第二章 z变换-作业
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_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第二章_z变换-作业
X (e ) DTFT xn
j
n
jn x n e
X (e ) DTFT x n
j
n
x ne
jn
m
xme
jm
m
j m j x m e X ( e )
d
DTFT xn X e
j
n
xne jn
j j 11．已知 x(n ) 有傅里叶变换 X (e )，用 X (e ) 表示信号 x1 (n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
n
xne
jn
e an e jn
n 0
解：
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号 x(n ) 的傅里叶变换， 不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算： j j 2 (1) X (e j 0 ) (2) (3) X (e )d X (e ) d
2
1 1 n z n1 z 1 1 z2 1 z 1 2
由于 x(n) 是因果序列， 故 n 0 时，x(n) 0
1 所以 x(n) u (n) 2
n
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 X ( z )的z反变换 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
DTFTx(n) X (e j )
DTFTx(1 n) e j X (e j ) DTFTx(1 n) e j X (e j )
过程控制作业答案分解
作 业第二章：2-6某水槽如题图2-1所示。
其中A 1为槽的截面积，R 1、R 2均为线性水阻，Q i 为流入量，Q 1和Q 2为流出量要求：(1)写出以水位h 1为输出量，Q i 为输入量的对象动态方程；(2)写出对象的传递函数G(s)并指出其增益K 和时间常数T 的数值。
图2-1解：1）平衡状态： 02010Q Q Q i +=2）当非平衡时： i i i Q Q Q ∆+=0；1011Q Q Q ∆+=；2022Q Q Q ∆+= 质量守恒：211Q Q Q dthd A i ∆-∆-∆=∆ 对应每个阀门，线性水阻：11R h Q ∆=∆；22R h Q ∆=∆ 动态方程：i Q R hR h dt h d A ∆=∆+∆+∆2113) 传递函数：)()()11(211s Q s H R R S A i =++ 1)11(1)()()(211+=++==Ts KR R S A s Q s H s G i2Q11这里：21121212111111R R A T R R R R R R K +=+=+=；2-7建立三容体系统h 3与控制量u 之间的动态方程和传递数,见题图2-2。
解：如图为三个单链单容对像模型。
被控参考△h 3的动态方程： 3233Q Q dth d c ∆-∆=∆；22R h Q ∆=∆；33R hQ ∆=∆； 2122Q Q dth d c ∆-∆=∆；11R h Q ∆=∆ 111Q Q dth d c i ∆-∆=∆ u K Q i ∆=∆ 得多容体动态方程：uKR h dth d c R c R c R dt h d c c R R c c R R c c R R dt h d c c c R R R ∆=∆+∆+++∆+++∆333332211232313132322121333321321)()(传递函数：322133)()()(a s a s a s Ks U s H s G +++==； 这里：32132133213213321321332211232132131313232212111;c c c R R R kR K c c c R R R a c c c R R R c R c R c R a c c c R R R c c R R c c R R c c R R a ==++=++=2-8已知题图2-3中气罐的容积为V ，入口处气体压力，P 1和气罐 内气体温度T均为常数。
第二章 Z变换
n = −∞
xa ( nT )e −nsT ∑
X ( z) =
n = −∞
∑ x(n) z
∞
−n
复变量s平面到z平面的映射
z=e
令
sT
1 s = ln z T
s = σ + jΩ
z = re
jω
则
re
jω
=e
(σ + jΩ ) T
=e e
σT
jΩT
r=e
σT
S 平面
Z 平面
－1
1
ω = ΩT
所以序列的z变换和连续信号的拉普拉斯 变换的关系可以表示如下： 因为时域中的抽样，对应于s域为沿 jΩ 轴（s平面的虚轴）的周期延拓
∞
n = −∞
例如：
X 已知序列的z变换为： ( z ) = 1 1 − az −1 z>a
求原序列 x (n )
例如
序列的z变换为：
z ( 2 z − a − b) X ( z) = ,a < z < b ( z − a )( z − b)
求原序列
x (n )
部分分式展开法
B( z ) X ( z) = = X 1 ( z) + X 2 ( z) + ⋯ + X K ( z) A( z ) (z
−1
l
z反变换
Z反变换通常采用如下三种方法：围线积 分法，幂级数展开法（长除法）和部分 分式法
围线积分法
1 k = 0 1 k −1 柯西积分公式 ∫c z dz = 0 k ≠ 0 2πj
∞ 1 1 k −1 − n + k −1 ∫c X ( z ) z dz = 2πj ∫cn∑ x(n)z dz 2πj = −∞
Z变换
( z平面上的单位圆) ( z平面单位圆内) ( z平面单位圆外)
而z 的幅角 与 s 的虚部 的关系是线性关系。 即： T
0 0,2 s 0 z 1 / T
(S平面实轴映射到Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z=1点)
z2 X ( z) 0.5<|z|<2, 求X(z)对 ( z 2)( z 0.5)
解：将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式
X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
由求系数Ak的公式可得 A1 4 / 3, A2 1/ 3
zn X ( z ) z n1 (1 az )( z a) zn a( z a)( z a 1 )
例2-2-4 被积函数的极点
在收敛域 | a 1 || z || a 内，作包围原点的围线，当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2 n0
X ( z) (1 az 1 ) 1 例 2-2-6 用长除法求
za
的逆Z变换。 解：由收敛域知，这是一右边序列，用长除法将其 展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排列：
1 az 1 1 az 1 a 2 z 2 1 1 az 1 az 1
n n
由于u(n)为因果序列，其Z变换收敛域为
Rx z ，因X(z)在z=1处有一极点，
极点应在收敛域外，因此u(n)的z变换收敛
域为:
z 1
例2-2-2 求序列
第二章Z变换例题
当序列满足n0xn0时有所以有若序列xn的z变换为1912241224212由题知xz的收敛域包括单位圆则其收敛域为因而时有值的左边序列limlim有一信号yn与另两个信号的关系是其中已知利用z变换的性质求yn的z变换yz
第二章 Z变换 例题
重要概念：
连续系统： 傅里叶变换————拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换————Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数
0 z Rx, n n2 0
（ z 0, z 需单独讨论。）
解：对X(z)的分子和分母因式分解，得
X (z)
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1
1 2
z 1
1
1 2
jz 1
1
1 2
jz 1
1
3 4
z 1
从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。
解
由 N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk , 0 k N 1 n0
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk x(n)WrnNk
n0
n0
N
1
x(n)e
j
2 N
n
k r
X
(
k r
)
,
k lr ,
l 0,1,
, N 1
n0
所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当
点对应于 x(n) y(n) 应该得到的点。
第二章 Z变换 例题
重要概念：
连续系统： 傅里叶变换————拉普拉斯变换 离散系统： 傅里叶变换————Z变换 重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换---系统函数
0 z Rx, n n2 0
（ z 0, z 需单独讨论。）
解：对X(z)的分子和分母因式分解，得
X (z)
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1
1 2
z 1
1
1 2
jz 1
1
1 2
jz 1
1
3 4
z 1
从上式得出，X(z)的零点为 1/2, 极点为j/2, -j/2, -3/4。
解
由 N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk , 0 k N 1 n0
rN 1
N 1
Y (k) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk x(n)WrnNk
n0
n0
N
1
x(n)e
j
2 N
n
k r
X
(
k r
)
,
k lr ,
l 0,1,
, N 1
n0
所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当
点对应于 x(n) y(n) 应该得到的点。
利用Z变换分析信号和系统的频域特性.ppt
1 j j n 其中： x () n X ( e ) e d 2 1 j j n X ( e ) e d 微分增量（复指数）： 2
2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性
z 1）因果： R x 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即
图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
例 2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解：
N N 1 z z 1 n n R ( z ) R ( n ) z z N N 1 N 1 1 z z ( z 1 ) n n 0 N 1
第八讲
2.6 利用Z变换分析信号和系统的频 域特性
要点
• 离散系统的系统函数和频率响应，系统函 数与差分方程的互求 • 系统频率响应的意义 • 由系统函数的极点分布分析系统的因果性 和稳定性 • 由系统函数的零极点分析系统的频率特性---系统函数零极点的几何意义
第二章作业
2-1 （1）（3）（4）（6）（7）， 2-2，2-3，2-4，2-5 （1）（3）（5）， 2-6 （1）（3），2-10，2-12，2-13 2-14（2）（3）（6）， 2-16，2-23，2-24，2-28
2e
0 .2 e
j
j
6
4
0 .4
1 .5
1
R e[ z ]
j
0
0.2 e
j
4
解：因果系统： z 2
稳 定 系 统 ： 0 . 4 z 1 . 5
2e
6
2.6.3 利用系统的零极点分析系统的频 率特性
常系数线性差分方程：
ayn ( k ) b xn ( k )
数字信号处理3第二章Z变换(OK)
（４）双边序列 可看做左边序列+右边序列，故其Z 可看做左边序列+右边序列，故其Z变换收敛域 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 Ｚ变换
X ( z) =
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
=
n = −∞
∑ x(n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z
n =0
−1 n
X ( z) = ∑ a z
n =0
=∑ ( az )
n =0
1 z = = , −1 1 − az z−a
| z |>| a |
（３）左边序列 仅在n n 序列有值， 仅在n≤n２时，序列有值，n＞ n２时值全为零
x(n) x(n) = 0 Ｚ变换为
X ( z) =
n = −∞
若X(z)只有一阶极点，X(z)展成 X(z)只有一阶极点，X(z)展成 只有一阶极点 k Am z X ( z ) = A0 + ∑ m =1 z − zm 最好写成
X ( z ) A0 k Am = +∑ z z m =1 z − zm
分别为X(z) z=0、 X(z)在 极点处的留数 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm极点处的留数 X ( z) A0 = Re s[ , 0] = X ( 0) z X ( z) X ( z) Am = Re s[ , z m ] = [( z − z m ) ]z = zm z z
0 <| z |≤ ∞, 0 ≤| z |< ∞,
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
ROC 0 Re[z]
有限长序列的收敛域
(n)， 例1：矩形序列是有限长序列，x(n)=RＮ(n)， 矩形序列是有限长序列， 求其X(z) 求其X(z) 解： −N N −1 ∞
2第二章-z变换
n n 0 n
1 1 1 az
z a
教材P .54 有部分序列的z变换及其收敛域 掌握：1，2，4，6，7，8
例题
解：
二、Z反变换
1. 定义 从给定的z变换X(z)中还原序列x(n)
x(n) IZT [ X ( z )]
2 . 求法 围线积分法（留数法） 部分分式展开法
序列乘以指数序列
序列的卷积和
时域
y(n) x(n) h(n)
若
X ( z ) ZT [ x(n)] H ( z ) ZT [h(n)]
Rx < z < Rx Rh < z < Rh
z域 Y ( z ) ZT [ y (n)] H ( z ) X ( z ),
n
n
xa (nT ) (t nT )e st dt
xa (nT )e nsT
抽样序列 x(n) xa (nT ) 的z变换
X ( z)
sT 显然，当 ， 抽样序列的z变换就等于其理 想抽样信号的拉普拉斯变换。
ze
n
x ( n) z n
>> H=freqz(num,den,w);
幅 频 响 应
>> plot(w,abs(H))
>> plot(w,angle(H))
相 频 响 应
例2
已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 0 | | c 1 j H (e ) c <| | 0
解： h(n) IDTFT [ H (e j )] 1
2
1 1 1 az
z a
教材P .54 有部分序列的z变换及其收敛域 掌握：1，2，4，6，7，8
例题
解：
二、Z反变换
1. 定义 从给定的z变换X(z)中还原序列x(n)
x(n) IZT [ X ( z )]
2 . 求法 围线积分法（留数法） 部分分式展开法
序列乘以指数序列
序列的卷积和
时域
y(n) x(n) h(n)
若
X ( z ) ZT [ x(n)] H ( z ) ZT [h(n)]
Rx < z < Rx Rh < z < Rh
z域 Y ( z ) ZT [ y (n)] H ( z ) X ( z ),
n
n
xa (nT ) (t nT )e st dt
xa (nT )e nsT
抽样序列 x(n) xa (nT ) 的z变换
X ( z)
sT 显然，当 ， 抽样序列的z变换就等于其理 想抽样信号的拉普拉斯变换。
ze
n
x ( n) z n
>> H=freqz(num,den,w);
幅 频 响 应
>> plot(w,abs(H))
>> plot(w,angle(H))
相 频 响 应
例2
已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 0 | | c 1 j H (e ) c <| | 0
解： h(n) IDTFT [ H (e j )] 1
2
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
自动控制原理第二章课后习题答案(免费)
自动控制原理第二章课后习题答案（免费）离散系统作业注明：*为选做题2-1 试求下列函数的Z 变换 （1）()E z L =();n e t a = 解：01()[()]1k k k z E z L e t a z z z aa∞-=====--∑ （2） ();at e t e -= 解：12211()[()][]1...1atakT k aT aT aTaT k z E z L e t L ee z e z e z z e e z∞----------=====+++==--∑2-2 试求下列函数的终值：（1）112();(1)Tz E z z --=-解： 11111()(1)()1lim lim lim t z z Tz f t z E z z---→∞→→=-==∞- （2）2()(0.8)(0.1)z E z z z =--。
解：211(1)()(1)()0(0.8)(0.1)lim lim limt z z z z f t z E z z z →∞→→-=-==-- 2-3* 已知()(())E z L e t =,试证明下列关系成立：（1）[()][];n z L a e t E a =证明：0()()nn E z e nT z∞-==∑00()()()()[()]n n n n n n z z E e nT e nT a z L a e t a a ∞∞--=====∑∑ （2）()[()];dE z L te t TzT dz=-为采样周期。
证明：11100[()]()()()()()()()()()nn n n n n n n n n L te t nT e nT zTz ne nT z dE z de nT z dz dz e nT n zne nT z ∞∞---==∞-=∞∞----======-=-∑∑∑∑∑所以：()[()]dE z L te t Tzdz=- 2-4 试求下图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或输出z 变换()C z 。
第二章__Z变换
第二章 序列的Z 变换与傅里叶变换 2.1 引言信号与系统的分析方法:时域分析；变换域分析 信号与系统的分析方法有多种连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t 的函数表示；系统用微分方程描述。
离散时间信号与系统：z 变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。
z 变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。
2.2 Z 变换的定义与收敛域 一、z 变换的定义序列x(n)的Z 变换定义：双边Z 变换单边Z 变换因果序列的Z 变换: 单边Z 变换可以看成因果序列情况下的双边Z 变换z 是一个复变量， 它所在的复平面称为z 平面。
z 是一个连续复变量，具有实部和虚部。
变量z 的极坐标形式 单位圆:在Z 平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为例2.1 求序列 的Z 变换。
解：序列x (n )是因果序列，根据Z 变换的定义分析收敛性：X (z )是无穷项幂级数。
当|z|≤a 时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。
X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为二、z 变换的收敛域收敛域: 对于给定的任意序列x (n )，使其Z 变换收敛的所有z 值的集合组成的区域。
Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即使上式成立的Z 变量取值的域称为收敛域。
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域收敛半径Rx -可以小到0，Rx +可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx -和Rx +为半径的环域()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑∞<=∑∞-∞=-M z n x n n )(110()[()]()(2.2)n n X z x n x n z +∞-==Z =∑j ||e z z ω=j e z ω=()()n x n a u n =10011213()()()1()()n n n nn n n X z x n z a z az az az az +∞+∞+∞---=-∞==---====++++⋅⋅⋅∑∑∑1101()(),||||1n n zX z az z a az z a +∞--====--∑＞不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2Z变换(清华大学)
复Z平面上的单位圆
Im
Unit Circle
z = ejω
ω 1
Re
z-plane
收敛区域
• 对于任意序列, 对于Z变换收敛的区域成为收 对于任意序列, 对于Z 敛域， ROC。 ROC。 • Z变换收敛的标准是绝对可和： n n x [n ] z < ∞ – ∑ x [ n ]r < ∞ 或者 ∑
• 时间倒置 :
– x[-n] x[-
• 序列卷积 :
– x1[n]∗x2[n] [n]∗
• 初值定理 :
– x[n] = 0, n<0 n<0
Z反变换
• 观察法 有某些熟悉的或者凭观察就能辨认出的变换对构成。 • 部分分式展开法
X(z) =
k = 0 N k = 0
∑
M
b a
k
z z
−k
∑
=
−k
• 序列x[n] 的z变换X(z) 为 : 序列x[n] 变换X(z)
X (z) =
n=−∞
∑ x [ n ]z
∞
∞
−n
= Ζ {x [ n ]}
∆
• 如果 z = rejω :
X (z ) = X (re ) = ∑ x [n ]z
jω
−∞ ∞ −n
= ∑ x [n ](re )
−∞
jω −n
= ∑ (x [n ]r −n )e − jωn
• Example : X(z) = 1/(1-az-1), |z|>|a| /(1
1 x [n ] = 2πj
z n −1 1 ∫C 1 − az −1 dz = 2πj
∫C
z dz z −a
(研)第2章Z变换
•取拉氏变换，得： X s ( s )
n0
x ( nT ) (t nT )e st dt
0
x ( nT )e snT
n0
X ( z )X s )z sT s( e
s 平面与 z 平面之间的映射关系
如果将变量 s 以直角坐标表示，将变量 z 以 极坐标表示，即
j n X (z ) z x ( n ) e ej
** 离散时间傅里叶变换就是在Z变换中，在 半径为1的单位圆上的Z变换.
2.2 z变换的收敛域
z 变换的收敛域有三个特征： (1)收敛域以极点所在的园周为边界 (2)收敛域内不能有极点 (3)不同的序列其z变换的收敛域不同 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作 X(z)的收敛域. 2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和:
自学：例2.2.5
6．单边正弦序列 x [ n ] sin( n ) u [ t ] 0
z sin( ) 0 X ( z ) 2 z 2 z cos( ) 1 0 ( z 1 )
2.3
线性
z 变换的性质
z ax [ n ] bx [ n ] aX ( z ) bX ( z ) ,ROC conta R R 1 2 1 2 1 2
n
3．实指数序列 a u [ n ]
n n
n
(例2.2.1)
1 z X ( z ) a z ( z a ) 1 1 azz a n 0
[ n 1 ] (例2.2.2) 4．实指数左边序列 a u
n
1 z X ( z ) 1 1 1 a z z a
第2章Z变换v3
a u n z
n 1
n
a z
n 0
n n
az
n 0
1 n
1 az az
当
1 2
az
1 n
z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X z 为解析函数，故收敛。
综上述所， 有
n<0
x n a u n
n
实际上，由ROC可知，本序列一定是因果序列， 所以： 当n<0时，一定有x(n)=0.
电子工程学院
1 , z 4，求z反变换。 例. 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
第二章 序列的Z变换
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
模拟信号傅里叶变换拉普拉斯变换 时域离散信号傅里叶变换Z变换 时域 频域 复频域
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
z为复变量
一.Z变换定义：
序列x(n)的Z变换定义如下：
X z Z x n
z zk
(2.5.7)
Res X z z n 1 , zk 1 d z zk N X z z n 1 N 1! dz N 1 zz
N 1
(2.5.8)
k
电子工程学院
根据留数辅助定理，有：
2 j
k
1
c
X z z n 1dz
j Im[ z ]
a
第2章 Z变换及Z传递函数
Ts f ( kT ) ( t kT ) e d t
k 0
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F (s)
*
f ( kT ) e
kTs
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f ( kT ) Z 1 F ( z )
Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法
第2章 Z变换及Z传递函数
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F (z)
f ( kT ) z
k 0 1
k
1 az
a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
m 0
n 0
Z f (t kT ) f ( nT kT ) z n f ( kT ) f [( k 1)T ] z 1 f [( k 2)T ] z 2 L z k f ( kT ) z k f [( k 1)T ] z ( k 1) f [( k 2)T ] z ( k 2) L
k i 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
i 0
k 0
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F (s)
*
f ( kT ) e
kTs
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f ( kT ) Z 1 F ( z )
Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法
第2章 Z变换及Z传递函数
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F (z)
f ( kT ) z
k 0 1
k
1 az
a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
m 0
n 0
Z f (t kT ) f ( nT kT ) z n f ( kT ) f [( k 1)T ] z 1 f [( k 2)T ] z 2 L z k f ( kT ) z k f [( k 1)T ] z ( k 1) f [( k 2)T ] z ( k 2) L
k i 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
i 0
第二章Z变换例题
解： （1）对题中的差分方程两边作z变换，得
Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
所以
H (z)
Y (z) X (z)
z 1
1 z1
z 2
(z
z a1)(z
a2 )
可求得零点为 z 0 , z
极点为 z1 a1 0.5(1 5) 1.62, z2 a2 0.5(1 5) 0.62
（1） x(n) a n , a 1
（2） （3） （4）
x(n)
1 2
n
u
n
x(n)
1 2
n
u
n
1
x(n) 1 , n 1
n
分析：Z[x(n)] x(n)zn 中，n的取值范围是 x(n) n
的有值范围，z变换的收敛域是满足
x(n)zn M 的z值范围。
n
解：
（1）由z变换的定义可知：
1 2
z
2
因而，x1(n)为n 0时有值的左边序列，x2 (n)为n 0 时
有值的右边序列。则
x1 (0)
lim
z0
X1
z
lim
z0
1 4
z
z2
0
得
x2
(0)
lim
z
X
2
(z)
lim
z
1 3
z
z
1 2
1 3
x(0)
x1(0)
x2
(0)
1 3
例5 有一信号y(n)与另两个信号 x1(n)和x2 (n) 的关系是
un
式中 a1 1.62, a2 0.62 由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统
第二章_z变换-作业解析
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。
零点为：z 0, z
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1)
x(n) a ( | a | 1)
n
(3)
1 x(n) u( n 1) 2
n
解:（3） 1 1 n 1 n X ( z ) ( ) u( n 1) z ( ) n z n 2 2 n n 1 2z n n 2 z 1 1 2 z n 1 1 z 1 2
1 1 1 1 1 a a 1 a z 1 a z 1 2 1 2
DTFTx(n) X (e j )
DTFTx(1 n) e j X (e j ) DTFTx(1 n) e j X (e j )
DTFT[ x1 (n)] X (e j ) (e j e j ) 2 X (e j ) cos
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0
(4) 双边序列的收敛域为 ： Rx z Rx
有三种收敛域 ： 圆内、 圆外 、 环状 （ 0 ，z 要单独讨论）
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 2 z 4 X ( z) 1 5 3 (1 z 2 )(1 z 1 z 2 ) 4 4 8 1
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DTFTx(n) X (e j )
DTFTx(1 n) e j X (e j ) DTFTx(1 n) e j X (e j )
DTFT[ x1 (n)] X (e j ) (e j e j ) 2 X (e j ) cos
X (e ) DTFT xn
j
n
xn e jn
X (e ) DTFT x n
j
n
x ne
jn
m
xme
jm
m
xm e j m X (e j )
(2)
X (e j )d
X (e j )e j 0d 2 x(0) 4
2
x(n) 7 n 8
-3 -1
1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
DTFT
1
X e
j
x n 1 2
X e
j
e
j n
当 n 0 时，
n n z 1 1 , n 0 在c内有 z 一个单极点, 则 x(n) Re s 1 2 2 z 2 z 1
2
1 1 n z n1 z 1 1 z2 1 z 1 2
由于 x(n) 是因果序列， 故 n 0 时，x(n) 0
则
1 1 X ( z ) a ( a ) a 1 1 z 1 a
所以
1 1 x ( n ) ( a ) ( n ) ( a ) u( n ) a a
1 1 1 (n) (a ) u(n 1) a a a
n
xne
jn
e an e jn
n 0
解：
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号 x(n ) 的傅里叶变换， 不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算： j (1) X (e j 0 ) (2) (3) X (e j ) 2 d X (e )d
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0
(4) 双边序列的收敛域为 ： x z Rx R
有三种收敛域 ： 圆内、 圆外 、 （ 0 ，z 要单独讨论） 环状
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 2 z 4 X ( z) 1 5 3 (1 z 2 )(1 z 1 z 2 ) 4 4 8 1
d
DTFT xn X e
j
n
xne jn
j j 11．已知 x(n ) 有傅里叶变换 X (e )，用 X (e ) 表示信号 x1 (n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（1）(ii)留数定理法：
x( n)
1 1 1 z n1dz ,设 c为 z 内的逆时针方向闭合曲线： 2 2j c1 1 z 1 2
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1)
x(n) a ( | a | 1)
n
(3)
1 x(n) u( n 1) 2
n
解：(1) 由Z变换的定义可知：
X ( z)
n
a z
n
n
n
a n z n a n z n a z a n z n
零点为：z 0, z
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1)
x(n) a ( | a | 1)
n
(3)
1 x(n) u( n 1) 2
n
解:（3） 1 1 n 1 n X ( z ) ( ) u( n 1) z ( ) n z n 2 2 n n 1 2z n n 2 z 1 1 2z n 1 1 z 1 2
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（3） (iii)部分分式法：
X ( z) za a 1 a2 z z(1 az) z 1 az
（b） 因为 H ( z )
z 1 z z ( z a1 )( z a 2 ) a1 a 2 z a1 z a 2
1 a1 a2
所以 h(n)
1 a1n a2 n u (n) 式中 a1 1.62 , a2 0.62 a1 a2
1 1 1 1 a1z 1 1 a2 z 1 a1 a2
n n n n a1 z a2 z n 0 n 0
a
当 n 0 时：X ( z ) z n 1 在c 内有z 0, z x(0) Re s X ( z ) z n 1
z
1 a
Re s X ( z ) z n 1
1 两个单极点 a 1 1 a a z 0 a a
n
当n 0 时：由于x(n)是因果序列， 1 1 1 此时 x(n) 0 。所以x(n) (n) (a ) u (n 1) a a a
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。
X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4， 所以 X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列; (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列; (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列.
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
解：（1） (iii)部分分式法： 1 1 z 1 1 z 2 X ( z) 1 1 1 1 z 2 1 z 1 z 4 2 2
因为 z
1 所以 2
n
1 x ( n ) u( n ) 2
3.用长除法,留数定理, 部分分式法求以下 ( z )的z反变换 X 1 1 z 1 2 (1) X ( z ) , z 1 2 1 z 2 4 1 (3) X ( z ) za , 1 az z 1 a
特殊情况有： z , n1 0 0 0 z , n2 0
(2) 右边序列的收敛域为 ： z , n n Rx 1
因果序列的收敛域为 ： x z , n n1 0 R
(3) 左边序列的收敛域为 ： z Rx , n n2 0
解：（3）(ii)留数定理法：
x ( n) 1 1 内的逆时针方向闭合曲线。 X ( z ) z n1dz ，设 c 为 z 2j c a
当 n 0 时：X ( z ) z n 1在 c 内有 z x(n) Re s X ( z ) z n1
z
1 a
1 一个单极点 a n 1 z a n 1 1 1 z ( a ) , ( n 0) a z1 a a a z 1
1 收敛域： z 1 即：z 2 2 1 极点为：z 零点为： 0 z 2
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 2 z 4 X ( z) 1 5 3 (1 z 2 )(1 z 1 z 2 ) 4 4 8 1
分析：
(1) 有限长序列的收敛域为 ： z , n1 n n2 0
1 2 1 解：(a) 差分方程的两边作Z变换，得： Y ( z) z Y ( z) z Y ( z) z X ( z)
所以
零点为z=0， z
Y ( z) z 1 z H ( z) X ( z ) 1 z 1 z 2 ( z a1 )(z a2 )
极点为 z a1 0.5 1 5 1.62
z a2 0.5 1 5 0.62
因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。
n n
1
n 0
n1
n 0
az 1 1 a2 (a 2 1) z a (1 az)(1 az1 ) 1 1 az 1 a( z )(z a) z a