必修五解三角形复习课件
合集下载
高中数学模块复习1解三角形课件新人教B版必修5
第1课时 解三角形
知识网络
要点梳理
思考辨析
定理内容:sin������ = sin������ = sin������ ������ ������ ∶ ������ ∶ ������ = sin ������ ∶ sin ������ ∶ sin ������ ������ = 2 ������ sin ������ sin ������ = : ; ; 变形形式 2������ 等 正弦定理 面积公式:������ = ������������ sin������ = ������������sin������ = ������������sin������ 2 2 2 已知两角和一边, 求其他的边和角 应用范围 已知两边及一边的对角, 求其他的边和角 2 2 2 2 2 2 2 2 2 定理内容:������ = ������ + ������ -2������������cos������, ������ = ������ + ������ -2������������cos������ ,������ = ������ + ������ -2������������ cos������ :cos������ = 2������������ , cos������ = 2������������ , cos������ = 余弦定理 变形形式 已知三边, 求三个角 应用范围 已知两边和夹角, 求其他的边和角
2
;cos
������2 + ������ -������2 C= . 2������������
2
△ABC 外接圆的半径;r 为△ABC 内切圆的半径)
(3)应用: ①已知两边和夹角求第三边;②已知三边求三内角; ③已知两边和一边的对角求第三边. 3. 面积公式 1 1 1 ������������������ 1 S=2absin C=2acsin B=2bcsin A= 4������ = 2(a+b+c)r. (其中 R 为
知识网络
要点梳理
思考辨析
定理内容:sin������ = sin������ = sin������ ������ ������ ∶ ������ ∶ ������ = sin ������ ∶ sin ������ ∶ sin ������ ������ = 2 ������ sin ������ sin ������ = : ; ; 变形形式 2������ 等 正弦定理 面积公式:������ = ������������ sin������ = ������������sin������ = ������������sin������ 2 2 2 已知两角和一边, 求其他的边和角 应用范围 已知两边及一边的对角, 求其他的边和角 2 2 2 2 2 2 2 2 2 定理内容:������ = ������ + ������ -2������������cos������, ������ = ������ + ������ -2������������cos������ ,������ = ������ + ������ -2������������ cos������ :cos������ = 2������������ , cos������ = 2������������ , cos������ = 余弦定理 变形形式 已知三边, 求三个角 应用范围 已知两边和夹角, 求其他的边和角
2
;cos
������2 + ������ -������2 C= . 2������������
2
△ABC 外接圆的半径;r 为△ABC 内切圆的半径)
(3)应用: ①已知两边和夹角求第三边;②已知三边求三内角; ③已知两边和一边的对角求第三边. 3. 面积公式 1 1 1 ������������������ 1 S=2absin C=2acsin B=2bcsin A= 4������ = 2(a+b+c)r. (其中 R 为
人教A版必修五第一章《解三角形》复习课件修改版 (共17张PPT)
速度练习、 ABC中， (b c) : (c a) : (a b) 4 : 5 : 6, 则A等于____ 120°
速度原型四：长大的三角形面积公式
3 1 已知ABC中，a 4, c 2 , B 75, 那么ABC的面积等于____
(参考数据： sin75
余弦定理解决的题型：
1、已知三边求三角.
推 论 判 断 三 角 形 的 形 状
b2 c2 a 2 cos A 2bc a 2 c2 b2 cos B 2ac a 2 b2 c2 cos C 2ab
b2 c 2 a 2 0
则A为直角
活 用 公 式
2、已知两边和他 们的夹角，求第 三边和其他两角.
a a 2 R sin A (sin A ) 2R b ) b 2 R sin B (sin B 2R c c 2 R sin C (sin C 2 R )
美丽的边与角比例式
二、余弦定理及其推论：
使 用 公 式
推论
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
典例分析
已知两边及一边对角，解三角形
速度原型 二 “单摆原理”
2.在ABC中，A 60 ，a 6, b 3, 则ABC解得情况是
C
A.无解，B.有一解， C.有两解， D.不能确定 .
速度变式
1.在ABC中，已知b 3, c 3 3, B 30 ,
'
试判断ABC的形状.
《 解三角形》复习
高中数学 必修5第一章
解释
使用公式
速度原型四：长大的三角形面积公式
3 1 已知ABC中，a 4, c 2 , B 75, 那么ABC的面积等于____
(参考数据： sin75
余弦定理解决的题型：
1、已知三边求三角.
推 论 判 断 三 角 形 的 形 状
b2 c2 a 2 cos A 2bc a 2 c2 b2 cos B 2ac a 2 b2 c2 cos C 2ab
b2 c 2 a 2 0
则A为直角
活 用 公 式
2、已知两边和他 们的夹角，求第 三边和其他两角.
a a 2 R sin A (sin A ) 2R b ) b 2 R sin B (sin B 2R c c 2 R sin C (sin C 2 R )
美丽的边与角比例式
二、余弦定理及其推论：
使 用 公 式
推论
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
典例分析
已知两边及一边对角，解三角形
速度原型 二 “单摆原理”
2.在ABC中，A 60 ，a 6, b 3, 则ABC解得情况是
C
A.无解，B.有一解， C.有两解， D.不能确定 .
速度变式
1.在ABC中，已知b 3, c 3 3, B 30 ,
'
试判断ABC的形状.
《 解三角形》复习
高中数学 必修5第一章
解释
使用公式
高中数学必修5高中数学复习课《解三角形》PPT
用正余弦定理解 三角形
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
新课标高中数学人教A版必修五全册课件第一章解三角形复习
复习第一章
解三角形
第一页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sin C
第二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sin C
变式：
(3) S
ABC
1 ab sin C 2
1 2
bc sin
第十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理能解决的问题： 1. 已知三边求角；
2. 已知两边和它们的夹角求第三边 .
第十五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
A
1 2
ac sin B
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理能够解决的两 类问题：
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理能够解决的两 类问题：
第五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 余弦定理：
第六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理：
第七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 归纳：
4.变形公式：
b2 c2 a2 cosA
2bc cos B a2 c2 b2
2ac a2 b2 c2 cos C
2ab
第十二页，编辑于星期日：十三点 十八ห้องสมุดไป่ตู้。
复习 余弦定理能解决的问题：
第十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理能解决的问题：
1. 已知三边求角；
复习
归纳：
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
归纳：
第九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
解三角形
第一页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sin C
第二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理：
a b c 2R sinA sin B sin C
变式：
(3) S
ABC
1 ab sin C 2
1 2
bc sin
第十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理能解决的问题： 1. 已知三边求角；
2. 已知两边和它们的夹角求第三边 .
第十五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
A
1 2
ac sin B
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理能够解决的两 类问题：
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
正弦定理能够解决的两 类问题：
第五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 余弦定理：
第六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理：
第七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习 归纳：
4.变形公式：
b2 c2 a2 cosA
2bc cos B a2 c2 b2
2ac a2 b2 c2 cos C
2ab
第十二页，编辑于星期日：十三点 十八ห้องสมุดไป่ตู้。
复习 余弦定理能解决的问题：
第十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
余弦定理能解决的问题：
1. 已知三边求角；
复习
归纳：
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
复习
归纳：
第九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
高中数学必修5《解三角形》课件
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1.
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.
4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°； (2)a＝10，b＝20，A＝80°； (3)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
解析： (1)∵a＝7，b＝8，∴a<b， 又∵A＝105°>90°，∴本题无解． (2)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20·sin 80°>20·sin 60°＝10 3， ∴a<b·sin A，∴本题无解．
【正解】 由正弦定理sina A＝sinb B得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
[规范解答] a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
[提示] ∠C＝90°，∠B＝30°，a＝2 3，b＝2.
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.
4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°； (2)a＝10，b＝20，A＝80°； (3)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
解析： (1)∵a＝7，b＝8，∴a<b， 又∵A＝105°>90°，∴本题无解． (2)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20·sin 80°>20·sin 60°＝10 3， ∴a<b·sin A，∴本题无解．
【正解】 由正弦定理sina A＝sinb B得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
[规范解答] a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
[提示] ∠C＝90°，∠B＝30°，a＝2 3，b＝2.
高中数学 解三角形单元复习(3课时)课件 新人教A版必修5
ABC中 已知ac=b 例3 在△ABC中，已知ac=b2，求 cos(A－C)＋cosB＋cos2B的值 的值. cos(A－C)＋cosB＋cos2B的值. 1
ABC中 已知a c=2b， 例4 在△ABC中，已知a＋c=2b，求
1+ cosA 1+ cosC 的值. 的值. ⋅ sinA sinC
a＋c=λb，求λ的取值范围. c=λb， 的取值范围. (1,2]
作业： 作业： P20习题1.2A组：12，13，14. P20习题1.2A组 12，13， 习题1.2A
第一章 解三角形 单元复习
第三课时
例题分析 如图，在高出地面30m 30m的小山顶 例1 如图，在高出地面30m的小山顶 上建有一座电视塔AB 在地面上取一点C AB， 上建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5 0.5， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB 45° 求该电视塔的高度. ＝45°，求该电视塔的高度.
BC = 2 21
2a = (1 +
3)c
ABC中 已知A=2C BC=AC＋ A=2C， 例3 在△ABC中，已知A=2C，BC=AC＋1， AB=AC－ 求三角形的三边长. AB=AC－1，求三角形的三边长. AB=4，AC=5， AB=4，AC=5，BC=6.
ABC中 已知sin 例4 在△ABC中，已知sin2A＋sin2C＝ sinAsinC， sin2B＋sinAsinC，且 2a = (1 + 3)c ， 求角A 的值. 求角A、B、C的值. B=60° C=45° A=75° B=60°，C=45°，A=75°.
26 o sin q = ,0 < q < 90o 北偏东45 45° 点A北偏东45°＋θ（其中 ） 26
人教版必修五第一单元解三角形复习课课件
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
(9)sin sin 或 若、是 三角 形 的内 角 则有
正余弦推论的应用
sinA
sinA sinB
b
2
2
又b a, B A, A 60或120
当A 60时 ，C 75 c b sinC s i nB
2 sin75 sin45
6 2
2
当A 120时 ，C 15 c b sinC s i nB
2 sin15 sin45
6 2
2
方 法 二用 余 弦 定 理
k k 1 2k
与 第 三 边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小 于 第 三 边 解 得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2,则 最 大 边c的 取 值 范围是 5 c3
解：由余弦定理得cosC a2 b2 c2 5 c2
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
a b c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
人教A版必修五解三角形章末复习课课件
当堂训练
1.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两
个不等的实根，则A为 答案
√A.锐角
C.钝角
解析
B.直角 D.不存在
123
2.在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为
32 A. 2
√B.3 2 3
3 C.2
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器
的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器 的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹 射声音的时间比在B地晚127秒. 在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 解答
类型二 三角变换与解三角形的综合问题 命题角度1 三角形形状的判断 例2 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断 △ABC的形状. 解答
命题角度2 三角形边、角、面积的求解 例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋ csin B. (1)求B； 解答
D.3 3ຫໍສະໝຸດ 答案 解析由余弦定理，得cos A＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝322＋×432×－413＝12，
从而 sin A＝ 23，
则
AC
边上的高
BD＝ABsin
A＝3×
23＝32
3 .
123
3.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得 斜度为45°，建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角θ的余 弦值. 解答
高一《数学》必修五1章解三角形复习课课件 (共29张PPT)
b2=__a_2_+__c_2_-_2_a_c_c__o_s_B__，
c2=__a_2_+__b_2_-_2_a__b_c_o__s_C__.
3.变形
b2 c2 a2
a2 c2 b2
a2 b2 c2
cosA=___2_b_c____；cosB=___2__a_c___；cosC=___2_a_b____.
随堂检测
3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，
正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( A )
(A)2h米 (C) 3h 米
(B) 2h米 (D) 2 2h 米
【解析】如图,BC= 3h, AC=h，
∴ AB 3h2 h2 2h （米）.
随堂检测
4.在△ABC中，b2-bc-2c2=0，a 6，cos A 7，则△ABC的面积 8
由正弦定理得 sin∠ABC=
=
=,
所以∠ABC=45°,所以 BC 为东西走向,所以∠CBD=120°,
练一练
在△BCD 中,由正弦定理得
sin∠BCD=
=
=,
所以∠BCD=30°,所以∠BDC=30°.
所以 BD=BC= ,即 10t= ,所以 t= ,
即缉私艇沿北偏东 60°方向行驶才能最快追上走私船,需 h.
2AC BC 即 cos 202 282 122 13 .
2 20 28 14
因为α为锐角，所以
sin 1 cos2 1 (13)2 3 3 . 14 14
归纳总结
【归纳总结】正、余弦定理的实际应用应注意的问题： (1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位 角等； (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作 出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三边(a，b，c)
由余弦定理求出角A，B；再利用
A＋B＋C＝180°，求出角C.
余弦定理
S△＝
1 2
absinC，在有解时只有一
解．
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C
两边和其中一边的 对角(如a，b，A)
正弦定理
＝180°，求出角C；再利用正弦定
理求出c边．
S△＝
1 2
absinC，可有两解，一解或
【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b) cos C＝c cos B， ∴(2sin A－sin B) cos C＝sin C cos B， 2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C， 即2sin A cos C＝sin (B＋C)， ∴2sin A cos C＝sin A.
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝21，∴C＝π3.
(2)由 S＝12absin C＝10 3，C＝π3，
得 ab＝40.①
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
即 c2＝(a＋b)2－2ab1＋cos
π3，
∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12. ∴a＋b＝13.②
＝
22(cosC＋sinC)＝3
10 10 .
由正弦定理，得BC＝sAinCB·sinA＝
10×3 2
1010＝3
2.
2
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
(2)由正弦定理，得AB＝sAinCB·sinC＝
10× 2
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD·BC·cosB
＝ 1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
三、正、余弦定理与其他知识的综合 [例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→[C解＝]－方323法，一求：△∵ABB→CC的·C→最A大＝内|B→角C |．| C→A|·cos(180°－∠ACB) ＝125>0，
∴cos∠ACB<0. ∴∠ACB>90°，即∠ACB是△ABC中的最大内角． 由已知B→C·C→A＝125，A→B·B→C＝－323， ∴B→C·C→A＋A→B·B→C＝B→C(C→A＋A→B) ＝B→C·C→B＝－|B→C|2＝－9.
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2 5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[解] (1)由cosC＝255，得sinC＝ 55， sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)
无解.
2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此 时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
3．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理
和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝
已知条件
一边和二角 (如a，B，C)
应用定理 正弦定理
一般解法 由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c. S△＝21acsinB 在有解时只有一解．
两边和夹角 (如a，b，C)
余弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所 对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角． S△＝21absinC 在有解时只有一解．
2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进
行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关
系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A
＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝2π等；
二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝
a 2R
，cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
[解] 方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC. ∵B＝60°，∴A＋C＝120°. 将A＝120°－C代入上式，得 2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC， 展开，整理得 23sinC＋12cosC＝1. ∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°. ∴C＝60°，故A＝60°.∴△ABC为正三角形．
等，通过代数恒运用 在解三角形应用正弦定理、余弦定理时，还要注意 与三角形的其他知识的综合应用． (1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°. (2)三角形的面积公式S＝ 12 ah，S＝ 12 absinC＝ 12 acsinB ＝12bcsinA. (3)大边对大角，等边对等角． (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (5)解决不在同一平面内的三角形问题要注意正确画出 空间图形．
[例2] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ ABC的形状．
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB. ∵B＝60°，b＝a＋2 c，∴(a＋2 c)2＝a2＋c2－2accos60°. 整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c. ∴△ABC为正三角形．
[例1]
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
∴|B→C|＝3，同理可求得|C→A|＝5. 又∵B→C·C→A＝125， ∴125＝|B→C||C→A|cos(180°－∠ACB)＝－15cos∠ACB， ∴cos∠ACB＝－12. 又∵0<∠ACB<180°，∴∠ACB＝120°.