人教A版高中数学必修五解三角形课件
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人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
(4)给出答案． 应用性ห้องสมุดไป่ตู้题在解题中往往会遇到一些非整数值(如带有 根号的数，不可约分的分数，小数等)，一般在运算过程中 不要急于查表或取值，而应保留其原来的形式，直到最后 才进行一次近似计算．这样不仅使保留的结果准确程度 高，而且有时运算也会简便些．
2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
测量的精确度越高．
思考感悟
1．应用解三角形的知识解实际问题的步骤
提示：在应用解三角形的知识解决实际问题时，要分 析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已 知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定 理进行求解． 应用解三角形的知识解实际问题的解题步骤是：
(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
类型二 [例2]
测量两个不可到达的点之间的距离 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组
3 织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为 a 2 的观测点C和D处，测得∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度．
解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中 BD BD AD＝tan30° ，CD＝tan45° . BD BD 又AC＝AD＋CD＝tan30° ＋tan45° ＝8， 8 ∴BD＝ ＝4( 3－1) (m)． 3＋1 即水田的宽度为4( 3－1)米．
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.2第2课时角度问题课件新人教A版必修5
灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，
则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A．北偏东 5°
B．北偏西 10°
C．南偏东 5°
D．南偏西 10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°.]
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
sin D∠CDAC＝sAinCα，
∴AC＝sina
∠sinDαAC＝sin
a sin α （β－α）.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝sian
sin αsin β （β－α）.]
您好，谢谢观看！
Thank you for watching !
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2×( 3－ 1)×2×cos 120°＝6，
即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际 问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦 定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求 角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不 是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、 余弦定理皆可．
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5
『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)
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第一章 1.2 第3课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
新课标人教A版数学必修5全部课件：解三角形的应用举例
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A 0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得：
0 . 9848
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
A 0 A A 0 C AC ( AB BC ) AC ( 340 85 ) 344 . 3 80 . 7 81 ( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
5.10 解斜三角形应用举例
练习：
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
sin A BC sin C AB 85 sin 80 340
0 . 2462
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：
AC AB sin B sin C 340 sin 85 4 5
344 . 3 ( mm )
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A 0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得：
0 . 9848
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
A 0 A A 0 C AC ( AB BC ) AC ( 340 85 ) 344 . 3 80 . 7 81 ( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
5.10 解斜三角形应用举例
练习：
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
sin A BC sin C AB 85 sin 80 340
0 . 2462
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：
AC AB sin B sin C 340 sin 85 4 5
344 . 3 ( mm )
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)
系列丛书
思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
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提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角 度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时， 视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
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2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
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AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
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第一章 1.2 第2课时
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(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距 离，AB代表坡面距离．
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第一章 1.2 第2课时
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如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40
2020秋新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.4 .pptx
在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角
形的面积时,常用余弦定理解答.
-11-
第4课时 几何计算问题
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Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(1)若△ABC 的面积等于 3, 求������, ������的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解; (2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一 个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常 用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
-18-
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3,
所以
1 2
������������sin
人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件23
一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在 一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
解析：
设快艇驶离港口 B 后，最少要经过 xh，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇．如图，连接 CD.则快艇沿线段 BC，CD 航行．
在△OBC 中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又 BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.故快艇从港口 B 到 小岛 C 需要 1h. 在△OCD 中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)． 由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， ∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60 3)2－2·20x·60 3cos30°，解得 x ＝3 或 x＝38. ∵x>1，∴x＝3. 故快艇驶离港口 B 后，最少要经过 3h 才能和考察船相遇．
分析：边读题，边画图形，如图，将条件中的角、长度 标上，求轮船离港口 A 还有多远，即求 AD 的长，在△ACD 中，已知一角(A)一边(CD)，待求 AD，结合已知条件△BCD 三边长已知，由余弦定理可求三角，考虑沟通已知和未知， 可利用∠ADC 与∠BDC 互补，求∠BDC.
解析：
在△BDC 中，由余弦定理知， cos∠CDB＝BD2＋2BCDD·C2－D BC2 ＝－17，
测量距离的问题
[例 1] (2011·东北三校二模)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站 为 31n mile，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21n mile，问此时轮 船离港口 A 还有多远？
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理
当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5
第二十六页，共36页。
探究(tànjiū)
一
且
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
变式训练3
探究四
在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,
sin cos cos
=
= ,则判断△ABC的形状是(
A.等边三角形
B.有一内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一内角是30°的等腰三角形
(2)已知三角形的几个(jǐ ɡè)元素求其他元素的过程叫做解三角形.
第八页，共36页。
1
2
练一练 3
在△ABC 中,a=3,b=5,sin
解析:由正弦定理
sin
=
1
A= ,则
3
,得
sin
sin B=
sin
sin B=
5
9
答案:
第九页，共36页。
.
1
=
5× 3
3
=
5
.
9
1
2
练一练 4
断三角形的形状.
第二十三页，共36页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法一:设
sin
=
探究四
sin
=
=k,
sin
则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴
2
=
2
+
(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.1.2
高效测评 知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余―弦――定→理 另一边 余―正 弦―弦 定――定 理―理 推→论 另两角
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是 三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也 可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂， 但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围， 这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判 断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知两边及一边对角解三角形的方法及注意 事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
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第6课时 三角形中的有关问题
要点 疑点 考点 课前 热 身 能力 思维 方法 延伸 拓展 误解分析
要点穧疑点穧考点
1.正弦定理：
(1) 定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中
R为△ABC外接圆的半径).
(2) 三角形面积公式
S=absinC/2=bcsinA/2=casinB/2
2. 余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB，
变形式？
c2=a2+b2-2abcosC
课前热身
1. △ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( C )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所
误解分析
1.在解斜三角形时，要根据条件正确选择正、 余弦定理，特别要注意解的个数，不要误解.
2.判定三角形形状时，不要随意约去恒等式两 边的公因式，以免造成漏解.
3.在△ABC中，已知a2-a=2(b+c)，a+2b=2c-3.
若 sinC : sinA 4 : 13， ①求a,b,c；
②求△ABC的最大角.
【解题回顾】在△ABC中，总有大角对大边的关系 存在，欲求△ABC的最大角(边)或最小角(边)，只 需找到相应的最大边(角)或最小边(角).其具体方法 应根据已知条件去选定.一般地，在下表给出的条 件下用相应的定理就能求解对应的三角形：
2.在△ABC中，已知 acos 2 C + ccos 2 A 3 b
2
22
(1)求证：a、b、c成等差数列：
(2)求角B的取值范围.
【解题回顾】条件中给出的等式是既有边又有角
的“混合式”，处理这类条件时常常运用正、余 弦定理使其“单纯化”；在求解(2)时，要用均值 不等式处理一下.
延伸·拓展
已知条件 三边a、b、 两边及一角
c
两角及夹 边
两角及一对边
应用定理
余弦定理
正、余弦定 理
正弦定理
正弦定理
4.在△ABC中，若tanA=1/2,tanB=1/3，最长边的长度 为1. (1)求∠C；(2)求最短边的长度.
【解题回顾】在三角形中，已知两角的三角函数 求第三个角时，一般是先求出这个角的某个三角 函数值，再根据角的范围求出该角.另外，在解斜 三角形时，要根据题目的条件正确地选择正、余 弦定理，并要注意解的个数.
对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3a·sinB,则
∠C等于( B )
A.π/6 B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.在△ABC中，若a·sinA=b·sinB，则△ABC是( A )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰或直角三角形
(D)等腰直角三角形
能力·思维·方、b、c
求证： a 2 b 2 sinA B
c2
sinC
【解题回顾】本题欲证之结论中，左边是仅含边的 代数式，右边是仅含角的三角式.因此，通过正、 余弦定理，要么从左边出发，将边的关系转化为角 的关系，再运用三角变换得到右边，要么从右边出 发，将角的关系转化为边的关系，再运用代数恒等 变形方法得到左边.特别注意的是，本题左边是关 于三边的二次齐次分式，因此，正、余弦定理都可 以直接运用.
要点 疑点 考点 课前 热 身 能力 思维 方法 延伸 拓展 误解分析
要点穧疑点穧考点
1.正弦定理：
(1) 定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中
R为△ABC外接圆的半径).
(2) 三角形面积公式
S=absinC/2=bcsinA/2=casinB/2
2. 余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB，
变形式？
c2=a2+b2-2abcosC
课前热身
1. △ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( C )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所
误解分析
1.在解斜三角形时，要根据条件正确选择正、 余弦定理，特别要注意解的个数，不要误解.
2.判定三角形形状时，不要随意约去恒等式两 边的公因式，以免造成漏解.
3.在△ABC中，已知a2-a=2(b+c)，a+2b=2c-3.
若 sinC : sinA 4 : 13， ①求a,b,c；
②求△ABC的最大角.
【解题回顾】在△ABC中，总有大角对大边的关系 存在，欲求△ABC的最大角(边)或最小角(边)，只 需找到相应的最大边(角)或最小边(角).其具体方法 应根据已知条件去选定.一般地，在下表给出的条 件下用相应的定理就能求解对应的三角形：
2.在△ABC中，已知 acos 2 C + ccos 2 A 3 b
2
22
(1)求证：a、b、c成等差数列：
(2)求角B的取值范围.
【解题回顾】条件中给出的等式是既有边又有角
的“混合式”，处理这类条件时常常运用正、余 弦定理使其“单纯化”；在求解(2)时，要用均值 不等式处理一下.
延伸·拓展
已知条件 三边a、b、 两边及一角
c
两角及夹 边
两角及一对边
应用定理
余弦定理
正、余弦定 理
正弦定理
正弦定理
4.在△ABC中，若tanA=1/2,tanB=1/3，最长边的长度 为1. (1)求∠C；(2)求最短边的长度.
【解题回顾】在三角形中，已知两角的三角函数 求第三个角时，一般是先求出这个角的某个三角 函数值，再根据角的范围求出该角.另外，在解斜 三角形时，要根据题目的条件正确地选择正、余 弦定理，并要注意解的个数.
对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3a·sinB,则
∠C等于( B )
A.π/6 B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.在△ABC中，若a·sinA=b·sinB，则△ABC是( A )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰或直角三角形
(D)等腰直角三角形
能力·思维·方、b、c
求证： a 2 b 2 sinA B
c2
sinC
【解题回顾】本题欲证之结论中，左边是仅含边的 代数式，右边是仅含角的三角式.因此，通过正、 余弦定理，要么从左边出发，将边的关系转化为角 的关系，再运用三角变换得到右边，要么从右边出 发，将角的关系转化为边的关系，再运用代数恒等 变形方法得到左边.特别注意的是，本题左边是关 于三边的二次齐次分式，因此，正、余弦定理都可 以直接运用.