九年级数学正方形的性质

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2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

正方形的认识与性质

正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质和独特美感的几何图形。

本文将从正方形的定义、性质及相关应用等方面详细介绍正方形。

一、正方形的定义正方形是指四边相等且四个内角均为90度的四边形。

简单来说，正方形就是一个特殊的长方形，它的四边相等且四个角都是直角。

正方形是几何学中最基本的形状之一，具有非常广泛的应用。

二、正方形的性质1. 边长和内角正方形的四条边相等，每个内角都是90度。

这是正方形与其他四边形的明显区别，也是它的基本性质。

2. 对角线正方形的两条对角线相等且互相垂直交叉于中心点。

对角线的长度等于边长的平方根乘以根号2，即对角线长度等于边长的√2倍。

3. 对称性正方形具有对称性，即对于任意一点O在正方形内，以O为中心旋转180度后，正方形仍然能够保持原状。

这种对称性不仅使得正方形美观，也为一些设计和建筑提供了便利。

4. 面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于边长的四倍。

这一性质常常在计算中得到应用，尤其在涉及到面积和边长的计算时。

5. 关联性质正方形还与一些其他几何图形存在关联性质。

例如，正方形可以看作是菱形的特殊情况，也可以看作是长方形的特殊情况。

在平面几何中，正方形与其他图形之间的关联性广泛而有趣。

三、正方形的应用1. 建筑设计正方形常常被用于建筑设计中，尤其是对称性要求较高的场所。

例如，大门、窗户等元素常常以正方形的形式出现，给人一种稳重、均衡的感觉。

2. 工艺品和装饰品正方形也常常被运用于工艺品和装饰品中。

例如，瓷砖、摆件等常常选择正方形的形式设计，使得作品更加美观、规整。

3. 数学教育正方形是数学教育中的重要内容之一。

学生在学习几何的初级阶段，不仅需要了解正方形的定义和性质，还需要通过绘制、计算等方式进行实际操作，从而深入理解正方形的特点和应用。

四、总结正方形是一种具有独特性质的几何图形，它的四边相等、每个内角为90度、对角相等且垂直，具有对称性。

正方形不仅在建筑设计、工艺品和装饰品等领域得到广泛应用，也是数学教育中不可或缺的内容。

数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方形的基本概念、性质和判定方法，以及它在日常生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第一章第三节的正方形的性质和判定。教学内容主要包括以下方面：
1.正方形的定义：通过前一节矩形和菱形的性质，引导学生探究正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的矩形。
2.正方形的性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等，且均为直角；
2.教学难点
-正方形性质的推导：学生需要理解并推导出正方形的各种性质，如对角线相等、垂直、平分等，这需要较强的逻辑推理能力。
-正方形判定的灵活应用：学生需要能够根据不同情况灵活应用判定方法，这对于部分学生来说可能存在难度。
-解决实际问题中的正方形应用：将正方形的性质和计算方法应用于实际问题，如求解正方形边长或面积，需要学生具备一定的数学建模能力。
（3）对角线互相垂直、平分且相等；

北师大版九上数学北师大版九年级上正方形的判定与性质教案

1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的边长和角度，验证正方形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
b.对角线互相垂直平分且相等的矩形是正方形；
c.有一组邻边相等且对角线互相垂直平分的矩形是正方形。
3.正方形的性质：
a.四条边相等，四个角都是直角；
b.对角线互相垂直、平分、相等；
c.对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形；
d.正方形具有矩形和菱形的性质。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过正方形的判定与性质的学习，使学生能够理解正方形的空间结构特征，提高对几何图形的认识和运用能力。
学生小组讨论环节，整体表现不错，大家能够积极分享自己的观点。但在讨论过程中，我发现部分学生还是比较拘谨，不够积极主动。为了提高学生的参与度，我打算在以后的课堂中多设置一些开放性问题，鼓励他们大胆发表自己的看法。
在总结回顾环节，我发现有些学生对正方形的性质和应用还不够熟练。因此，我计划在下一节课开始时，先对这部分内容进行简要回顾，帮助学生巩固记忆。

正方形性质教案

正方形性质教案【篇一：正方形的性质教案】【篇二：1.3.1正方形的性质与判定(优秀教案)】课题：1．3．1正方形的性质与判定课型：新授课年级：九年级教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题．教学过程：一、回忆童年，情境引入师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？学生思考回答正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）所以说正方形既是菱形又是矩形．（几何画板演示动画）我们这节课就来深入了解正方形．【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．二、实践探究，交流新知师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端．师：你能详细说一说吗？生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．（多媒体显示）正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们能尝试写一下这两个命题的证明过程吗？（学生独立完成，并相互交流）想一想：师：正方形有几条对称轴？（学生思考或者画图验证）三、典例学习，巩固新知如图 1-18，在正方形 abcd 中，e 为 cd 边上一点，f 为bc 延长线上一点，且 ce = cf．be 与 df 之间有怎样的关系？解：be = df，且 be⊥df．理由如下：（1）∵四边形 abcd 是正方形，∴∠ bce = ∠ dcf．又∵ ce = cf，∴△bce ≌△dcf．∴ be = df．（2）延长 be 交 df 于点 m（如图 1-19）．∵△bce ≌△dcf，∴∠ cbe = ∠ cdf．∴ be⊥df．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（学生画图）（多媒体显示）设计意图：①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念．②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段．巩固练习1：如图，在正方形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形abcd中，点f为对角线ac上一点，连接bf,df．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．四、课堂小结，内敛提升师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈纠正1、正方形的四条边，四个角，两条对角线____．2、已知：如图，四边形abcd为正方形，e、f分别为cd、cb延长线上的点，且de＝bf．求证：∠afe＝∠aef．f3．如图，e为正方形abcd内一点，且△ebc是等边三角形，求∠ead与∠ecd b c六、作业布置，落实目标选做题：课本22页习题7．1第1、2题．选做题：课本22页习题7．1第3题．板书设计【篇三：正方形的性质教案】第一章特殊平行四边形3. 正方形的性质与判定（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

初中数学知识归纳正方形与菱形的性质总结

初中数学知识归纳正方形与菱形的性质总结正方形与菱形是初中数学中常见的几何形状，它们有着一些共同的性质。

在本文中，将对正方形与菱形的性质进行归纳总结。

一、正方形的性质正方形是边长相等的四边形，具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，用字母a表示，即AB=BC=CD=DA=a。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角，每个角的度数为90°。

3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，用字母d表示，即AC=BD=d。

4. 对称性：正方形具有对称性，可分为水平对称和垂直对称。

水平对称即以中心线为轴，两侧图形相互对称；垂直对称即以中心点为轴，上下图形相互对称。

5. 面积计算：正方形的面积为边长的平方，即A=a^2。

二、菱形的性质菱形是四条边长度相等的四边形，具有以下性质：1. 边长相等：菱形的四条边长度相等，用字母a表示，即AB=BC=CD=DA=a。

2. 角度相等：菱形的对角线相互垂直，每个内角度数为90°。

3. 对角线相等：菱形的对角线长度相等，用字母d表示，即AC=BD=d。

4. 对称性：菱形具有相对角的对称性，即以对角线为轴中心对称。

5. 面积计算：菱形的面积可通过对角线长度计算，即A=（AC×BD）/2。

三、正方形与菱形之间的关系正方形与菱形之间存在一些重要的关系：1. 正方形是菱形的特殊情况：当菱形的内角都为90°时，即菱形的角度满足正方形的条件，此时菱形就是一个正方形。

2. 菱形是正方形的特殊情况：当正方形的对角线相互垂直时，即正方形的对角线满足菱形的条件，此时正方形就是一个菱形。

3. 正方形的对角线分割成相等的菱形：正方形的对角线将正方形分割成两个相等的菱形。

4. 菱形的对角线构成正方形：菱形的对角线交点形成一个正方形。

综上所述，正方形与菱形都是边长相等的四边形，它们具有一些共同的性质，包括边长相等、角度相等、对角线相等等。

同时，正方形与菱形也有一些特殊的关系，如正方形是菱形的特殊情况，菱形是正方形的特殊情况等。

初中数学知识归纳长方形正方形与菱形的性质

初中数学知识归纳长方形正方形与菱形的性质长方形、正方形和菱形是初中数学中常见的几何形状，它们有着各自独特的性质。

掌握它们的性质对于解题和理解几何关系具有重要作用。

本文将对长方形、正方形和菱形的性质进行归纳总结。

一、长方形的性质1. 定义：长方形是一个四边形，其中的四个内角都是直角。

2. 边和角的性质：a. 相邻边相等：长方形的对边长度相等，即AB = CD，AD = BC。

b. 对角线相等：长方形的对角线长度相等，即AC = BD。

c. 对边平行：长方形的对边平行，即AB ∥ CD，AD ∥ BC。

d. 内角度数：长方形的内角度数为90°。

二、正方形的性质1. 定义：正方形是一个特殊的长方形，它的四边相等且内角都是直角。

2. 边和角的性质：a. 边相等：正方形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = AD。

b. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，即AC = BD。

c. 对边平行：正方形的对边平行，即AB ∥ CD，AD ∥ BC。

d. 内角度数：正方形的内角度数为90°。

三、菱形的性质1. 定义：菱形是一个四边形，其中的四个边相等。

2. 边和角的性质：a. 边相等：菱形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = AD。

b. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直，即AC ⊥ BD。

c. 对角线相等：菱形的对角线长度相等，即AC = BD。

d. 内角度数：菱形的内角度数不一定为直角。

通过对长方形、正方形和菱形的性质进行归纳总结，我们可以发现它们之间存在一些重要的关联。

比如，正方形是一种特殊的长方形，它的性质包含了长方形的所有性质。

同时，正方形也是一种特殊的菱形，它满足菱形的所有性质。

因此，我们可以利用已知的性质来推导未知的性质，解决数学中与这些几何形状相关的问题。

除了上述性质，长方形、正方形和菱形还具有其他一些重要的性质，比如面积和周长公式。

以正方形为例，它的面积公式为S = a^2，其中a表示正方形的边长；周长公式为C = 4a，即正方形的边长乘以4。

九年级数学正方形的性质(PPT)3-2

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六表面的雷暴模型显示一次暴风雨便可形成数十厘米深的甲烷雨水。”美国宇航局戈达德太空研究协会研究小组成员托尼－德尔杰尼奥（Tony土卫六表面湖泊效果图土卫六表面湖泊效果图DelGenio）称，这项研究是证实土卫六表面存在液态甲烷的最直接证据。图特尔说：“人们看到土卫六上空的这种云层非常类似于地球的云层，同时人们发现该区域表面有液体洪流的迹象。”德尔杰尼奥补充指出，“卡西尼”探测器科学家在此之前并未注意到这个新湖泊的形成，
当时由于科学家们意识到该区域可能出现大雨，便投入更多的精力观测出现大雨的特征，忽视了土卫六表面形成新湖泊的迹象。科学家非常兴奋这项研究发
现揭示了土卫六的气候特征变化，当于冬季，暴风云主要聚集形成于土卫六南极
地区。季节正接近于春分，这儿不再有任何南半球暴风。德尔杰尼奥说：“暴风雨主要集中在中纬度地区，偶尔会出现在低纬度地区。”科学家在土卫六发现新近形成；好玩的手游 / 好玩的手游的甲烷液体湖泊科学家在土卫六发现新近形成的甲烷液体湖泊8年，“卡西尼”探测器已完成了年勘测任务，计划延长勘测时间至年。该探测器现运行状况健康正常，任务操作员希望今后进一步延长其工作寿命。图特尔在约翰·霍普金斯大学实验室的同事拉尔夫－罗雷兹（RalphLorenz）并未直接涉及这项研究，他指出像这样的研究将有助于人们理想地球气候变化的特点。他在一封电子邮件中写道：“土卫六大气层拥有大量的甲烷潮湿气体，因此在度过漫长的干旱之后会出现强烈的暴风雨天气。”[7]年月日，美国宇航局的卡西尼飞船在土星最大的卫星土卫六的高层大气中发现了甲烷云层。戈达德空间飞行中心卡西尼项目科学家，有关这一发现的研究论文第一作者卡里·安德森(CarrieAnderson)表示：“甲烷云层竟然能在土卫六大气中如此高的高度上形成完全出乎意料。此前没有人认为这是可能的。”[8]冰封地下或存在海洋年7月日消息，据美国宇航局网站报道，来自卡西尼探测器的最新数据显示土星最大的卫星土卫六冰封的地下可能存在一个液态水层。有关这一发现的论文已经被发表在最新出版的《科学》杂志上。论文第一作者，卡西尼项目组成员，意大利罗马第一大学的卢西亚诺·列斯(LucianoIess)说：“卡西尼探测到土卫六大幅度的潮汐起伏，这几乎必然让人得出其地表下方存在一个隐匿着的海洋的结论。”他说：“对于水的搜寻是太阳系探测行动的一项重要目标，而现在我们又锁定了一个

正方形的性质与构造

正方形的性质与构造正方形作为一种特殊的四边形，具有其独特的性质与构造方法。

本文将探讨正方形在数学中的重要性质，以及如何进行正方形的构造。

一、正方形的基本定义与性质正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：1. 边相等性质：正方形的四条边长度相等。

2. 角相等性质：正方形的四个内角均为90度。

3. 对角相等性质：正方形的对角线相等且垂直。

二、正方形性质的证明1. 边相等性质的证明：设正方形ABCD的边长为a，连接AD和BC两条对角线。

由对角线的长度相等性质可知，AD = BC = a。

同样由对角线的长度相等性质可知，AC = BD = a。

因此，四边形ABCD的四条边相等，即正方形的边相等。

2. 角相等性质的证明：由正方形的定义可知，其四个内角均为直角，即90度。

3. 对角相等性质的证明：由边相等性质可知，AD = BC = a。

同样由边相等性质可知，AB = CD = a。

由此可得，正方形的对角线相等。

由于正方形的对角线是边等长的，通过连接对角可以将正方形分成两个相等的直角三角形。

所以，正方形的对角线在交点处垂直。

三、正方形的构造方法构造正方形的方法有多种，下面将介绍两种常见的构造方法。

1. 以边为基准的构造方法：给定一条边AB，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AB为半径画一个圆。

（2）以B为圆心，以BA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为C。

（3）连接AC和BC，得到正方形ABCD。

2. 以对角线为基准的构造方法：给定一条对角线AC，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AC为半径画一个圆。

（2）以C为圆心，以CA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为B和D。

（3）连接AB、BC、CD和DA，得到正方形ABCD。

这些构造方法可以通过尺规作图或者使用传统的画图工具完成。

综上所述，正方形作为一种特殊的四边形，其性质独特且重要。

正方形的边相等、角相等以及对角线相等且垂直是其最基本的性质。

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版九年级上册数学《正方形的性质与判定》说课稿

《正方形的性质与判定》说课稿
目录
01. 教材分析
03. 教学目标 05. 教法与学法 07. 板书设计
02. 学情分析 04. 教学重难点 06. 教学过程 08. 教学反思
《正方形的性质与判定》说课稿
敬爱的各位评委老师，大家好！我是今天说课内容是初中数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形的第三节《正方形的性质与判定》的说课。接下来，我将从教材、学情、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计以及教学反思这八个方面进行详细的说明。
05
教法与学法
教法与学法
在本节课的教学中，我将采用多种教法和学法相结合的方式，包括讲授法、示范法、讨论法和实践法等。通过讲解知识点、举例说明、引导学生讨论和实际操作等方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习和合作学习能力。
06
教学过程
教学过程
导入新课：我可以通过一个与正方形相关的生活场景或问题来引入新课，例如：假设学生们在校园里看到了一个篮球场地，他们观察到篮球场是一个矩形，但是他们不确定这个矩形是否是正方形，于是他们想要了解如何判断一个四边形是否是正方形。
教学过程
练习与讨论：在这一步，我会设计一些练习题，让学生运用所学知识判断给定的四边形是否为正方形，并引导学生进行讨论和解答。例如，我可以给出几个四边形的尺寸，让学生判断它们是否为正方形，并解释他们的判断依据。
教学过程
拓展与应用：在这一步，我会提供一些拓展性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，拓展思维。例如，我可以给出一个实际场景，如一个房间的地板平面图，让学生判断该房间的地板形状是否为正方形，并解释他们的判断依据。总结与归纳：在这一步，我会对本节课所学内容进行总结，梳理正方形的定义和性质，强化学生的记忆和理解。我会提醒学生要注意正方形的特点，如边长相等、角度为直角等。

九年级数学正方形的性质(201911)

并且每条对角线平分一组对角
；
• （4）对称性：轴对称、中心对称
.
例题讲解
• 例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′ 与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.
• (1) E是BC的中点，求证：OE=OF.
例题讲解
• 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O 重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.
• 求证：AF=BC+EC.
A
D
F B EC
• 已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC 的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE.
• 求证：AF=BC+EC.
A
D
G F
B EC
• 已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC 的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE.
• 求证：AF=BC+EC.
A
D
F B EC
G
课堂练习1
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A2 A3
A1
A4
（第18题）
A.1 cm2 B. n cm2 C.n 1 cm2 D（. 1）ncm2
4
4
4
4
• 例2、已知：如图，在正方形ABCD中，E是 BC的中点，点F在CD，∠FAE=∠BAE.
苏科版九年级上
第一章图形与证明（二） 1.3.4 正方形的性质 yw336
知识回顾
• 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

新北师大版九年级数学1.3正方形的性质与判定

判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
））
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（是正方形（
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
角平分线的定理 )
F
B
方形
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正 )
D
A
4、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且
MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB AB=BC ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即：AM=BN ∴△ABM≌△BCN ∴BM=CN
4 正方形的面积S=______.
3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
B
C
4、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（菱形）
（6）正方形一定是矩形．（√ ）（7）正方形一定是菱形．（√ ）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（） √） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（
×

北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且∠ BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为___4_－__2__2__．
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形，它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___，对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_，并且每一条对角线___平__分___一组对角．

九年级数学正方形的性质

O
B

C
牛刀小试：
1.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心，则阴影部分面积和为
A2 A3 A1 A4
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
初中数学九年级上册（苏科版）
1.3正方形的性质
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能说出正方形有哪些性质吗？
（1）正方形的定义:
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
（2）正方形的性质:
； / 原油；
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自聘熟当前第叁捌捌章你呀…马上走文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形正方形的性质

定理正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形平行四边形
菱形正方形矩形
判一判
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形矩形菱形正方形
对边平行且相等边
四边相等
√
√√ √
证一证
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形， A
D
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
A
D
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
P
又∵ AB = DC，PB = PC，
B

数学知识点正方形和长方形的性质

数学知识点正方形和长方形的性质数学知识点：正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学学习中经常遇到的两种形状，它们具有一些特殊的性质和特点，本文将详细介绍正方形和长方形的性质。

1. 正方形正方形是一种有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等，且四个内角均为直角（90°）。

下面将介绍正方形的性质：1.1 边长和周长正方形的四条边长度相等，我们用a来表示正方形的边长。

那么正方形的周长C等于4a，即C=4a。

1.2 面积正方形的面积等于边长的平方。

用A表示正方形的面积，那么A=a^2。

1.3 对角线正方形的两条对角线相等，且互相垂直。

如果我们分别用d1和d2来表示正方形的对角线长度，那么d1=d2=a√2。

1.4 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况，当长方形的长度和宽度相等时，就成为了正方形。

2. 长方形长方形也是一种有特殊性质的四边形，它的相邻两条边相等，且四个内角均为直角（90°）。

2.1 边长、周长和面积长方形的两条相邻边的长度分别用l和w表示，那么长方形的周长C=2(l+w)，面积A=lw。

2.2 对角线长方形的两条对角线不相等，但互相垂直。

我们可以分别用d1和d2表示长方形的对角线长度，其中d1=l√2，d2=w√2。

2.3 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况。

当长方形的两条相邻边长度相等时，就成为了正方形。

综上所述，正方形和长方形是常见的几何形状，在数学中具有一些特殊的性质。

正方形的四条边相等、角为直角，且对角线相等且垂直；长方形的两条相邻边相等、角为直角，但对角线不相等且垂直。

理解和掌握这些性质将有助于我们解题和计算几何问题。

除了上述性质外，我们还可以通过应用这些性质来解决一些实际问题，比如计算矩形房间的面积、制作正方形图案等等。

练习和应用这些知识，能够帮助我们更好地理解几何形状，并在实际生活和学习中灵活运用。

通过学习本文所介绍的正方形和长方形的性质，相信读者已经对这两种形状有了更深入的理解。

九年级数学正方形的性质

2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

正方形的认识与性质

数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案

北师大版九上数学北师大版九年级上正方形的判定与性质教案

正方形性质教案

初中数学知识归纳正方形与菱形的性质总结

初中数学知识归纳长方形正方形与菱形的性质

九年级数学正方形的性质(PPT)3-2

正方形的性质与构造

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册数学《正方形的性质与判定》说课稿

九年级数学正方形的性质(201911)

新北师大版九年级数学1.3正方形的性质与判定

北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件

九年级数学正方形的性质

北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 正方形的性质

数学知识点正方形和长方形的性质

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形正方形的性质