02第二章 离散控制系统及Z变换

一般来说，采样函数的变量直接用k表 示，即f(k)=f(kT)，记作fk，所以

F ( Z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k f k z k
k 0 k 0


(2-8)
需要强调几点 • ⑴只有采样函数ƒ*(t)才能定义Z变换。 • ⑵比较下面式（2-9）和式（2-10）表示的 时域内的采样函数及其在“Z”域内的Z变换
• 量化噪音夹杂在输入信号中输入进计算机， 随着计算程序传递到输出量中，会使计算机 控制系统的输出量不平滑。(缺点) • 被控对象总是有惯性的，具有低通滤波性， 能抑制频率较高的噪音。但是若ADC（模数 转换器）位数不够，ｑ较大，输入信号又较 迟缓，就会产生振幅较大、频率较低、被控 对象难以抑制的量化噪音，严重影响输出的 平滑性，因此在选择ADC位数时,不仅要从静 态精度考虑，还要从动态平滑性的角度考虑。
• 2.1.3. 采样信号的复现 • 虽然在时域中采样信号的包络线相当于连 续信号,但在频域中,这两个函数的特性完全 不同. • 采样函数ƒ*(t)在频率域中为一离散型频谱, 除主频谱外,尚包含无穷多个附加高频频谱 分量. 附加的高频频谱分量会使系统元件过 度磨损.因此采样信号在实际计算机运算后 加到被控对象之前,往往经过一种理想滤波 器以滤去附加高频频谱,实际上理想滤波器 是无法实现的,常采用所谓零阶保持器来代 替.
• 2.1.2 量化（幅值的离散，叫量化 DSP） 当我们衡量一个物品的价值时，最小单 位是分，其价值只能是分的整数倍。采样信 号ƒ＊（ｔ）在时间上是离散的，但幅值上仍 是连续的。对采样信号进行编码，用数字量 表示时，也只能用最小单位q（称为最小量 化单位）的整数倍来表示，因此存在“舍” 与“入”的问题。这个过程称为整量化，简 称量化。量化是由A/D转换器实现的。 • A/D转换器有两种整量化方法。一种是“只 舍不入”，另一种是“有舍有入”。由于前 者误差大，因此大部分A/D转换器采用有舍 有入的方法。图2-4给出了量化过程示意图。
的相位移，相当于系统增加了一个延迟的时
间为T/2的延迟环节，使系统的总相位滞后
变大，增加不稳定因素，校正变得较为困难。
2.2 Z 变换
• 2.2.1 采样函数的拉氏变换
在连续控制系统中，运用拉氏变换法， 可以把复杂的微分方程变成简单的代数方程. 因此分析离散控制系统时，我们仍然希望借 助拉氏变换这一有力工具。
• 如果被控对象可用带有延迟时间τ 和时间常 数为T0的一阶惯性环节来描述，即
e T0 s 1
则 Ｔ=(１.2～0.35)τ ，０.1≤τ ∕TO≤１ T=(０.35～O.22)τ ，１≤τ ∕T０≤1O (2-5)
s
• （3）根据干扰的频谱，但固有干扰存在时， 首先应用模拟滤波器滤除ω S∕2以上的高频 信号（ω S∕2为采样频率），然后再对采样 信号进行数字滤波，滤除低于ω S∕2的中频 干扰，于是采样频率ω S 就不必选择的很高 了。当然，对于和有用信号处于同一频段的 干扰，上述措施是无效的，可以采用专门的 滤波技术。 • ⑷保证执行控制算法的足够时间。当控制多 个回路时，各回路的采样周期可以是不同的， 但必须保证各回路的控制算法都得到执行。
采样函数如下所示:
f (t ) f (kT )(t kT )
k 0

f (s)
进行拉氏变换:

L[ f (t )] L[ f ( kT )(t kT )]
k 0
f ( kT ) L[(t kT )]
k 0

f ( kT )e
T (t ) (t kT )


f (t) f (kT ) (t kT )



由于t<0时,f(t)=0，所以采样函数的一 般表达式为
f (t ) f (kT )(t kT )
k 0
p(t) P(t) f*(t)

f(t) 0 t
调制器
f*(t) 0
• 本章首先引入采样与量化的概念，然后介绍 分析离散系统的数学工具——Z变换，再介 绍应用Z变换分析研究离散系统的方法。
2.1 离散系统的基本概念
2.1.1 采样和采样定理 1．采样过程 计算机控制生产过程，只能每隔一定时间 进行一次控制循环。在每一次循环中，首先 输入信息，即将模拟信号加到模/数转换器 上，转换成数字信号并输入计算机，然后执 行控制程序，计算出控制量，然后输出，如 图2-1。
第二章 离散控制系统及Z变换
2.1 离散系统的基本概念 2.2 Z变换 2.3 用Z变换解线性常系数差分方程 2.4 脉冲传递函数 2.5 方块图分析 习题
第二章
离散控制系统及Z变换
• 在计算机控制系统中，对象的参数往往是模 拟量，如电压、电流、速度、压力、温度、 流量、液位等。这些模拟量经传感器变成信 号后，仍然是模拟信号，需要离散化。即经 过采样、量化、编码转换成数字量，才能输 入计算机进行控制运算和处理。可见，计算 机控制系统包括连续和离散两种信号，所以 属于离散控制系统。 • 离散系统中出现了采样信号后，与连续系统 就有了质的差异，需要用与连续系统不同的 方法加以研究。
k 0
kTs
(2-6)
2.2.2
采样函数的Z变换
式(2-6)中, 在指数里,给运算带来许多 困难.为此引进新的复变量Z,令
Z e
于是，式（2-6）变为

Ts
F ( z ) f (kT ) z
k 0
k
F(Z)称为采样函数ƒ*(t)的Z变换，记作：
F (Z ) Z[ f (t )]
1
2
可见在式（2-8）的任意项f(κ )Z-κ 中， f(K)决定幅值，Z-Κ 决定时间。Z变换和离散 序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时” 对应关系。
• ⑶ Z变换是由采样函数决定的，它反映不 了非采样时刻的信息。在图2-6中，f(t)与 g(t)市两个不同的连续函数，但是由于ƒ*(t) 和g*(t)相等，所以F(Z)等于G(Z)。可见Z变 换对应唯一的采样函数，但是并不对应唯一 的连续函数。
ƒ（t） g(t）
ƒ（t） g(t）
0
T 图2-6 2T 3T 采样值相同的两个不同的连续函数
t
•表2-2列 出了常用 函数的Z 变换表。 应该指出， 表2-2中 所列的连 续函数 f(t)，只 是F(Z)所 对应的一 个连续函 数。
表2-2
常用函数Z变换
f(t) δ (t) 1(t) t
1 2 t 2
• 有舍有入的整量化过程类似于“四舍五入” 法，小于q/2的舍去，大于q/2的进入。量化 器输入与输出信号之差称为量化误差。即 • ｅ＝ｆ（ｔ）－ƒ＊（ｔ）
Q（f） ƒ*(t) ƒ 整量特性 Q -q/2 q ƒ(t)
2q q 0
t
(a)有舍有入”的整量过程
ƒ*(t)
Q
ƒ(t)
q 0
t
(b)”只舍不入”的整量过程
图2-4 整量过程的示意图
f(t)
2q ƒ＊(t)
q
0 t
对同一信号ｆ （ ｔ ）用 两 种位 数 不 同 的 A/D 进 行模 数转 换 时所 产生的量化噪音。
左 图 中 ， A/D 转 换器 位数 少 ，量 化单位q较大，噪 音 的 峰— 峰 值较 大 ， 变化 频 率较 低。
e(t)＝ｆ(t)－ƒ＊(t)
f (t ) f (kT )(t kT )
k 0

f (0)(t ) f (1)(t T ) f (2)(t 2T )
（2-9）
F (Z ) f k z
k 0

k
f (0) f (1) z f (1) z
(2-10)
• ⑸根据计算机的精度。在用积分作用消除静 差的系统中，如果Ｔ过小，T 可能太小，当
Ti T 偏差ek小于一定值时， ek就可能受到计算 Ti
T Ti
精度限制而始终为0，使积分作用失去作用，
从而不能消除静差；此外如果Ｔ太小，再加
上计算机字长有限，前后两次采样值可能没
有什么变化，从而使ek-ek-l，甚至ek-2ekl+ek-2为0，从而削弱PID算式的作用。所以
图2-3 f(t)对单位脉冲序列的调制作用
• 2．采样定理 根据采样过程不难理解，采样周期T越短，采 样信号ƒ*（t）就越接近连续信号f(t)的 变化规律。 反之，T越大，ƒ*(t)就可能反映不了f(t)的规律。 为了使采样信号ƒ*(t)能反映连续信号f(t)的变化 规律，采样频率ω s(ω =2π /T=2π f) 至少应该是f(t)的频谱F(jω )的最高频率ω max的 两倍，即
s 2max
这就是著名的采样定理，即香农定理。当采 样周期满足采样定理时，利用一个理想的滤波 器，就可以滤除高频成分，从采样信号中恢复 原来的输入信号。
• 3．采样周期的经验数据 采样定理给出了采样频率的下限，即采样周期 的上限。在这个范围内，采样周期越小，就越接近 连续控制。实际上采用ω s≥(5～10)ω max。但是采 用周期的选择还受到其他因素的影响，应该加以综 合考虑。 （1）根据系统动态指标的要求，一般取 T=(1/15～1/4)ts 其中ts是被控量达到终值的95%的过滤过程的时间。 （2）根据对象的动态特征，一般可取 T=0.1T0 其中T0是对象的时间常数。
te
at
1 e at
e
e
bt
ba s a s b
1 e z z 1z e
aT aT
z e
Tze aT
at

2

z e aT ebT z e aT z e bT
F(s) 1