一般三次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式一、历史背景：在数学发展的早期，人们已经研究了一、二次方程的解法。
但是，对于三次方程和四次方程的解法却一直困扰着数学家们。
直到16世纪末，意大利数学家卡尔达诺通过一系列的探索和实践，才找到了求解三次方程的方法。
而求解四次方程更是摆在数学家们面前的一个难题，直到16世纪末，法国天文学家费尔马提出了一个通解。
二、解题思路与方法：对于三次方程和四次方程，我们首先需要将其化为特定的形式。
三次方程可以表示为a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，四次方程可以表示为a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0。
接下来，我们需要找到合适的变量代换，使得原方程可以转化为形如y^3+p*y+q=0或y^4+p*y^2+q=0的方程。
这个变量代换的选取很关键，可以利用一些特殊的性质或条件来进行选取。
然后，我们需要通过一些代数方法，如因式分解、配方法、全平方法等，将原方程转化为一个关于新变量的方程，并进一步进行变量代换。
最后，我们可以采用牛顿迭代、套公式等方法，求得方程的根。
三、三次方程的求根公式：我们首先进行变量代换y=x+p/3，将三次方程转化为y^3+p*y+q=0的形式。
根据维埃塗公式的推导，我们可以得到：y1=C+u+vy2=C+ωu+ω^2vy3=C+ω^2u+ωv其中，C和ω是与p和q相关的常数，u和v是根据原方程的系数经过一些运算得到的。
最后，我们再将y1、y2、y3代入变量代换，即可得到原方程的三个实根。
四、四次方程的求根公式：我们先进行变量代换y = x - b/(4a)，将四次方程转化为y^4 + py^2 + q = 0的形式。
根据费尔马的推导，我们可以得到：y1 = sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y2 = -sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y3 = sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))y4 = -sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))然后，我们再将y1、y2、y3、y4代入变量代换，即可得到原方程的四个实根。
三次方程求根公式卡丹公式
三次方程求根公式卡丹公式卡丹公式，又称三次方程求根公式，是用来求解三次方程的根的一种公式。
在数学中，三次方程是指一个变量的三次多项式方程，通常表示为ax^3+bx^2+cx+d=0。
三次方程的解析解较为复杂，因此卡丹公式的引入使得求解三次方程的过程更加简便和高效。
卡丹公式的形式如下：x = -\frac{b}{3a} + \frac{\sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}}其中，Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2} 和 R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}。
卡丹公式的推导相对复杂，这里不做详细讨论。
下面我们将通过一个具体的例子来展示卡丹公式的应用。
假设我们要求解方程2x^3 + 3x^2 - x - 1 = 0的根。
我们计算Q和R的值：Q = \frac{3(2)(-1) - (3)^2}{9(2)^2} = -\frac{1}{4}，R = \frac{9(2)(-1)(-1) - 27(2)^2(-1) - 2(3)^3}{54(2)^3} = 0接下来，我们将Q和R的值代入卡丹公式，计算出方程的三个根：x_1 = -\frac{3}{4}，x_2 = \frac{1}{4}，x_3 = -1通过卡丹公式，我们成功求解了该三次方程的根。
卡丹公式的引入极大地简化了求解三次方程的过程。
在没有卡丹公式之前，求解三次方程需要通过复杂的代数运算和因式分解来获得解析解，计算过程繁琐而复杂。
而有了卡丹公式，我们只需要计算出Q和R的值，代入公式即可得到方程的三个根，大大提高了求解的效率。
需要注意的是，卡丹公式只适用于一般的三次方程，对于特殊情况，如方程存在重根或虚根，或者方程的系数不满足一定条件时，卡丹公式的应用可能会有限。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
计算方程根的公式
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
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一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
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范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
3次方程求根公式
3次方程求根公式三次方程求根公式是一类解决多项式的复杂方程的有效方法，它主要通过分解三次多项式的方程，从而解出方程的根。
下面介绍三次方程求根的常用公式：一、基本公式该型方程为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a≠0。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=–b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a二、牛顿迭代法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=q/ax1x2x3=r/a三、伽玛函数法该型方程为ax³+px²+qx=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=-q/2a四、贝尔根斯法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。
解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u-p/3ax1x2+x1x3+x2x3=v+2p²/27a³-q/3bx1x2x3=-2u³/27a-qv/6a²+r/a五、拉塞尔根式该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，且y1、y2、y3分别满足条件：y1+y2+y3=0y1y2+y1y3+y2y3=p/ay1y2y3=q/2a解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u+q/2ax1x2+x1x3+x2x3=v-pq/4a²+r/ax1x2x3=-u²v/4a²-p³/27a³-pr/6a²+q²/8a³+s/a。
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元三次方程
一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程一元三次方程求根公式:以下是传统解法一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。
这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。
可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。
医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。
当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。
尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。
卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。
他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。
塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。
塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。
按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。
三次函数求根公式解法
具体算法如下：
1、ax^3+bx^2+cx+d的标准型。
2、化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。
3、可以写成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。
4、其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。
5、令y=x-a1/3。
6、则y^3+px+q=0。
7、其中p=-(a1^2/3)+a2，q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。
扩展资料：
三次方程的其他解法：
1、因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能
作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x3-x=0
对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。
2、另一种换元法
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。
再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。
3、盛金公式解法
三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d＝0，我们都可以转化成普通形式，即形如x³+px+q＝0的形式。
这个形式我们的操作方法就是，化三次为2次。
首先，换元，令x＝u+v，那么x³＝(u+v)³＝u³+v³+3u²v+3uv²。
原式＝(u+v)³+p(u+v)+q＝u³+v³+3u²v+3uv²+p(u+v)+q＝(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)＝0。
要使它有解。
则必须满足两部分都为0，即这个就类似于我们的韦达定理x1+x2＝-b/a，x1x2＝c/a，那么由此，我们可以构造出一个一元二次方程，使其两根恰好为u³和v³，这个方程就是x²+qx-(p/3)³＝0，由求根公式那么这其实是两个值，分别为u³和v³，我们开立方就得到了u和v，即又因为x＝u+v，所以可以得到普通形式下一元三次方程的求根公式，即卡尔达诺公式其实如果你对式子的变换很熟悉你可以读到这里就退出了，因为绝大多数内容已经解决了，比如说题目中出现x³+2x²+x+1＝0，首先我们知道(x+2/3)³＝x³+8/27+3x²2/3+3x4/9＝x³+2x²+4x/3+8/27，所以原式＝(x+2/3)³+x-4x/3+1-8/27＝(x+2/3)³-x/3+19/27＝0，下一步就是令t＝x+2/3，然后变成t³-(t-2/3)/3+19/27＝t³-t/3+2/9+19/27＝t³-t/3+25/27＝0，然后用上述公式即可(如果有打错的不要介意，我没用公式编辑器，我的字体怪怪的很容易打错)。
一元三次方程求根公式化为乘积形式
一元三次方程求根公式化为乘积形式概述一元三次方程是数学中的重要概念，解决它的根是数学学习中的基本内容之一。
本文将介绍如何将一元三次方程的求根公式化为乘积形式，通过清晰简洁的语言和生动的示例，帮助读者更好地理解该概念。
一元三次方程一元三次方程是形如$a x^3+bx^2+c x+d=0$的方程，其中$a\n e q0$。
解决这样的方程需要运用一元三次方程求根公式。
一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式如下：$$x=-\fr ac{b}{3a}-\f ra c{u_1}{3a}-\f r ac{u_2}{3a}$$其中，$$u_1=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}+\sq rt{\f r ac{q^2}{4}+\fra c{p^3} {27}}}$$$$u_2=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}-\s qr t{\f ra c{q^2}{4}+\f ra c{p^3}{27}}}$$$$p=\f ra c{3a c-b^2}{3a^2}$$$$q=\f ra c{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$公式化为乘积形式要将一元三次方程的求根公式化为乘积形式，需要将根据上述公式计算得到的解转化为乘积形式。
下面是具体的步骤：1.计算$p$和$q$的值；2.计算$u_1$和$u_2$的值；3.将$u_1$和$u_2$分别写成三角函数的形式（使用欧拉公式）；4.将$u_1$和$u_2$的三角函数形式转化为指数形式；5.将指数形式的$u_1$和$u_2$代入$x$的公式，化简得到乘积形式的解。
示例假设有一元三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$，根据上述公式计算如下：1.计算$p$的值：$$p=\f ra c{3a c-b^2}{3a^2}=\fr ac{3(3)(1)-(3)^2}{3(1)^2}=0$$2.计算$q$的值：$$q=\f ra c{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=\fr ac{2(3)^3-9(3)(1)(1)+27(1)^2(-1)}{27(1)^3}=0$$3.计算$u_1$和$u_2$的值：$$u_1=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}+\sq rt{\f r ac{q^2}{4}+\fra c{p^3} {27}}}=0$$$$u_2=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}-\s qr t{\f ra c{q^2}{4}+\f ra c{p^3}{27}}}=0$$4.将$u_1$和$u_2$分别写成三角函数的形式：$$u_1=0$$$$u_2=0$$5.将$u_1$和$u_2$的三角函数形式转化为指数形式：$$u_1=1\cd ot e^{0i}=1$$$$u_2=1\cd ot e^{0i}=1$$6.将指数形式的$u_1$和$u_2$代入$x$的公式，化简得到乘积形式的解：$$x=-\fr ac{b}{3a}-\f ra c{u_1}{3a}-\f r ac{u_2}{3a}=-\f ra c{3}{3}-\f rac{1}{3}-\f ra c{1}{3}=-1$$所以，一元三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$的根可以表示为$x=-1$。
一元3次方程求根公式
一元3次方程求根公式
一元3次方程是指只有一个未知数（通常为x）的三次方程，形式为ax^3+bx^2+cx+d=0。
求解一元3次方程的根需要用到一元3次方程的求根公式。
一元3次方程的求根公式是一个比较复杂的公式，可以用来求解所有一元3次方程的根。
该公式包括两个部分，一个是实根公式，一个是虚根公式。
对于一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，它的实根公式为：
x = [(-b + sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [(-b - sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [-c/3a]
其中，sqrt代表开方，即平方根，a、b、c、d均为已知系数。
如果一元3次方程没有实根，则可以使用虚根公式。
虚根公式为： x1 = [(-b + i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b -
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x2 = [(-b - i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b +
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x3 = [-b/3a]
其中，i代表虚数单位，即i^2=-1。
通过一元3次方程的求根公式，我们可以求解任何一元3次方程的根，不管它是实根还是虚根。
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三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin ' s Formulasand Shengjin ' s Distinguishing Meansand Shengjin ' s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics 盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin ' s Formulas一元三次方程aX A3 + bX A2 + cX + d=0 , ( a , b , c, d € R，且a^O)。
重根判别式：A=b －3ac ；B=bc －9ad ；C=c －3bd ，总判别式：△ =B—4AC。
当A=B=0 时，盛金公式①( WhenA=B=0 , Shengjin ' s Formula ①)：X1=X2=X3= －b/(3a)= －c/b= －3d/c 。
当△ =B—4AC>0 时，盛金公式②(WhenX =B —4AC>0 , Shengjin ' s Formula ②)：X1=( －b－(Y1＋Y2))/(3a) ；X2，3=( —2b＋Y1＋Y2±3 (Y1 —Y2)i)/(6a) ；其中Y1，2=Ab ＋3a (—B±(B—4AC))/2 ，i=—1。
当△ =B—4AC=0 时，盛金公式③( When\ =B —4AC =0 , Shengjin ' s Formula③)：X1= —b/a ＋K；X2=X3= —K/2 ，其中K=B/A , (A 工0)。
韦达定理一元三次方程求根公式
韦达定理是一种用于求解一元三次方程根的方法，其求根公式如下：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，首先计算其判别式 D = b^2 - 3ac，然后根据D 的取值分类讨论：
若D > 0，则方程有三个实根，公式如下：
x1 = (-b + √D) / (3a)
x2 = (-b -√D) / (3a)
x3 = (-b + √D) / (3a)
若D = 0，则方程有一个实根和一个重根，公式如下：
x1 = x2 = -b / (3a)
x3 = (-b + 2√D) / (3a)
若D < 0，则方程有一个实根和一对共轭虚根，公式如下：
x1 = (-b + (3√-D)i) / (3a)
x2 = (-b -√D + (3√-D)i) / (3a)
x3 = (-b -√D - (3√-D)i) / (3a)
其中，i 表示虚数单位。
需要注意的是，这个公式虽然可以用来求解一元三次方程的根，但是它的计算过程比较复杂，而且容易出现计算错误。
因此，实际应用中常常使用计算机程序来求解一元三次方程的根。
高次方程求根公式
高次方程求根公式在代数学中，高次方程是指次数大于等于2的多项式方程。
求解高次方程的根是代数学的一个重要研究课题，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些常见的高次方程求根公式，其中包括二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。
一、二次方程的求根公式二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
求解二次方程的根可以使用以下公式：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即x的两个可能取值。
如果b^2-4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果b^2-4ac等于0，则方程有两个相等的实根；如果b^2-4ac小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。
二、三次方程的求根公式三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d 为已知实数且a≠0。
求解三次方程的根可以使用以下公式：x = ∛(-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)) + ∛(-q/2 - √(q^2/4 + p^3/27)) - b/(3a)其中，q = (3ac-b^2)/(9a^2)，p = (3b-9ac)/(27a^2)。
这个公式可以求解三次方程的一个实根，而其他两个根可以通过代入求解得到。
三、四次方程的求根公式四次方程是形如ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为已知实数且a≠0。
求解四次方程的根可以使用以下公式：x = ±√((-b+√(b^2-4ac))/2a) ±√((-b-√(b^2-4ac))/2a)其中，±表示四个解，即x的四个可能取值。
这个公式可以求解四次方程的所有实根，但需要注意的是，四次方程可能有重根或复根。
需要注意的是，除了二次方程、三次方程和四次方程，高次方程的求根公式并不一定存在。
对于五次及以上的方程，一般无法用有限次的加、减、乘、除和开方运算来求解其根。
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。