁出现的数学问题解决方法!如最小)最大原理!最短)最长原理等都是竞赛数学的高频考点!而在高考中极端原理题目也经常出现!如'高考试题 %#((%年辽宁卷&已知#%-%"&是定义在*上的单调函数!实数"!5"#!&5!!!%"!$&"#!$&!'%"#$&"!!$&!若-%"!&(-%"#&$-%!&(-%'&!则%!!&!4!&$(J !&%()!($&$!!?!&+!"高考数学压轴题备考教学设计方法高考为一场选拔性考试!其侧重基础知识考查兼能力测试!因此!在试卷的命题上其多以基础数学知识)基础数学思想)基础数学技能为主!主要考查的能力有空间想象能力)运算能力)思维能力等!在保持命题方向基本不变的情况下!借鉴竞赛数学的基础问题提高试卷难度!从更多元的视角考查学生能力!因此!在备考环节可广泛借鉴数学竞赛试题的思想与方法!#"#(##年$月上半月备考指南复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!具体策略如下'"1!借鉴法即将竞赛数学中的基础思想)命题直接移植到备考习题当中'或摘取竞赛数学试题当中的某些设问方法)已知条件)结论片段运用到备考习题设计当中!以上述高考试题!为例!其仅对竞赛试题的已知条件与设问方法做出了简单的调整!更多直接借鉴其条件与结论!但从借鉴问题的具体过程来看!虽然条件做出了改变!但是方法基本不变!而这种大范围借鉴的情况并不多见!小范围借鉴案例颇多!高考试题 %#((&年江西卷&如图!所示!正三棱锥="678的三条侧棱=6)=7)=8两两垂直!且长度均为#!<)3)L分别为67)68)<3的中点!过<3作平面与侧棱=6)=7)=8或其延长线分别交于6!)7!)8!!已知=6!%$#!求证7!8!1平面=6L!求二面角="6!7!"8!的大小!图!图#竞赛试题 %!33%年全国联赛&如图#所示!设=为正三棱锥+"678的底面正@678的中心!过点=的动平面与三条侧棱或其延长线的交点分别是C)A)>!求'!+C$!+A$!+>是定值!(%(为侧棱长&!两道试题在条件上具有相同性!高考试题将设问转变!但仍为相同问题的两种不同表述方式!且所给图形仍然具有一致性!"1"改造法简单理解借鉴法多为直接移用竞赛原试题!容易引发对考试公平性的争议!因此!高考数学压轴题也利用改造法!更改竞赛试题原来的面貌!以竞赛试题为骨架或模型!经过加工与改编使试题重新回到备考试题当中!采用改造法由高考不得不面对的诸多现实问题决定!如新课改背景下!要求高考进行试题创新!不得使用陈题!为确保题目的新颖性!改造法成本最低)效果最佳-且竞赛试题是经由数学专家)学者苦心设计的!其集中反馈出数学研究兴趣!目前常用的改造方法如下'%!&数据变换!高考试题 %#((%年江西卷&已知数列,(1的各项都是正数!且((%!!(0$!%!#(0%"&(0&!0--!证明(0$(0$!$#!0---求解数列,(01的通项公式(0!竞赛试题 %!3&%年加拿大数学奥林匹克竞赛&设!$"!$#!对于0%!!#!$!00!定义"0$!%!$"0&!#"#0!求证对于0+$!有"0&槡#$#&0!%#&化繁为简!高考试题 %#((&年全国卷!&如图$所示!环形花坛被分成四块!有"种花供本次选种!要求每块里种一种花!且相邻两种种类不同!问'共多少种种法$竞赛试题 %#((!年全国高中数学联合竞赛&在正六边形的6)7)8);)<)3六个区域种植观察植物!如图"所示!要求每块种一种植物!相邻两块植物种类不同!现有"种植物可供选择!栽种方案有多少种$图$图""1#渗透法即选择竞赛试题中的定理进行加工)改造!渗透原题目的思想!使试题焕然一新!高考试题 %!330年全国卷&已知(!)!5为实数!函数-%"&%("#$)"$5!G%"&%("$)!当&!&"&!时!-%"&&!!求'%!&5&!-%#&当&!&"&!时!G%"&&#-%$&(,(!当&!&"&!时!G%"&的最大值为#!求-%"&!竞赛试题 %美国第六届普特南竞赛&设()))5-*!-%"&%("#$)"$5!当"&!时!-%"&&!!证明当"&!时!#("$)&"!通过对高考数学压轴题的溯源!了解命题人的意图)命题思维!在备考阶段可逐步渗透所涉及的数学思想)方法!使学生提前了解)适应试题思路!形成应对策略体系!参考文献*!+犹广江!立足教材$全面构思$注重导向!!!命制一道中考模拟压轴题的心路历程*,+!中学数学&下($#(!3&"(!*#+张宁!关注倍角模型$破解中考压轴题!!!等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用*,+!中学数学&下($#(!&&!((!$$"复习备考备考指南#(##年$月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
高等数学在高考数学压轴题中的应用研究_
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a ≤ 1 + sin x - cos x ， 设 x x(cos x + sin x) -(1 + sin x - cos x) F(x) = 1 + sin x - cos x ，x ∈(0,π] 。 F′(x) = x x2 x cos x + x sin x 1 sin x + cos x = ， 再设 x2 g(x) = x cos x + x sin x - 1 - sin x + cos x ， g′(x) = cos x - x sin x + x cos x + sin x - cos x - sin x = - x sin x + x cos x 得 x= π ， 当 0 < x < π 时 ，g′(x) > 0 ， 当 = x(cos x - sin x) 。 由 g′(x) = 0 ， 4 4 2π π < x < π 时， g( π ) = -1>0 ， g′(x) < 0 ， ∴ x = π 时， g(x) 有最大值， 4 4 4 4 π π π π 又 ∵ g( ) = - 2 < 0 ，g( )g( ) < 0 ，g(x) 在 (0,π) 上 连 续 ， ∴ 在区间 2 2 4 2 [ π , π ] 上 必 存 在 x0 ， 使 g(x 0) = 0 ， 于 是 可 推 得 x ∈[0, x 0) 时 ，g(x) > 0 ， 4 2 g(x) < 0 , F(x) 在 (0, x 0) 上是增函数,当 x ∈(x 0 ,π] 时， g(x) < 0 , F′(x) < 0 , F(x) [3] 在 (x 0 ,π] 上是减函数 。 (1 + sin x - cos x)′ ∵lim F ( x) = lim 1 + sin x - cos x = lim x→0 x→0 x→0 x (x)′ = lim cos x + sin x = 1 ，lim F ( x) = lim 1 + sin x - cos x = 2 ， x→0 x→π x→π x 1 π ∴inf{F(x)} = 2 ， ∴a ≤ 2 。 π π
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以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要：本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议，为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中，中学数学里高等数学的含量正一步步扩大。
选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容。
选修2—2导数与微积分; 选修系列3：选修3—1 数学史选讲、选修3—3 球面上的几何、选修3—4 对称与群；选修系列4: 选修4—4 几何证明选讲、选修4—2 矩阵与变换、选修4 —3 平面坐标系中几种常见变换、选修4—4 极坐标与参数方程、选修4—5不等式、选修4—6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容，现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生。
有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法。
作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作。
随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高，本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1: （2013年陕西理10）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y ，有：A. x xB. 2x 2 xC. x y x yD. x y x y 命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题。
对任意的实数x,记不超过x的最大整数为x，通常称函数y x 为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数，即对任意X i，X2 R,若X i X2,则X i X2 ;若x, y R,则X y x y x y 1；由这条性质可推得选项D成立；若n N , x R, 则nx n x 。
本题考查学生对取整符号的理解,以及对取整函数（高斯函数）概念的理解和性质的掌握。
高等数学中涉及很多数学符号,比如表示直和、表示连乘符号、表示求和符号等。
A.不存在B. 等于6C. 等于3D. 等于0 本题主要考查函数的左、右极限与极限的概念。
29解：依题意可知：lim f (x) lim --------------- lim (x 3) 6x 3 x 3 x 3 - 3lim f (x) lim ln(x 2) ln(3 2)—3— 3因此函数f(x)在x 3处的极限不存在 命题3：(2012年上海理3)函数f(x) 2C0Sx的值域是：sin x 11解：因为 f(x) 2 sinxcosx 2 sin2x,且sin 2x 1,1 ，所以函数 f (x)的值域是5,-。
2 2本题考查了行列式的计算，要熟记行列式计算的概念。
二、以高等数学基本公式为背景的问题在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4—5不等式选讲是这样叙述柯西不等式的：设a 1,a 2, ,a n 与d®, 4是两组实数，则有 (a ： a ；a ；)(b 2 b ；b ；) (aQ a z b ? and)2 当向量(a 1,a 2, ,a n )与向量(db, ,b n )共线时，等号成立，即当且仅当 b i a i (i 1,2,••…,n)时等号成立。
虽然课标对这一部分内容要求不高，但这是一个很好的高等数学与中学数学知识点的交汇。
以此为背景可以设计很多题目。
命题4：(2013年湖北理13)设x,y,z R 且满足：x 2 y 2 z 2 1， x 2y 3z 14，贝S x y z命题2: (2012年四川理3)函数f(x)x 9,x x 3 ln(x 2), x3,在x3处的极限(命题透视：本题以求解代数式的值的形式考查了柯西不等式的应 用，解答的关键是如何巧妙利用柯西不等式等号成立的条件来求解例 1： （ 2014 年陕西理 15A ）设 a,b,m, n R,且 a 2 ,m 2 n 2的最小值为（）解：由柯西不等式可知(a 2 b 2)(m 2 n 2) (ma nb)2 将 a 2 b 2 5,ma nb 5,代入得..m 2 n 2 5。
例2： (2013年陕西理15A )设a,b,m, n 均为正数，且a b 1,mn 2,则(am bn)(bm an)的最小值为()解：由柯西不等式可知(am bn)(bm an) (am bn)(an bm) ( 一 am ? 一 an , bn ? . bm)2 (a b)2mn 2 当m n 、2时，(am bn)(bm an)取得最小值2.三、以高等数学中矩阵知识点为背景的问题矩阵的相关理论是高等数学中高等代数的知识点， 而在普通高中 数学课程标准实验教科书选修系列 4—2矩阵与变换中给出了二阶矩 阵的定义，以及矩阵的特征值和特征向量的概念及性质。
解: 由柯西不等式得： 2 2(X yz 2)(12 22 32) (X 2y 3z ）2，当且仅当X —-时等号成立。
由已知 2 2X y 2z 1, X 2y 3z14得：1 2 3/ 2 2 (X y 2 2 z )(1 22 32)(X 2y 3z)2x, y, z 的值，理解柯西不等式等号成立的条件是关键。
.142.14 3 14X石，2寸’有所以有X 土 3，再结合x 22 3Z 、14 得: 所以x y z314 7b 2 5,ma nb 5,则命题5: (2014年福建理21)已知矩阵A 的逆矩阵A 1 (1) 求矩阵A(2) 求矩阵A 1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量命题透视：本题是以高等代数中的矩阵为背景，考查了逆矩阵的 概念，如何求解矩阵的特征值和特征向量.结合中学的向量知识，考 查了学生对新情景下知识的理解、抽象概括能力以及阅读理解、对新 知识的迁移能力以及综合运用数学知识解决问题的能力, 等数学与高中数学的衔接处命题。
令f( ) 0,得矩阵A 1的特征值为矩阵A 1的属于特征值 2 3的一个特征向量。
例3: (2014年江苏卷)已知矩阵x, y 为实数，若Aa Ba,求x y 的值。
解：由已知，得Aa1 2 2 2 2y 1 1 2 2 y ,Ba1 x y2 xy21 y4 y体现了在高解：(1)因为矩阵A 是矩阵A 1的逆矩阵，且A 13 0,所(2)矩阵A 1的特征多项式为f(2 3 1 31 32 31)(3)所以11是矩阵A 啲属于特征值11的一个特征向量，因为Aa Ba,所以 2 2y 2 y2 xy 4 y故 2 2y 2 y解得x 127所以x y 22 xy 4 y y4四、以高等数学中导数思想为背景的问题初等数学中经常用不等式、配方等方法求最值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；另一方面是使用面较窄，只能解一些较特殊的问题。
自从导数这块内容注入到中学教材之后，利用导数作为工具已成为高中学生研究函数性质的重要手段。
这使得原本就受命题者青睐的导数几乎成了数学高考中的主角，基本上是每年必考的知识点之一。
用导数方法求极值，求函数的单调性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面广一些，机制和最值也容易分清。
以及用导数方法证明不等式等是导数思想命题重难点。
1命题6:设函数f(x) -x3ax2ax,g(x) 2x24x c。
3(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a 1,当x 3,4时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围。
解：因为 f (x) 1 x3ax2ax x(^ x2ax a)3 31令f(x) 0,得x 0或丄X2ax a 0 (探)3显然方程(探)的根的判别式(a)24 - ( a) a2 4 a a(a -)3 3 3当a 4或a 0时，0 ,方程(※丿有两个非零实根，此时函数f(x)3有3个零点；当a 4时，0，方程(※丿有两个相等的非零实根，此时函数f(x)3有2个零点；当a 0时，0,方程(※丿有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当4 a 0时，0,方程(※丿没有实根，此时函数f(x)有1个零3占・j、、、‘综上所述：当a -或a 0时，函数f(x)有3个零点；当a -时,3 3 函数f(x)有2个零点；当4 a 0时，函数f(x)有1个零点.3(2)设 f (x)g(x)，则1x332ax ax2x24x c,因为 a 1，所以c 13 x x23x3设F(x) - x33x23x，x3,4，则F(x) x2 2x 3,令 F (x) 0,解得X11,X2 3.列表如下:由此可知F(x)在［3, 1］，［3,4］上是增函数，在［1,3］上是减函数。
当x 1时，F(x)取得极大值F(1) |;当x 3时，F(x)取得极小值F(3) 9,而F(3) 9，F⑷号。
如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,则函数F(x)与y c的图像有两个公共点，所以20 c 5或c 9。
3 3命题透视：本题考查了三次函数的零点个数问题和构造函数求解不等式问题，两个问题都用到了导数思想。
即从高等数学的导数思想分析：构造辅助函数，利用导数来研究函数性质。
考查了函数的单调性和极值以及函数图像等性质。
例4:已知函数f(x)瞠上(a R),g(x)-。
x x(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0,白上有公共点，求实数a 的取值范围。
五、以高等数学中积分思想为背景的问题普通高中课程标准试验教科书选修2—2 (北师版)中，增加了微积分的部分知识。
这即可以增强高中数学的人文价值，也使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养，还可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学质量的提高。
命题7:(2014年江西理8)若f(x) x2 2 f(x)d(x)，贝卩 f (x)d(x)0 丿01解：因为0f(x)d(x)是常数，所以f (x) 2x ,所以可以设 f (x) x2 c,所以x2c x22(1x3cx) 0,解得：32 1 1 21 2 2 13 2 1 1c 3, 0 f (x)d(x) 0(x c)d(x) 0(x -)d(x) (§x §x)°3。