能量原理及其变分法

§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
第四章 能量原理及其变分法
体积力所作的虚功为
X u Y v dV2
同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界
处微元体上所有力所作的虚功之和为
x xy dW2 X y x xy y u Y v dV2 y x
其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直
角边的面积分别为 dy.1 lds.1, dx.1 mds.1
微元体的体积为 dV2 dxdy.1 ldsdx mdsdy
1 2 1 2 1 2
设斜边中点处的虚位移为u、v，应力分量为x、y和xy， 直角边dy上正应力x所作的虚功为
X u Y v Z w dA X u Y v Z wdV
x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
V A V
第四章 能量原理及其变分法
xy 1 xy u 1 u 1 xy dy mds.1 u dy xy u u xy dy mds y 2 y 2 y 2 y
斜边上表面力所作的虚功为 X u Y v ds
ds 0 X l m u Y l m v x xy xy y
S
因为虚位移u、v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中
xy y x xy X 0, Y 0 x y x y
第四章 能量原理及其变分法
§ 4-1 应变能的概念及其表达式
变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分
法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相 关的，是有限元法的基础。 单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。 1 弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为 ， 2 其中 是受力方向的正应力， 是该方向的线应变。 对于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定 律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的 最终值，所以 U 0 1 x x y y xy xy
第四章 能量原理及其变分法
一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和 应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是 位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须 把比能U0在整个弹性体内进行积分，即
U U 0 dxdydz
第四章 能量原理及其变分法
§ 4-2 虚功原理
1 u 1 1 x x dx lds.1 u dx x u x u x x dx lds x 2 x 2 x 2
直角边dx上剪应力xy所作的虚功为
X xl xy m u Y xy l y m v ds x x y y xy xy dV
V S
与 W总＝W面 X u Y v ds X u Y v dV 是恒等的。 S V 前提条件是
其中 dV1 dxdy 1为微元体的体积。同样，xy所作的虚功为 体积力所作的虚功为
xy u u xy dV1 y y
Xdxdy.1 u X udV1
同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微 元体上所有力所作的虚功之和为
x u dx u dx u x x x dV1 x u x x u x dV u 1 x x dV1 x x x
X x l xy m u Y xy l y m v ds
X xl xy m u Y xy l y m v ds x x y y xy xy dV
则
U X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV 0
S V

S

V
由于虚位移是微小的，可以把上式中的变分符号提到积分 号前面，得到 [U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ] 0
x x y y xy xy dV2 x xy xy y X u Y 变形体的总虚功为 W总 x y v dV y x V
V S
第四章 能量原理及其变分法
由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以 总虚功 W总 x x y y xy xy dV
V
所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成 W总 =W外 + W面 其中 W外 X u Y v ds X u Y v dV

S

V
第四章 能量原理及其变分法
其中，外力在实际位移上所做的功
W Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV
S V


取其负号，定义为外力势能（以外力为零的自然状态的势 能为零），将弹性体的应变能和外力势能之和，定义为系 统的总势能，记为 P U W
成立，同时
xl xy m X 0, xyl y m Y 0
成立。
第四章 能量原理及其变分法
虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界 条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。 对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体 在空间应力状态下的虚功方程式
y
x
dx
其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。
x
给变形体以微小虚位移u、v，各微元体将有虚应变 u v v u x , y , xy
x y x y
第四章 能量原理及其变分法
首先，分析变形体内部的微元体由正应力x所作的虚功。

E 1 1 2
如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成
U0 1 1 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x y z x y y z z x 2E E 2G
x xy xy y dW1 X u Y v dV1 x x xy xy y y dV1 x y x y
第四章 能量原理及其变分法
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V


于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的
总虚功等于变形体所“接受”的总虚变形功，则变形体各处都
处于平衡状态。
x xy xy y X u Y W总 v dV x y y x V
虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位 移过程中真实力所作的功，称为虚功。
“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力 所作的总虚功必等于变形体所‘接受’的总虚变形功 —— 变形体的虚功原理
为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说 明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面 力 X , Y ）和给定的约束条件下处于平衡状态，用x、y和xy表 示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
2
第四章 能量原理及其变分法
对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2
U0
将广义虎克定律代入上式，得 展开为 其中
1 T D 2 2 1 1 2 2 2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 U 0 x y z G x y z2 G xy yz zx 2 2
S V
W面 ＝ 0 总虚功表达式写成 W总＝ W外 X u Y v ds X u Y v dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
最后，得出
S
V
x
y y xy xy dV