机械优化设计第七章PPT课件
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机械优化设计PPT
2.梯度投影法
约束面上的梯度投影方向
四、步长的确定
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1) 取一试验步长αt，计算试验点xt。
2) 判别试验点xt的位置。 3) 将位于非可行域的试验点xt，调整到约束面上。
2. αk取到约束边界的最大步长
3.计算步骤
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
图6-36 增广乘子法框图
第七节 非线性规划问题的线性化解法——线性逼近法
一、 序列线性规划法
二、割平面法 三、小步梯度法 四、非线性规划法
一、 序列线性规划法
6-37
二、割平面法
三、小步梯度法
1) 由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。 2) 由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用随机法产生。 3) 由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。
二、复合形法的搜索方法
1.反射 2.扩张 3.收缩 4.压缩
1.反射
1) 2) 3) 4) 计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点L、最坏 点H及次坏点G 计算除去最坏点H外的(k-1)个顶点的中心C 从统计的观点来看，一般情况下，最坏点H和中心点C的连线方向为目标
四、非线性规划法
第八节 广义简约梯度法
一、 简约梯度法
一、 简约梯度法
二、 广义简约梯度法
二、 广义简约梯度法
三、 不等式约束函数的处理和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
机械优化设计方法ppt课件
目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
机械优化设计PPT
二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤
表7-3 离散变量优化的主要方法及其特点和步骤
图7-8 两个目标函数的等值线和约束边界
三、协调曲线法
图7-9 协调曲线
四、分层序列法及宽容分层序列法
四、分层序列法及宽容分层序列法
采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程 无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时， 则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义 了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至 第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数 考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则 更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这 种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函 数的最优值取给定的宽容量，即ε1>0，ε2>0，…。这样，在求后一 个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内， 而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避 免了计算过程的中断。
5.组合型算法终止准则
6.组合型算法的辅助功能
(1) 直线加速与二次曲线加速 当目标函数严重非线性时，即若
函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进 行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速 能力。 (2) 网格搜索法技术 将离散空间视为一网格空间，每个离散点 就是一个网格节点。 (3) 变量分解策略 将目标函数中的变量分成若干个子集合，若
离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算
的优化点重合，算法才最终结束。
6.组合型算法的辅助功能
图7-24 有脊线目标函数 寻优过程示意图
《机械优化设计》自学考试教学要求PPT课件
2. 牛顿型方法 识记：多元函数求极值的牛顿法迭代公式；牛顿方向和阻尼 牛顿方向。 领会：牛顿法和阻尼牛顿法的计算过程。 应用：用牛顿法和阻尼牛顿法求函数极值。
2021/3/12
13
第四章 无约束优化方法
3. 共轭方向及共轭方向法
识记：共轭方向的概念；共轭方向的性质，求共轭方向的 迭代公式。
领会：共轭方向法迭代过程，格拉姆-斯密特向量系共轭化 方法。
2021/3/12
10
第三章 一维搜索方法
一、考核知识点与考核要求
1.一维搜索原理 识记：一维搜索迭代公式；一维搜索最佳步长因子。 领会：一维搜索最佳步长因子数值解法原理。
2. 搜索区间的确定与区间消去法 识记：确定搜索区间的外推法原理，一维搜索区间的 特征；区间消元法原理；一维搜索方法的分类。 领会：外推法和区间消去法的工作步骤。 应用：外推原则和区间消去的判定原则。
本章重点：优化设计问题的基本概念和几何解释。 本章难点：优化设计问题数学模型的建立。
2021/3/12
6
第二章 优化设计的数学基础
一、考核知识点与考核要求
1. 多元函数的方向导数与梯度 识记：方向导数；梯度；负梯度方向。 领会：方向导数与梯度的关系；梯度方向与等 值线的关系。 应用：二元和多元函数的梯度的计算。
《机械优化设计》自学考试 教学要求
2021/3/12
1
一、教学内容和重点、难点 二、考核要求
2021/3/12
2
一、教学内容和重点、难点
绪论 第一章 优化设计概述 第二章 优化设计的数学基础 第三章 一维搜索方法 第四章 无约束优化方法 第五章 线性规划 第六章 约束优化方法 第七章 多目标和离散变量优化方法 第八章 机械优化设计实例
2021/3/12
13
第四章 无约束优化方法
3. 共轭方向及共轭方向法
识记：共轭方向的概念；共轭方向的性质，求共轭方向的 迭代公式。
领会：共轭方向法迭代过程，格拉姆-斯密特向量系共轭化 方法。
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第三章 一维搜索方法
一、考核知识点与考核要求
1.一维搜索原理 识记：一维搜索迭代公式；一维搜索最佳步长因子。 领会：一维搜索最佳步长因子数值解法原理。
2. 搜索区间的确定与区间消去法 识记：确定搜索区间的外推法原理，一维搜索区间的 特征；区间消元法原理；一维搜索方法的分类。 领会：外推法和区间消去法的工作步骤。 应用：外推原则和区间消去的判定原则。
本章重点：优化设计问题的基本概念和几何解释。 本章难点：优化设计问题数学模型的建立。
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第二章 优化设计的数学基础
一、考核知识点与考核要求
1. 多元函数的方向导数与梯度 识记：方向导数；梯度；负梯度方向。 领会：方向导数与梯度的关系；梯度方向与等 值线的关系。 应用：二元和多元函数的梯度的计算。
《机械优化设计》自学考试 教学要求
2021/3/12
1
一、教学内容和重点、难点 二、考核要求
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一、教学内容和重点、难点
绪论 第一章 优化设计概述 第二章 优化设计的数学基础 第三章 一维搜索方法 第四章 无约束优化方法 第五章 线性规划 第六章 约束优化方法 第七章 多目标和离散变量优化方法 第八章 机械优化设计实例
机械优化设计第七章29页PPT
t1 1 t3 3 t2 2 1 2 (13 )
相应函数值：
f1f(1) f2f(2) f3f(3)
插值节点：
P 1(1 ， f1);P 2(2,f2) P 3(3,f3)
2、 过“ P1 - P-2 ”P点3 构造一个二次曲线
p() 逼 近 f ()
p()abc2 p() —“逼近函数”
实用的一维优化方法分类
1、消去法： 不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所
在的范围，最终找到最优点 （如：黄金分割法、Fibonacci法）
2、近似法： 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的
极小点作为目标函数的近似最优点 （如：二次插值法）
黄金分割法(0.618法)的基本原理
l l
(1)l
初始区间：[1 ,3 ]
1,2不变 3 ， p(4) 1 2， 2 p;3不变
f ()
p()
f ()
f ()
f ()
f1
f3
f1
f3
f2
f
p
f2
f
p
O
O
1
2
p
3
1
2
p
3
3
1 2
2）p(4)2：
c.fp (f4)f2 [1， 3]1
1 p,2，3不变
f ()
f ()
d.fp (f4)f2 [1 ， 3]1
三、终止准则
1 、点距准则
(k1) p
(k) p
(k1)
上式:满 f* 足 * f( p (k* ))
2、函数下降量准(教 则 科： 书中的框 ) 图使
四、二次插值法计算框图 (见教科书)
〈例题分析〉
相应函数值：
f1f(1) f2f(2) f3f(3)
插值节点：
P 1(1 ， f1);P 2(2,f2) P 3(3,f3)
2、 过“ P1 - P-2 ”P点3 构造一个二次曲线
p() 逼 近 f ()
p()abc2 p() —“逼近函数”
实用的一维优化方法分类
1、消去法： 不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所
在的范围，最终找到最优点 （如：黄金分割法、Fibonacci法）
2、近似法： 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的
极小点作为目标函数的近似最优点 （如：二次插值法）
黄金分割法(0.618法)的基本原理
l l
(1)l
初始区间：[1 ,3 ]
1,2不变 3 ， p(4) 1 2， 2 p;3不变
f ()
p()
f ()
f ()
f ()
f1
f3
f1
f3
f2
f
p
f2
f
p
O
O
1
2
p
3
1
2
p
3
3
1 2
2）p(4)2：
c.fp (f4)f2 [1， 3]1
1 p,2，3不变
f ()
f ()
d.fp (f4)f2 [1 ， 3]1
三、终止准则
1 、点距准则
(k1) p
(k) p
(k1)
上式:满 f* 足 * f( p (k* ))
2、函数下降量准(教 则 科： 书中的框 ) 图使
四、二次插值法计算框图 (见教科书)
〈例题分析〉
机械优化设计概述(PPT共 95张)
求：在钢管压应力 不超过
和失稳临界应力
e
y
条件下，
使质量m最小的高度h和直径D？
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计
解：（1）钢管满足的强度与稳定条件
钢管所受压力
2 FL F (B h ) F 1 h h 1 2 2
2 EI 压杆临界失稳的临界力 Fe L2
A 2 T D2 8
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计 强度约束条件： y 稳定约束条件： e
F B h TDh
2
1 2 2
y
FB h
2
1 2 2
T D h
2 2ET2 D 2 2 8B h
使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；
使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；
使零缺陷（废品）设计成为可能；
大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；
大大提高了生产效率，降低了产品开发周期。
绪论
2 机械的设计方法 实际案例：
2 r i arccos i
2 2 r l l 2 l l i 1 4 1 4cos i
2
2
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-3 平面连杆机构的优化 解：（2）约束条件
g 1 l1 l 2 0 g 2 l1 l 3 0 g 3 l1 l 4 l 2 l 3 0 g 4 l1 l 2 l 3 l 4 0 g 5 l1 l 3 l 2 l 4 0 l 22 l 32 l 1 l 4 2 g 6 arccos 2 l2l3 max 0
机械设计方案(PPT91页)
造性。 ● 从较单一的应用力学体系发展到多学科融合的系统工
程，更具多元性。 ● 从设计的指导思想、理论体系以及设计技法、设计的物
质手段都充分体现了最新的科学技术成就，更具完美 性。 ● 设计“绿色机器”成了现代机械设计追求的目标。
13
二、创造性设计与创造性思维 创造性思维的主要特点 ● 独特性； ● 多向发散性； ● 非逻辑性； ● 连动性； ● 综合性。
17
方法名称
方法的主要特点
方法的主要目的
专利利用法 移植法 黑箱法
假拟设计 优化设计 反求设计
利用专利文献寻求改进、完善设 防止盲目，避免重复劳
想
动
把一个对象的原理、方法运用于 使已有技术在新领域中
另一个对象中
延续和拓展
根据输入、输出内容，探求黑箱 内部的原理和结构
用因果逻辑关系寻求输 入与输出的最佳联系方 式
组合法 功能分析法
综摄法 转向法 仿生法 函询集智法
按一定技术原理，将两个或多个 功能元素合并，形成新产品、新 产生新功能 工艺、新材料
紧紧围绕功能分析、求解、组合 满足产品的功能要求是
寻找方案
设计的核心
把初次接触的事物或发现，联系 到熟悉的事物中，用新眼光变熟 悉为陌生，以新观点、新方式思 考问题
第七章 机械系统运动方案设计
第一节 机械总体方案设计
重要性 直接决定产品的性能、质量及其在市场上的竞争力和企 业效益。 核心内容 机械运动方案设计，最具创造性和综合性。 一、机械产品的设计过程 五个阶段 产品规划(概念设计)、总体方案设计、结构技术设计、 生产施工设计(工艺设计)、改进设计。
1
机械产品设计一般进程
顺序的安排 各级传动比的分配
程，更具多元性。 ● 从设计的指导思想、理论体系以及设计技法、设计的物
质手段都充分体现了最新的科学技术成就，更具完美 性。 ● 设计“绿色机器”成了现代机械设计追求的目标。
13
二、创造性设计与创造性思维 创造性思维的主要特点 ● 独特性； ● 多向发散性； ● 非逻辑性； ● 连动性； ● 综合性。
17
方法名称
方法的主要特点
方法的主要目的
专利利用法 移植法 黑箱法
假拟设计 优化设计 反求设计
利用专利文献寻求改进、完善设 防止盲目，避免重复劳
想
动
把一个对象的原理、方法运用于 使已有技术在新领域中
另一个对象中
延续和拓展
根据输入、输出内容，探求黑箱 内部的原理和结构
用因果逻辑关系寻求输 入与输出的最佳联系方 式
组合法 功能分析法
综摄法 转向法 仿生法 函询集智法
按一定技术原理，将两个或多个 功能元素合并，形成新产品、新 产生新功能 工艺、新材料
紧紧围绕功能分析、求解、组合 满足产品的功能要求是
寻找方案
设计的核心
把初次接触的事物或发现，联系 到熟悉的事物中，用新眼光变熟 悉为陌生，以新观点、新方式思 考问题
第七章 机械系统运动方案设计
第一节 机械总体方案设计
重要性 直接决定产品的性能、质量及其在市场上的竞争力和企 业效益。 核心内容 机械运动方案设计，最具创造性和综合性。 一、机械产品的设计过程 五个阶段 产品规划(概念设计)、总体方案设计、结构技术设计、 生产施工设计(工艺设计)、改进设计。
1
机械产品设计一般进程
顺序的安排 各级传动比的分配
《机械优化设计》课件
成本最低、 利润最大、 效率最高、 能耗最低、 综合性能最好
f(x*)
0
x*
x
在规定的范围内（或条件下），
寻找给定函数取得的最大值（或最
小值）的条件。
………
绪论
1.2 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限制条件下，
优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。
1.3 传统设计与优化设计 传统设计：求得 可行解，人工计算。 优化设计：解得 最优解，计算机计算。
优化问题的数学模型是实际优化问题的数学抽象。在
明确设计变量、约束条件和目标函数之后，优化设计问
题可以表示成一般的数学形式。
求设计变量向量
使
且满足约束条件
或可写成miຫໍສະໝຸດ f ( X ) f (x1, x2, , xn )
s.t.
gu ( X ) gu (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, m) hk ( X ) hk (x1, x2, , xn ) 0 (u 1, 2, k)
361240181
第二章 优化设计的数学基础
等值线的分布规律： 等值线越内层其函数值越小（对于求目标函数的极小化来说） 沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为 极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极 （小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别） 的值，才能确定极（小）值点。
•欢迎加入湖工 大考试资料群：
361240181
•欢迎加入湖工 大考试资料群：
优化设计概述
一 优化设计内涵 二 优化设计基本过程——人字架的 优化设计 三 优化设计问题的描述——数学模型
机械优化设计课件prt7
第七章 多目标及离散变量优化方法简介
第一节 多目标优化问题
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价其优劣， 往往要同时考虑多个目标。例如 减速箱的设计提出下列要求： 1.各齿轮体积之和f1(X)尽可能小，用料少，成本低。 2.各传动轴间的中心距总和f2(X)尽可能小，结构紧凑。 3.齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，运转噪声小。 4.传动效率尽可能高，机械损耗率f4(X)尽可能低，以节省能源。
W
i 1
i
i
1 Wi 0 (i 1,2,...,l )
评价函数为
min F ( x) min{ Wi f i ( x) }
i 1
l
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权 系数Wi,以反映各个单目标对整个多目标问题中 的重要程度。使原多目标优化问题较为合理地 转化为单目标优化问题，且此单目标优化问题 的解又是原多目标优化问题的好的非劣解。 一种确定权系数的方法
i 1 lBiblioteka 三、分层序列法及宽容分层序列法
将目标函数，按重要程度排列，然后依次对各个目标求最优 解，不过后一个目标在前一目标最优解的集合域内寻找。
第三节 离散变量优化问题
整数变量 齿轮的齿数、加强筋的数量、行星轮的个数等。 离散变量 齿轮模数、型钢尺寸以及大量的标准表格，数据等。 整数可以视为是离散数的一种特殊形式 离散变量是指在规定的变量界限内，只能从有限个离散值或整数 值中取值的一种变量。 处理离散变量的一种简易方法是将其视为连续变量来处理，在得 到有化解后，圆整到最近的值。 问题： 1.圆整后出界 2.没有排他性
2.理想点法与平方和加权法
使各个目标尽可能接近各自的理想值，从而可以 求出较好的非劣解。理想点的评价函数为：
第一节 多目标优化问题
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价其优劣， 往往要同时考虑多个目标。例如 减速箱的设计提出下列要求： 1.各齿轮体积之和f1(X)尽可能小，用料少，成本低。 2.各传动轴间的中心距总和f2(X)尽可能小，结构紧凑。 3.齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，运转噪声小。 4.传动效率尽可能高，机械损耗率f4(X)尽可能低，以节省能源。
W
i 1
i
i
1 Wi 0 (i 1,2,...,l )
评价函数为
min F ( x) min{ Wi f i ( x) }
i 1
l
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权 系数Wi,以反映各个单目标对整个多目标问题中 的重要程度。使原多目标优化问题较为合理地 转化为单目标优化问题，且此单目标优化问题 的解又是原多目标优化问题的好的非劣解。 一种确定权系数的方法
i 1 lBiblioteka 三、分层序列法及宽容分层序列法
将目标函数，按重要程度排列，然后依次对各个目标求最优 解，不过后一个目标在前一目标最优解的集合域内寻找。
第三节 离散变量优化问题
整数变量 齿轮的齿数、加强筋的数量、行星轮的个数等。 离散变量 齿轮模数、型钢尺寸以及大量的标准表格，数据等。 整数可以视为是离散数的一种特殊形式 离散变量是指在规定的变量界限内，只能从有限个离散值或整数 值中取值的一种变量。 处理离散变量的一种简易方法是将其视为连续变量来处理，在得 到有化解后，圆整到最近的值。 问题： 1.圆整后出界 2.没有排他性
2.理想点法与平方和加权法
使各个目标尽可能接近各自的理想值，从而可以 求出较好的非劣解。理想点的评价函数为：
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c2
(
f2
f1) (2 1)c1 (2 3)
12
p
1 2(13c1c2)
然后，原区间再缩短，进行多次的插值计算，
使 的点 列p {
*
}不*p1， 断逼*p2近原函数的极小点
二、区间的缩短
1、计算
f
p
fp f( p)(f(4)f4)
13
2、比较：
与
2
两 点函数值的大小。两者 p
较小者相应的点为新的 点2 ( 与 2
p
均有可能)。以此新点左右两邻点为新的 1
和 点3 ，缩短后的新区间[ ]1，3
3、讨论：
步骤2比较 f 2与
f
p
的大小，按照
相
p
对于 2 的位置，区间缩短分下面4种情况：
14
1） p(4)2:
a.f2fp (f4) [1 ， 3]1 b .f2fp (f4) [1 ， 3]1
1,2不变 3 ， p(4) 1 2， 2 p;3不变
一元函数 f (： ) 初始区间 [1： ,3]
7
试 点t1 ： _t2_t3
t1 1 t3 3 t2 2 1 2 (13 )
相应函数值：
f1f(1) f2f(2) f3f(3)
插值节点：
P 1(1 ， f1);P 2(2,f2) P 3(3,f3)
8
2、 过“ P1 - P-2 ”P点3 构造一个二次曲线
a (3 2 )23 f1 (1 3 )13 f2 (2 1 )12 f3 (1 பைடு நூலகம்2 )2 ( 3 )3 ( 1 )
b(2 23 2)f1 (3 21 2)f2 (1 22 2)f3 (12)(23)(31)
c (23 )f1 (31 )f2 (12 )f3 (12 )( 23 )( 31 )
p() 逼 近 f ()
p()abc2 p() —“逼近函数”
式中：a、b、c—待定系数
根据插值原理：
p(1)ab1c12 p(2)ab2c22
ff12
p(3)ab3c32 f3
（1）
9
f ()
p()
P1(1，f1)
f () P3(3，f3)
f1
P2(2，f2)
f3
f2
O
1
* 2
p
3
10
解方程组（1）得：
18
迭代精度为 0.1
1、 0.618 法：
解：⑴ 取内分点 x11、求x1相2 应的函数值
f(x11 )、 f(x12)
x11x10.38(2x3x1)1.50.38(27.51.5) 3.792
x12x10.61(8x3x1)1.50.61(87.51.5) 5.208
19
f1f(x11 )x12110 x1135 1.1459264 f2f(x12 )x12210 x1235 1.0043264
f
p
f2
O
1
p
2
1
p()
f3
3
f1
f
p
O
1
p
f2
2
2 3
f3
3
16
当缩短后的新区间确定后，既可重复前述的
插值计算。这样，多次重复“插值——区间缩
短——插值”的计算循环。插值函数的
p
就极
其接近目标函数的最优点 。 最* 后可按终止准则
规定的精度满足要求而终止计算
三、终止准则
1 、点距准则
f ()
p()
f ()
f ()
f ()
f1
f3
f1
f3
f2
f
p
f2
f
p
O
O
1
2
p
3
1
2
p
3
3
1 2
15
2）p(4)2：
c.fp (f4)f2 [1， 3]1
1 p,2，3不变
f ()
f ()
d.fp (f4)f2 [1 ， 3]1
3 2， 2 p(4)， 1不变
f ()
f ()
f1
p()abc2
11
3、 求插值函数 p(的)极小点 ： p
p()abc2
p()b2c0
p
b 2c
p1 2((2 2 2 3 2 3 ) )ff1 1 ( (3 2 3 1 1 2 ) )ff2 2 ( (1 1 2 2 2 2 )) ff3 3
令： c1 (f3 f1) (3 1)
第一次缩短时的原区间：
(1 ) 1
1;
(1 )
3
3
区间缩短的终止条件：
设：K—区间缩短次数， ε—迭代精度，按点距准则：
3 ( k ) 1 ( k ) k (3 1 ) 0 .6k ( 1 3 8 1 )
4
4 一维优化方法 4.4 二次插值法(近似抛物线法)
一维优化方法例题分析
⑵ 缩短区间
f1 f 2，舍去： [x1，x11 ]，
并做置换 :
x (1) 1
x11
： 初始区间 [1, 3]
111 123
x21 x12 x3(1)不变
f1
f2
x 1
x11
新 [ x 1 区 ,x 3 ] 1 x 1 ( 1 ) , 间 x 3 ( 1 ) x 1
5
1、进一步体会一维优化方法的基本思想 2、明确黄金分割法和二次插值法之间的区别 3、熟悉二次插值法的基本思想及应用条件
6
4.4 二次插值法 (近似抛物线法)
插值基本原理： 多项式逼近原理
利用目标函数在一些点的函数值等信息来构 造一个低次插值多项式，以此多项式的最优点 作为原函数的最优点的近似解 一、 二次插值函数的构成 1、取点且计算相应函数值(构造插值节点)
4 一维优化方法
4.1 概 述 4.2 初始搜索区间的确定 4.3 黄金分割法
1
实用的一维优化方法分类
1、消去法： 不断的消去部分搜索区间，逐步缩小最优点所
在的范围，最终找到最优点 （如：黄金分割法、Fibonacci法）
2、近似法： 用一个多项式来代替目标函数，并用多项式的
极小点作为目标函数的近似最优点 （如：二次插值法）
(k1) p
(k) p
(k1)
17
上式:满 f* 足 * f( p (k* ))
2、函数下降量准(教 则 科： 书中的框 ) 图使
四、二次插值法计算框图 (见教科书)
〈例题分析〉
分别用黄金分割法与二次插值法求目标函数 f(X)x210 x35的最优解初始区间为[1.5，7.5]
2
黄金分割法(0.618法)的基本原理
l l
(1)l
初始区间：[1 ,3 ]
111123
f1
f2
1
11
12
3 1
22 3
新区 [间 1, 3]1
f1
f2
11 12
3
1
21
新区 [ 间 1,3]1 3
内分点的取点原则为：
1 1 1 (1 ) (1 )( 3 (1 )1 (1 ))1 (1 ) 0 .3(8 3 (1 ) 21 (1 )) 1 2 1 (1 )(3 (1 )1 (1 )) 1 (1 ) 0 .6(1 3 (1 ) 81 (1 ))