必修五解三角形复习课件

[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
∴|B→C|＝3，同理可求得|C→A|＝5. 又∵B→C·C→A＝125， ∴125＝|B→C||C→A|cos(180°－∠ACB)＝－15cos∠ACB， ∴cos∠ACB＝－12. 又∵0<∠ACB<180°，∴∠ACB＝120°.
2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进
行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关
系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A
＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝2π等；
二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝
a 2R
，cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
已知条件
一边和二角 (如a，B，C)
应用定理 正弦定理
一般解法 由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c. S△＝21acsinB 在有解时只有一解．
两边和夹角 (如a，b，C)
余弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所 对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角． S△＝21absinC 在有解时只有一解．
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→[C解＝]－方323法，一求：△∵ABB→CC的·C→最A大＝内|B→角C |．| C→A|·cos(180°－∠ACB) ＝125>0，
∴cos∠ACB<0. ∴∠ACB>90°，即∠ACB是△ABC中的最大内角． 由已知B→C·C→A＝125，A→B·B→C＝－323， ∴B→C·C→A＋A→B·B→C＝B→C(C→A＋A→B) ＝B→C·C→B＝－|B→C|2＝－9.
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD·BC·cosB
＝ 1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
三、正、余弦定理与其他知识的综合 [例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB. ∵B＝60°，b＝a＋2 c，∴(a＋2 c)2＝a2＋c2－2accos60°. 整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c. ∴△ABC为正三角形．
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2 5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[解] (1)由cosC＝255，得sinC＝ 55， sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)
三边(a，b，c)
由余弦定理求出角A，B；再利用
A＋B＋C＝180°，求出角C.
余弦定理
S△＝
1 2
absinC，在有解时只有一
解．
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C
两边和其中一边的 对角(如a，b，A)
正弦定理
＝180°，求出角C；再利用正弦定
理求出c边．
S△＝
1 2
absinC，可有两解，一解或
【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b) cos C＝c cos B， ∴(2sin A－sin B) cos C＝sin C cos B， 2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C， 即2sin A cos C＝sin (B＋C)， ∴2sin A cos C＝sin A.
无解.
2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此 时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
3．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理
和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝
等，通过代数恒等变换，求出三条边
之间的关系进行判断．
5.与其他知识的综合运用 在解三角形应用正弦定理、余弦定理时，还要注意 与三角形的其他知识的综合应用． (1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°. (2)三角形的面积公式S＝ 12 ah，S＝ 12 absinC＝ 12 acsinB ＝12bcsinA. (3)大边对大角，等边对等角． (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (5)解决不在同一平面内的三角形问题要注意正确画出 空间图形．
＝
22(cosC＋sinC)＝3
10 10 .
由正弦定理，得BC＝sAinCB·sinA＝
1Байду номын сангаас×3 2
1010＝3
2.
2
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
(2)由正弦定理，得AB＝sAinCB·sinC＝
10× 2
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝21，∴C＝π3.
(2)由 S＝12absin C＝10 3，C＝π3，
得 ab＝40.①
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
即 c2＝(a＋b)2－2ab1＋cos
π3，
∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12. ∴a＋b＝13.②
由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
[解] 方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC. ∵B＝60°，∴A＋C＝120°. 将A＝120°－C代入上式，得 2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC， 展开，整理得 23sinC＋12cosC＝1. ∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°. ∴C＝60°，故A＝60°.∴△ABC为正三角形．