时间序列分析在第三产业中的应用分析

时间序列分析在房地产业中的应用分析摘要：从改革开放以来中国经济快速增长，特别是第三产业的的快速增长取得了令人瞩目的成绩，同时在第三产业的内部各行业也在相互影响着,其中我们选取了第三产业的经济增长指数的房地产行业作为分析对象。

首先看此数据的气势，在应用差分运算的方法对其进行平稳化，再根据相关的理论知识进行模型的建立和分析，以此来了解文莱房地产行业及整个第三产业的经济动态，同时为以后的决策提供相关的数据支持。

关键字：时间序列 差分 ARMA 模型 单位根检验 预测1.引言近几年来房地产行业一直过热，其增长态势一浪接一浪，就《新财富》杂志在2003年推出《新财富》400富人榜，据悉，这400个人的财富总和为3031亿元，400人中，共76人是以房地产为主业，占了19%。

再加上走综合类中部分涉足房地产行业的，房地产将超过制造业成为产生富豪最多的行业。

而早些时候的“《福布斯》2002中国内地富豪榜”中，50%的人涉足或以房地产为主业。

这都表明房地产已经成为中国聚集到支柱产业，现在看来该行业已开始出现过热的现象，在2012年中，国家又出台了许多调控政策使得该行业的势头有所减弱，因而对其分析或预测未来的发展态势成为一种必要，我们选取的我1978年到2010的数据作为分析对象，通过用ARMA 模型对样本进行建模对以后房地产行业的增长指数进行预测。

ARMA 模型的全称是自回归移动平均（auto regression moving average ）模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型，它对时间序列的拟合具有很好的效果，本文将会充分利用这种分析方法对所选取的数据进行良好的分析和拟合。

2．ARMA 模型的介绍ARMA 模型（Auto-Regressive and Moving Average Model ）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR 模型）与滑动平均模型（简称MA 模型）为基础“混合”构成。

在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel 研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

ARMA 模型的基本原理：将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。

一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk ，由回归分析，其中Y 是预测对象的观测值， e 为误差。

作为预测对象Yt 受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA 模型表达式：公式里的Xt1应该是Xt-1。

模型的基本形式：AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。

它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为:1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列；MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。

它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。

滑动平均模型的数学公式为:1122t t t t q t q y εθεθεθε---=----式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差； t y 为平稳时间序列；ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为:11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++++----3．建模步骤把所要观察的数据录入时间序列分析软件中之后绘制序列时序图，所给数据的时序图如下：从上图可以看出房地产增加值指数呈现出递增的趋势从而需要引入一个平稳的概念。

在时间序列分析中稳态作为一个工具使用，在这里原始数据经常转换为平稳态，例如经济学数据经常随着季节或者价格水平变化。

如果这些过程是平稳过程与一个或者多个呈现一定趋势的过程的线性组合，那么这些过程就可以表述为趋势平稳。

设{X(t)，t ∈T}是一随机过程，如果对于任意的n ≧1和任意的t1,t2....,tn ∈T 以及使t1+τ, t2+τ,...,tn+τ∈T 的任意实数τ,n 维随机变量（X(t1)，X(t2)，...，X(tn)）和（X(t1+τ）,X( t2+τ）,...,X(tn+τ)）有相同的联合分布函数，即F(t1,t2,...,tn;x1,x2,...xn)=F(t1+τ, t2+τ,...,tn+τ;x1,x2,...,xn) ti ∈T, τ∈R, i=1,2,...,n ，则称{X(t),t ∈T}是严（强，狭义）平稳过程，或称{X(t),t ∈T}具有严平稳性。

其主要性质和结论：（1）严平稳过程的所有一维分布函数F(t;x)=F(x)与t 无关；二维分布函数仅是时间间隔的函数，而与两个时刻本身取值无关，即F(t1,t2;x1,x2)=F(t1+τ, t2+τ;x1,x2)=F(0,t2-t1;x1,x2)；(2)若{X(t)，t ∈T}是正态过程，则{X(t)，t ∈T}是严平稳过程的充要条件是{X(t)，t ∈T}位宽平稳过程。

故此时间序列是非平稳序列，需做进一步分析，再绘制序列相关图，如下图：从上图我们可以看到房地产增值指数的自相关系数和偏相关系数及其相应的p值可以发现其自相关系数一直在衰减但是每阶的变化程度比较小而偏相关系数迅速时间到0，再看p值，都小于0.05故认为此序列非平稳，故还要进行下一步的分析。

平稳时间序列可以看作一种线性转换装置，它将白噪声(whitenoise)信号转换为所描述时间序列．时间序列的平稳性可通过其数据图和自相关函数来判断．如果一个序列的平均和方差始终为常数，则称它为平稳的．如果数据图呈现线性或非线性趋势，则时间序列是不平稳的。

如果自相关函数在前面少数几个值后下降为0，则序列是平稳的；如果在前几个值后，自相关函数没有下降为0，而是逐次减少，则序列不平稳。

在确定时间序列模型之前需把不平稳的时间序列转化为平稳序列．通常用下列方法：i)如果序列Y呈线性趋势，均值不平稳，则利用一阶差分；ii)如果序列呈现二次趋势，均值不是常数，则利用二阶差分；．iii)如果序列呈现随时间的上升或下降偏差，方差不是常数，则通常可利用自然对数将其平稳化。

明白这些概念以后我们将对数据进行预处理，先对原来的数据取对数进行必要的预处理再对取对数后的数据进行一阶差分此后的得到的如下的时序图：明显的可以看出此图较前面未处理的数据更好一下消除了递增趋势，所以这个序列在模型的拟合上更具有优越性和课操作性。

下面我们再看此序列的相关时序图如下：可以看出自相关洗出和偏相关系数都在二倍方差以内同时p值都大于0.05所以此序列为平稳时间序列。

基于以上分析结果将进行模型的识别、定阶与参数估计，我们可以分别建ar(1) ar(2) ma(1) ma(2)模型，再根据各个模型的拟合程度及各个统计量之间的关系选择最优的模型对时间序列进行准确的描述。

关于差分的阶数的选取，可采用试探的做法，也可利用信息准则，差分阶数一般宜取较低阶(通常取1，2或3)．若对于某一组阶数得到的自相关(或偏相关)函数呈现较好的截尾或拖尾特性，则认为相应的所选取的阶数是适宜的，这时若增大所选取的阶数，则相应的自相关(或偏相关)函数会呈现离散增大及不稳定状态．利用信息准则，即定义一个与模型阶数信息有关的特征参数，从而选取使它达到最小值的阶数作为模型的阶数，其中，Almike(1973)的信息准则(AlmikeInformationCriterion，AIC)是适应性非常广泛的准则，可用于确定模型的最佳阶数。

定义AIC准则函数如下：AIC=-2lg(模型的极大似然度)+2(模型的独立参数个数)=一2L(p)4-2k (3)式中：k为独立参数个数，卢为参数的极大似然估计值，L(．)为似然函数．可见，AIC准则函数由两项构成．第一项体现模型拟合的好坏，它随着阶数的增大而变小；第二项标志了模型参数的多少，即模型的复杂程度，随着模型参数的增加而变大。

AIC同时体现了残差不相关原则和模型简洁原则的结合，并且排除了建模者的主观因素。

作为对这一方法的改进，Akaike(1976)和E．J．Haman(1979)等人提出了BIC准则：BIC(p)=NIg《+p(19N)／N (4)同样，使得BIC最小的P值就是最佳阶数。

同时模型的参数和模型都被相应的确定。

根据最小二乘法及其阶数确定准则可建立arma（2 2）模型和ar(1)其参数如下所示比较上述两个模型从上述给的准则从AIC值可以明显的看出ar（1）模型比arma(2 2)有更好的拟合效果同时从拟合优度和p值都有明显的又是所以后面一个模型拟合出来的效果更具有真实性。

下面我们在检验一下该序列残差是否为白噪声检验。

单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，因为存在单位根就是非平稳时间序列了.单位根就是指单位根过程，可以证明，序列中存在单位根过程就不平稳，会使回归分析中存在伪回归。

单位根检验是随机过程的问题。

定义随机序列{ x_t}，t=1,2,…是一单位根过程，若x_t=ρx_t-1 +ε，t=1,2…其中ρ=1，{ε}为一平稳序列(白噪声)，且E[ε]=0, V(ε)=σ<∞, Cov(ε,ε)=μ<∞这里τ=1,2…。

特别地，若{ε}是独立同分布的，且E[ε]=0，V(ε)=σ<∞，则上式就变成一个随机游走序列，因此随机游走序列是一种最简单的单位根过程。

将定义式改写为下列形式：（1-ρL）x_t =ε，t=1,2,…其中L为滞后算子，1-ρL为滞后算子多项式，其特征方程为1-ρz=0,有根z= 1/ρ。

当ρ=1时，时间序列存在一个单位根，此时{x_t }是一个单位根过程。

当ρ<1时，{x_t }为[1]。

而当ρ〉1时，{x_t }为一类具有所谓爆炸根的非平稳过程，它经过差分后仍然为非平稳过程，因此不为单整过程。

一般情况下，单整过程可以称作单位根过程。

单位根检验时间序列的单位跟研究是时间序列分析的一个热点问题。

时间序列矩特性的时变行为实际上反映了时间序列的非平稳性质。

对非平稳时间序列的处理方法一般是将其转变为平稳序列，这样就可以应用有关平稳时间序列的方法来进行相应得研究。

对时间序列单位根的检验就是对时间序列平稳性的检验，非平稳时间序列如果存在单位根，则一般可以通过差分的方法来消除单位根，得到平稳序列。