能量原理及其变分法
能量原理与变分法
1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。
第11章 能量原理与变分法
将（11-4）及式（c）代入，得
U x u y v z w yz w v y z z x y （d） zx u w xy v u dxdydz x y z x 对每一项进行分部积分，并应用奥斯特洛格拉斯公式，可得 x u d x d y d z u d x d y d z x x x x x udxdydz x l x udS udxdydz x
U1 U1 U1 x， y， z x y z 11 2 U1 U1 U1 yz， zx， xy yz zx xy 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。
第十一章 能量原理与变分法 来自
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 §11.6 §11.7 §11.8 §11.9 §11.10
弹性体的形变势能 位移变分方程 位移变分法 位移变分法应用于平面问题 应力变分方程 应力变分法 应力变分法应用于平面问题 应力变分法应用于扭转问题 解答的唯一性 功的互等定理
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
代入位移变分方程（11-6）式
X u Y v Z w dxdydz X u Y v Z w dS dxdydz
实际存在的位移，满足位移边界条件、用位移分量表示的平衡微 分方程和应力边界条件、位移变分方程。位移变分方程可以代替平 衡微分方程和应力边界条件。
4. 伽辽金变分方程 根据几何方程，形变分量的变分为
能量原理及其变分法
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
科普大百科解读自然界的能量转换
科普大百科解读自然界的能量转换能量是自然界中一种基本的物理量，贯穿于宇宙的各个角落。
自然界中的能量转换是一个复杂而有趣的过程，涉及到各种物体和现象的相互作用。
本文将为大家解读自然界中的能量转换过程，从宏观到微观，逐步揭示其中的奥秘。
一、能量的分类能量按照形式和来源的不同，可以分为多种类型。
常见的能量形式包括动能、势能、热能、电能、光能等。
这些能量形式之间可以相互转换，而能量的转换又遵循着能量守恒定律，即能量不会被创造也不会被毁灭，只会转换成其他形式存在。
二、能量转换的例子1. 动能转换动能是物体由于运动而具有的能量。
当一个物体运动速度改变时，其动能也会相应改变。
例如，一个从高处下落的物体，在下落的过程中会逐渐转化为动能，当它触地时，动能达到最大值。
同样地，一个静止的物体在被施加外力后，开始运动并获得动能。
2. 势能转换势能是物体由于位置或状态而具有的能量。
常见的势能包括重力势能、弹性势能、化学势能等。
这些势能可以相互转换。
例如，一个被抛向空中的球，当它达到最高点时，其具有的势能最大，当球下落时，势能逐渐转化为动能。
3. 热能转换热能是物体由于分子振动引起的能量。
当物体受热时，其分子振动增强，热能增加。
而当物体散热时，热能被转化为其他形式的能量。
例如，电热水壶加热水时，电能被转化为热能，使水升温；而当热水冷却时，热能则会转化为周围环境的热能。
4. 电能转换电能是由电子流动而产生的能量。
电能可以转化为其他形式的能量，同时也可以通过各种方式转化为电能。
例如，发电厂通过燃煤或核能等方式产生电能，然后将电能输送到家庭、工厂等地方供人们使用。
5. 光能转换光能是由电磁辐射而产生的能量。
光能可以直接提供光能源，也可以转换为电能、化学能等其他形式。
例如，太阳能光伏发电就是利用光能转换为电能的一种方式。
三、能量转换的宏观和微观层面能量转换既存在于宏观的物体运动和现象中，也存在于微观的微粒之间的相互作用中。
在宏观层面上，能量转换涉及到机械系统、电力系统、热能系统等。
能量原理与变分法
最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
对于整个弹性体
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
变形可能态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud=
vd=
wd=
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是 位移的函数。
若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移 原理。 故 求解弹性力学问题又可叙述为： (1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场 。 或者 (2) 真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位 移原理。
➢ 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零， 即在真实状态总势能取极值。
➢ 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， ➢ 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位
移，就是真实的位移。
07能量原理与变分法
δVe δ f xu δ f y v δ f z w dxdydz dS δ f u δ f v δ f w x y z
11. 能量原理与变分法
在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 sx 、sy 、sz 、
tyz 、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序
无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度
1 ve s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
将几何方程代入，应变能用位移分量表示为
u v w u v w E Ve 2(1 ) 1 2 x y z x y z 1 w v 1 u w 1 v u 2 y z 2 z x 2 x y
—— 虚功方程。 即：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在
虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在相应的虚应
变上所做的虚功。
弹性力学
ELASTICITY
3. 最小势能原理
11. 能量原理与变分法
δVe f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
11. 能量原理与变分法
δVe f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
弹塑性力学能量原理与变分法
U = U ( y ( x) ) = y1 − y = δy
U max
δU = 0
1
函数 y 也有一增量： Δy 泛函 U 也有一增量：
（2）球下落问题 球从位置1下 落至位置2，所需 时间为T，
ΔU = U [ y1 ( x)] − U [ y ( x)] = δU
f ( x)
函数的增量δy 、泛函的增量 δU 等 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。 当
[
]
（e）
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
2 2 = 1 ∫∫∫ (σ x +σ y + σ z2 ) − 2 μ (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) 2E 2 2 2 + 2(1 + μ )(τ yz + τ zx + τ xy ) dxdydz
[
]
（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
（a）以位移为基本未知量， 得到最小势（位）能原理等。—— 位移法 （b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 求解方法： —— 混合法 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：
变分法(能量原理)
y
y
yz
z
) v ( zx
x
zy
y
z
z
)
w
dV
( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S
V
(
x x
xy y
xz z
X ) u ( yx x
y y
yz z
Y ) v ( zx x
zy y
z z
Z
)
w
A1
B1
B1
0
A1
0
0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1
B1
)
q1ab
Eab
2(1
2
)
(
B1
A1
)
q2
ab
A1
q1
E
q2
B1Βιβλιοθήκη q2E
q1
u
q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：
5.能量法1(变分法)ppt9.tmp
bx+dbx
b0
bx x
dx
vz
z = hx
vz ′ = vx hx → vx
z = hx
dhx dz ′ = hx = = dx dx
z vx hx dx
hx + dhx
流线微分方程
4 应变速率场
bx hx ′ ′ ′ ′ ∂vx U bx hx ɺ εx = =− + = −v x + ∂x cbx hx bx hx bx hx ∂v v v ∂v ɺ ɺ ′ ε y = y = x bx ε z = z = x hx' ∂y bx ∂z hx Uz 1 ∂v ∂v ɺ ε xz = z + x = 2 ∂x ∂z 2chx bx h′′ h′ b′ x− x x hx hx bx 2 hx ′ − 2 hx 2 bx ′ − 2 bx
2 小林速度场
U 1 vx = c hx bx
小林取
y z
φ = cbx(5.65) Nhomakorabea′ bx U 1 db x y = vx vy = bx c h x b x dx b x ′ hx U 1 dh x z vz = = vx c h x b x dx h x hx
ε xz = ε zy = 0
体积不变条件确定 a0
⑶ a 和工件外形的确定
∆h ∆h ⋅ l = ∫ u x dy → a0 = =ε 0 x =l h
h
ϕ =σs ∫
l
0 0
∫
h
ε dxdy + m
弹性体的形变势能;位移变分方程(林国昌)
时间集合T
函数集合y
T1
y1
T2
y2
Ti
yi
1 2
i
n
(a,b)
Tn
yn
函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 7
函数与泛函
函数：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实
数f(x)与之对应。
泛函：Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有
物理方程
2
弹性力学的变分法(能量法)
变分法：
考虑整个系统的能量关系(如形变势能， 外力势能等)，建立泛函变分方程；
在给定约束条件下求解泛函极值的变 分问题。最后将问题归结为易于求解的 线性方程组，从而获得问题的近似解答。
变分法的解： 解为近似解，近似满足微分方程。 弹性力学中的变分法又称为能量法。
d
x
(a)
x
应变能密度：每单位体积内具有形变势能。
应变能密度是应变分量 x 的泛函，因
为自变函数为 x 。
应变能密度为应力-应变曲线右下方
d x
vc
xd x
v
分面积。
当弹性体的应力-应变关系为线性时，即 x
xd x
v
0
x
x
d
x
1 2
x
x
(c)
o
x
dx
x 15
2 应变余能密度
应力-应变曲线左上方的面积，称为应变余能密度。记为：
vc
0
x
x
d
x
(b)
x
vc 表示的就是单位体积内的应变余能。
第2章 能量原理和变分法
v u v u v u + 2v ( ) + (1 v)( + ) ( + )]dxdy y Bmn x x y Bmn x y
将位移试函数代入求导数后再积分
U = Amn U = B mn
a b
∫∫
0 0 a b
m πx nπy Fbx sin sin d xd y b a m πx nπy Fby sin sin dxdy a b
虚应力方程
∫∫
Su
u i δσ ij n j dS = ∫∫∫ ε ij δσ ij dV
V
δσij在位移边界引起的面力称为虚面力
——δFsi
§2.5 最小余能原理
总余能
变分形式
Et ' = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i Fsi dS = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i σ ij n j dS
第二章 能量原理和变分法
偏微分方程求解的困难 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
§2.1 应变能
外力功——变形体的能量关系 应变能 （密度）
dU 0 = σ ij dε ij
＝σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xzγ xz
2 2 2 a b
如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn
§2.4 虚力原理
根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移 而到达的邻近状态的比较，得到了真实位移 使得总势能取最小值的结论 ——最小势能原理。 假如问题分析的基本未知量不是位移，而 是应力分量。 ——能量泛函中的应力变分
σ ij
科学能量的转化
科学能量的转化能量在自然界中无处不在，它的转化是我们生活中的常态。
科学的研究者们通过观察和实验证明，能量可以在不同形式之间进行转换，从而满足人类的各种需求。
本文将深入探讨科学能量的转化过程，揭示其重要性和应用领域。
一、能量的定义和分类能量是指物体或系统所具有的产生变化或实现工作的能力。
按照不同的来源和形式，能量被分为多个类别，包括机械能、热能、化学能、电能、光能等。
这些能量之间可以互相转化，形成了能量转化的基础。
二、能量转化的基本原理能量的转化是按照能量守恒定律进行的。
能量守恒定律是指在封闭系统中，能量的总量保持不变。
在能量转化过程中，虽然能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量的大小保持不变。
三、机械能的转化机械能包括动能和势能两部分。
例如，当一个物体从高处下落时，它的势能逐渐转化为动能，最终使物体获得一定的速度。
相反地，当物体运动减速或停止时，动能将转化回势能。
四、热能的转化热能是由分子和原子的运动产生的一种能量形式。
热能的转化可以通过热传导、对流和辐射等方式进行。
例如，当我们将水加热时，热能会使水分子振动增加，从而升高水的温度。
而当水冷却时，热能则从水分子释放出来，使水的温度降低。
五、化学能的转化化学能是指储存在物质分子中的能量。
化学反应是一种常见的能量转化过程。
例如，燃烧是一种化学反应，燃烧物质中的化学能转化为热能和光能。
电池也是利用化学能转化为电能的设备。
六、电能的转化电能是由电荷运动产生的一种能量形式。
电能的转化可通过电子器件实现，如发电机和电动机。
发电机将机械能转化为电能，而电动机则将电能转化为机械能，实现了能量的互相转换。
七、光能的转化光能是由光的传播和辐射产生的一种能量形式。
光能的转化广泛应用于太阳能发电、光电显示等领域。
太阳能光伏电池将太阳光能转化为电能，而光电显示器将电能转化为可见光，实现了光能的有效利用。
八、能量转化在生活中的应用能量转化过程在我们的日常生活中无处不在。
神奇的能量转换了解能量的各种形式和转化过程
神奇的能量转换了解能量的各种形式和转化过程神奇的能量转换：了解能量的各种形式和转化过程能量是万物运行的基础，各种形式的能量转化贯穿我们的日常生活。
本文将带您一探能量的奥秘，了解能量的不同形式以及在转化过程中的变化。
一、能量的定义与分类能量是指物体或系统所具有的做功的能力或产生热的潜力。
根据能量的性质和来源，我们可以将能量分为以下几类：1. 动能：动能是由物体的运动所具有的能量，表现为物体的速度和质量的乘积。
例如，运动中的汽车拥有动能，可以用于推动物体或进行机械工作。
2. 势能：势能是由物体所处位置所具有的能量，表现为物体受到的力和移动的距离的乘积。
常见的势能包括重力势能、弹性势能和化学势能等。
3. 热能：热能是物体由于其分子或原子的运动而具有的能量。
无论是高温物体还是低温物体，都会释放热能。
例如，燃烧物质会释放出大量的热能。
4. 光能：光能是由光的波动所具有的能量。
太阳光、电灯等光源都会发射出光能，光能可以转化为其他形式的能量，如电能。
5. 电能：电能是电荷所具有的能量，通常以电流流动的形式存在。
电能广泛应用于我们的生活中，如用于家庭电器、照明和工业生产等。
二、能量的转化过程能量在不同形式之间进行转化，从一个物体或系统流向另一个物体或系统。
以下是能量在转化过程中常见的几个例子：1. 机械能转化：当我们踩车脚蹬骑自行车时，我们的肌肉消耗化学能转化为机械能，推动自行车前行。
同样，当我们松开刹车时，地球的引力会将自行车的势能转化为动能，使自行车加速。
2. 燃烧过程：燃烧是一种常见的能量转化过程。
例如，当我们使用火柴点燃蜡烛时，化学能转化为热能和光能。
燃烧时，化学反应释放出的能量会被转化为热能，使蜡烛燃烧并散发光亮。
3. 光能转化：光能可以转化为电能。
太阳能光伏板就是将太阳的光能转化为电能的设备。
光能通过光伏效应使光伏板中的电子受激跃迁，形成电流，进而转化为电能。
4. 电能转化：电能可以通过变压器转化为其他电能形式。
能量原理及其变分法演示文稿
这些应力分量满足下列平衡条件：
第四页，共10页。
第五章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0
y
x y
yx y Y 0
x y
在变形体边界处，各微元体满足
dy
__ xy
xy y
dy 2
Y
S
V
V
第九页，共10页。
第五章 能量原理及其变分法
变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的总虚功 等于变形体所“接受”的总虚变形功，则变形体各处都处于平衡状态。
W总
V
x
x
xy
y
X
u
xy
x
y
y
Y
v
dV
X xl xym u Y xyl ym vds S
u
u
x
1 2
dx
x u
x
x
u
x x
1 2
dx
lds
直角边dx上剪应力xy所作的虚功为
xy
xy
y
1 2
dy
mds.1
u
u
y
1 2
dy
xy
u
xy
y
u xy
u
为 X u Y v ds
第七页，共10页。
其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直角边
的面积分别为
dy.1 lds.1, dx.1 mds.1
微元体的体积为
dV2
1 2
dxdy.1
1 2
ldsdx
1 2
mdsdy
设斜边中点处的虚位移为u、v，应力分量为x、y和xy，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
X xl xy m u Y xy l y m v ds x x y y xy xy dV
V S
与 W总＝W面 X u Y v ds X u Y v dV 是恒等的。 S V 前提条件是
第四章 能量原理及其变分法
§ 4-1 应变能的概念及其表达式
变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分
法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相 关的，是有限元法的基础。 单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。 1 弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为 ， 2 其中 是受力方向的正应力， 是该方向的线应变。 对于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定 律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的 最终值，所以 U 0 1 x x y y xy xy
成立，同时
xl xy m X 0, xyl y m Y 0
成立。
第四章 能量原理及其变分法
虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界 条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。 对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体 在空间应力状态下的虚功方程式
S V
W面 ＝ 0 总虚功表达式写成 W总＝ W外 X u Y v ds X u Y v dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
最后，得出
S
V
x
y y xy xy dV
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
xy 1 xy u 1 u 1 xy dy mds.1 u dy xy u u xy dy mds y 2 y 2 y 2 y
斜边上表面力所作的虚功为 X u Y v ds
U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
体积力所作的虚功为
X u Y v dV2
同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界
处微元体上所有力所作的虚功之和为
x xy dW2 X y x xy y u Y v dV2 y x
X x l xy m u Y xy l y m v ds
X xl xy m u Y xy l y m v ds x x y y xy xy dV
X u Y v Z w dA X u Y v Z wdV
x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
V A V
第四章 能量原理及其变分法
E 1 1 2
如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成
U0 1 1 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x y z x y y z z x 2E E 2G
x u dx u dx u x x x dV1 x u x x u x dV u 1 x x dV1 x x x
第四章 能量原理及其变分法
一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和 应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是 位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须 把比能U0在整个弹性体内进行积分，即
U U 0 dxdydz
第四章 能量原理及其变分法
§ 4-2 虚功理
1 u 1 1 x x dx lds.1 u dx x u x u x x dx lds x 2 x 2 x 2
直角边dx上剪应力xy所作的虚功为
其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直
角边的面积分别为 dy.1 lds.1, dx.1 mds.1
微元体的体积为 dV2 dxdy.1 ldsdx mdsdy
1 2 1 2 1 2
设斜边中点处的虚位移为u、v，应力分量为x、y和xy， 直角边dy上正应力x所作的虚功为
V S
第四章 能量原理及其变分法
由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以 总虚功 W总 x x y y xy xy dV
V
所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成 W总 =W外 + W面 其中 W外 X u Y v ds X u Y v dV
x x y y xy xy dV2 x xy xy y X u Y 变形体的总虚功为 W总 x y v dV y x V
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
ds 0 X l m u Y l m v x xy xy y
S
因为虚位移u、v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中
xy y x xy X 0, Y 0 x y x y
则
U X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV 0
S V
S
V
由于虚位移是微小的，可以把上式中的变分符号提到积分 号前面，得到 [U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ] 0
2
第四章 能量原理及其变分法
对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2
U0
将广义虎克定律代入上式，得 展开为 其中
1 T D 2 2 1 1 2 2 2 2 2 U 0 x y z G x y z2 G xy yz zx 2 2
x xy xy y dW1 X u Y v dV1 x x xy xy y y dV1 x y x y
第四章 能量原理及其变分法
其中 dV1 dxdy 1为微元体的体积。同样，xy所作的虚功为 体积力所作的虚功为
xy u u xy dV1 y y
Xdxdy.1 u X udV1
同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微 元体上所有力所作的虚功之和为
虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位 移过程中真实力所作的功，称为虚功。
“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力 所作的总虚功必等于变形体所‘接受’的总虚变形功 —— 变形体的虚功原理
为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说 明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面 力 X , Y ）和给定的约束条件下处于平衡状态，用x、y和xy表 示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的
总虚功等于变形体所“接受”的总虚变形功，则变形体各处都
处于平衡状态。
x xy xy y X u Y W总 v dV x y y x V
S
V
第四章 能量原理及其变分法
其中，外力在实际位移上所做的功
W Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV
S V
取其负号，定义为外力势能（以外力为零的自然状态的势 能为零），将弹性体的应变能和外力势能之和，定义为系 统的总势能，记为 P U W
y
x
dx
其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。