四种命题及其关系PPT课件
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高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
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答案 (1)若 ab＝0，则 a＝0 (2)“若 p，则綈 q” (3)若|a|≠|b|，则 a≠b (4)若 a≤－4，则 a≤－3 真命题
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探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
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(3)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面． (4)原命题：若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn<0. 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.
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【跟踪训练 3】 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b ＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”．
高二数学四种命题的相互关系PPT优秀课件
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接 地证明原命题为真命题.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析: 将若“p2+q2=2,则p+q2”视为原命
题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的
逆否命题“若p+q>2,则p2+q22”为真命
=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
小结：
1、四种命题的相互关系
2、四种命题的真假判断
原命题
逆命题
否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
P10 习题1.1A组 4
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
我们发现，命题（2）（3）是互 为逆否命题，命题（2）（4）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
互逆
逆否命题
若¬q,则¬p
前面考察了四种命题之间的相互关系。
题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
证明: 若p+q>2,则
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析: 将若“p2+q2=2,则p+q2”视为原命
题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的
逆否命题“若p+q>2,则p2+q22”为真命
=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
小结：
1、四种命题的相互关系
2、四种命题的真假判断
原命题
逆命题
否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
P10 习题1.1A组 4
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
我们发现，命题（2）（3）是互 为逆否命题，命题（2）（4）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
互逆
逆否命题
若¬q,则¬p
前面考察了四种命题之间的相互关系。
题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
证明: 若p+q>2,则
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
命题及四种命题培训课件.ppt
条件和结论的否定
像这样，一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个 命题叫做互否命题，其中一个叫原命题，另一个 叫原命题的否命题.
vv
否命题
一般地，把条件p,结论q的否定分别记作“ p, q”, 读作“非p”、“非q”.
因此若原命题为“若p,则q”， 则否命题为：若 p,则q”
真
逆命题：若ab=0,则a=0 假
否命题：若a 0，则ab 0 假
逆否命题：若ab 0,则a 0 真
4原命题：若a b,则a2 b2 假
相等； • ④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不
全等；
vv
观察命题①与命题②的条件和结论之间 分别有什么关系？
①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；
可以发现命题①与②的 条件与结论互换了
像这样，一般地，对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题， 其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的 逆命题。
正面 词语 否定
等于 大于 小于 不等于 不大于 不小于
是 不是
都是 不都是
正面 词语 否定
全 不全
至少有 一个
一个也 没有
能 不能
P或q
非p且 非q
P且q
非p或 非q
vv
例1.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否
命题并判断真假
1原命题：若x2 3x 2 0,则x 2
假
逆命题：若x 2,则x2 3x 2 0
的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
像这样，一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个 命题叫做互否命题，其中一个叫原命题，另一个 叫原命题的否命题.
vv
否命题
一般地，把条件p,结论q的否定分别记作“ p, q”, 读作“非p”、“非q”.
因此若原命题为“若p,则q”， 则否命题为：若 p,则q”
真
逆命题：若ab=0,则a=0 假
否命题：若a 0，则ab 0 假
逆否命题：若ab 0,则a 0 真
4原命题：若a b,则a2 b2 假
相等； • ④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不
全等；
vv
观察命题①与命题②的条件和结论之间 分别有什么关系？
①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；
可以发现命题①与②的 条件与结论互换了
像这样，一般地，对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题， 其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的 逆命题。
正面 词语 否定
等于 大于 小于 不等于 不大于 不小于
是 不是
都是 不都是
正面 词语 否定
全 不全
至少有 一个
一个也 没有
能 不能
P或q
非p且 非q
P且q
非p或 非q
vv
例1.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否
命题并判断真假
1原命题：若x2 3x 2 0,则x 2
假
逆命题：若x 2,则x2 3x 2 0
的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
四种命题的关系 PPT课件
四种命题的相互关系： 回顾
四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真 假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的 真假性没有关系．
回顾：
• 交__题__。_
• 同否时命否题定。原命题的条件和结论，所得的命 题是________
• 交换原命逆题否的命条题件。和结论，并且同时否定， • 所原得命的题命: 题若是p,__则__q______ 逆命题:若q,则
p
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则q
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 凡质数都是奇数 假
逆命题 凡奇数都是质数 假
否命题 不是质数就不是奇数 假
逆否命题 不是奇数就不是质数 假
几条结论:
1、真假个数一定是偶数，即0个，2个，4个。 2、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 3、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
离不相等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 两个三角形全等,则它们的面积相等. 真 逆命题 两个三角形的面积相等,则它们全等. 假 否命题 两个三角形不全等,则它们的面积不相等.
假 逆否命题 两个三角形的面积不相等,则它们不全等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题“若m ≤ 0,或n ≤ 0,则m+n ≤ 0”假
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假
反设
设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理
归谬
论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
《四种命题的关系》课件
四种命题的实例分析
实例一：真假命题的判断
总结词
通过具体例子，理解真假命题的判断方法。
详细描述
在数学中，一个命题的真假是根据其是否符合事实或逻辑来确定的。例如， “2+2=4”是一个真命题，因为它符合数学中的加法规则。而“2+2=5”是一 个假命题，因为它不符合加法的运算规则。
实例二：命题推理的应用
02
03
04
逆命题：若q，则p
逆否命题：若非q，则非p
逆否命题的逆命题：若非p， 则非q
02
四种命题之间的关系
命题之间的逻辑关系
1 2 3
互为逆否的两个命题真假性相同
这意味着如果一个命题是真的，那么它的逆否命 题也是真的；如果一个命题是假的，那么它的逆 否命题也是假的。
逆命题与否命题同真假
这意味着如果一个命题的逆命题是真的，那么原 命题也是真的；如果一个命题的否命题是真的， 那么原命题也是真的。
详细描述
在数学中，原命题是一个明确的陈述，如“所有直角都是90度”。逆命题是将原命题的主语和谓语互换得到的， 如“所有90度的角都是直角”。否命题是改变原命题的前件或后件得到的，如“不是直角的角不一定是90度”。 逆否命题是将逆命题的前件或后件否定得到的，如“不是90度的角一定不是直角”。
05
四种命题的练习题与答案
商业决策
在商业决策中，企业家常常需要 利用四种命题的关系，分析市场 趋势和风险，以制定合理的商业
计划。
家庭关系
在家庭关系中，家长常常需要利 用四种命题的关系，处理家庭矛
盾和纠纷，以维护家庭和谐。
人际交往
在人际交往中，人们常常需要利 用四种命题的关系，理解对方的 意图和需求，以建立良好的人际
实例一：真假命题的判断
总结词
通过具体例子，理解真假命题的判断方法。
详细描述
在数学中，一个命题的真假是根据其是否符合事实或逻辑来确定的。例如， “2+2=4”是一个真命题，因为它符合数学中的加法规则。而“2+2=5”是一 个假命题，因为它不符合加法的运算规则。
实例二：命题推理的应用
02
03
04
逆命题：若q，则p
逆否命题：若非q，则非p
逆否命题的逆命题：若非p， 则非q
02
四种命题之间的关系
命题之间的逻辑关系
1 2 3
互为逆否的两个命题真假性相同
这意味着如果一个命题是真的，那么它的逆否命 题也是真的；如果一个命题是假的，那么它的逆 否命题也是假的。
逆命题与否命题同真假
这意味着如果一个命题的逆命题是真的，那么原 命题也是真的；如果一个命题的否命题是真的， 那么原命题也是真的。
详细描述
在数学中，原命题是一个明确的陈述，如“所有直角都是90度”。逆命题是将原命题的主语和谓语互换得到的， 如“所有90度的角都是直角”。否命题是改变原命题的前件或后件得到的，如“不是直角的角不一定是90度”。 逆否命题是将逆命题的前件或后件否定得到的，如“不是90度的角一定不是直角”。
05
四种命题的练习题与答案
商业决策
在商业决策中，企业家常常需要 利用四种命题的关系，分析市场 趋势和风险，以制定合理的商业
计划。
家庭关系
在家庭关系中，家长常常需要利 用四种命题的关系，处理家庭矛
盾和纠纷，以维护家庭和谐。
人际交往
在人际交往中，人们常常需要利 用四种命题的关系，理解对方的 意图和需求，以建立良好的人际
四种命题、 四种命题间的相互关系 课件
例 3 证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、 b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
方法二 假设 a＋b<0，则 a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知条件 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故 a＋b≥0. 小结 在解答命题的过程中很容易把逆否命题的证法与反 证法混淆，导致错误的原因是忽视了这两种证法的本质区 别．
小结 (1)在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一 是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判 断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行 判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同 真同假． (2)不论用哪种方法判断命题的真假，都要和相关的数学知 识结合，因此要熟练掌握相关的数学知识．
答案 命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是 命题(2)的条件． 对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定．
(1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．
解 (1)原命题：“如果 a 是正数，则 a 的平方根不等于 0”． 逆命题：“如果 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”． 否命题：“如果 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”． 逆否命题：“如果 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”． (2)原命题：“如果 x＝2，则 x2＋x－6＝0”． 逆命题：“如果 x2＋x－6＝0，则 x＝2”． 否命题：“如果 x≠2，则 x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“如果 x2＋x－6≠0，则 x≠2”．
命题及其关系01四种命题PPT教学课件
我们把用语言、符号或式子表达的，
可以判断真假的语句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假
的语句称为假命题． 2020/12/10
2
命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q” 的形式 也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题 的条件,q叫做结论.
记做: pq
原命题为真，它的否命题不一定为真；
20原20/12/1命0 题为真，它的逆否命题一定为真.
10
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 同时指出它们的真假。
（1）菱形的对角线互相垂直且平分；
（2）四边相等的四边形是正方形；
（3）负数的平方是正数；
2020/12/10
两个互为逆否的命题同真或同假
2020/12/10
14
课后练习
1．命题“内错角相等，则两直线平行”的
否命题为（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线不平行，则内错角不相等
C．内错角不相等，则两直线不平行
D．内错角不相等，则两直线平行
2．命题“若 a b ，则 a 1”的逆否命题为（ ） b
A．若 a 1，则 a b B．若 a ≤ b ，则 a ≤1
b
b
C．若 a b ，则 b a D．若 a ≤1，则 a ≤ b b
2020/12/10
15
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
16
2020/12/10
1
问题1:下面的语句的表述形式有什么特点？ 你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3) 2+3=6; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根；
可以判断真假的语句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假
的语句称为假命题． 2020/12/10
2
命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q” 的形式 也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题 的条件,q叫做结论.
记做: pq
原命题为真，它的否命题不一定为真；
20原20/12/1命0 题为真，它的逆否命题一定为真.
10
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 同时指出它们的真假。
（1）菱形的对角线互相垂直且平分；
（2）四边相等的四边形是正方形；
（3）负数的平方是正数；
2020/12/10
两个互为逆否的命题同真或同假
2020/12/10
14
课后练习
1．命题“内错角相等，则两直线平行”的
否命题为（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线不平行，则内错角不相等
C．内错角不相等，则两直线不平行
D．内错角不相等，则两直线平行
2．命题“若 a b ，则 a 1”的逆否命题为（ ） b
A．若 a 1，则 a b B．若 a ≤ b ，则 a ≤1
b
b
C．若 a b ，则 b a D．若 a ≤1，则 a ≤ b b
2020/12/10
15
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16
2020/12/10
1
问题1:下面的语句的表述形式有什么特点？ 你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3) 2+3=6; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根；
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20
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p2 q2 ≥2 pq ,
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
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2
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件 和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;
2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系：
作业：习题1.1 A组 2-4题
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
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练习 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设 a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
a <b aaba
abbb a<b
a= ba=b
这些条件都与已知ab0矛盾
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命
题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条
件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
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观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
2. 若f(x)是周期函数，p 则f(x)是正弦函数；q
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另
一个命题的结论和条件，这两个
命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
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3
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
2.
若3. f若(xf)(是x)正不弦是函正数弦，函p则数f，(x则)是f(周x)期不函是数周；期q函数.
非p
非q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q 的否定分别记作 “非p” “非q”
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
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(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.
. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.
否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等.
逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等.
原命题 (真) 否命题 (假)
逆命题 (假) 逆否命题 (真)
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(3)相等的角是对顶角
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真． 否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真．
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命题及其关系
• 小结
这节课主要是学习了一个命题的逆 命题、否命题、逆否命题。并且进行 一个命题的改写成其它三种命题。在 改写过程中，一定要注意命题的条件 和结论是什么。
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命题及其关系
1.1.3 四种命题的ห้องสมุดไป่ตู้互关 系
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回顾
• 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 ___逆__命__题_ 。
• 同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是___否__命__题_ 。
• 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是_____逆__否__命_ 题。
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原命题,逆命题,否命题,逆否命题
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否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若非p , 则非q 。
命题的否定: 若 p ，则非q 。
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例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它 的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
命题及其关系
四种命题
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下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
原命题:若p,则q 否命题:若非p,则非q
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观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
2.
若4. f若(xf)(是x)正不弦是函周数期，函p则数f，(x则)是f(周x)期不函是数正；弦q函数.
非q
非p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q
逆否命题: 若非q, 则非p
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(1)到一个角的两边距离相等的点,都在 这个角的平分线上.
逆命题:角的平分线上的点,到这个角的 两边距离相等.
否命题:到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个角的平分线上.
逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这 个角的两边距离不相等.
原命题 (真) 否命题 (真)
逆命题 (真) 逆否命题 (真)
一定同真假.
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例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
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原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: • 原命题: 若 p, 则 q • 逆命题: 若 q, 则 p • 否命题: 若非p, 则非q • 逆否命题: 若非q, 则非p
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判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。
原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)
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(4)凡质数都是奇数.
逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假)
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几条结论:
• 原命题与逆命题未必同真假. • 原命题与否命题未必同真假. • 原命题与逆否命题一定同真假. • 原命题的逆命题与原命题的否命题
四种命题形式: • 原命题: 若 p, 则 q • 逆命题: 若 q, 则 p • 否命题: 若┐p, 则┐q • 逆否命题: 若┐q, 则┐p
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四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则q
互
互逆
否 否命题
若p则 q
互逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题
若q则p
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• 原命题的真假与其它三 种命题的真假有什么关 系？