求矩阵的秩的步骤
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
求秩的方法
求秩的方法在矩阵运算中，求秩是一个非常重要的问题。
矩阵的秩代表了矩阵中线性无关的列或者行的最大个数，它在很多领域都有着重要的应用，比如线性代数、统计学、计算机科学等。
因此，掌握求秩的方法对于深入理解矩阵运算和解决实际问题都是非常有帮助的。
首先，我们来介绍一下求秩的方法。
常见的求秩方法有高斯消元法、矩阵的初等变换法和矩阵的特征值法等。
接下来，我们将分别介绍这几种方法的具体步骤和应用场景。
高斯消元法是一种常见的求解线性方程组的方法，同时也可以用来求解矩阵的秩。
其基本思想是通过一系列的初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵或者行简化阶梯形矩阵，然后通过观察零行的个数来确定矩阵的秩。
这种方法简单直观，适用于一般的矩阵求秩问题。
矩阵的初等变换法是另一种常用的求秩方法。
它包括矩阵的行初等变换和列初等变换，通过一系列的变换操作将矩阵化为简化形，然后通过观察简化形中非零行的个数来确定矩阵的秩。
这种方法在处理特殊类型的矩阵时比较方便，比如对角矩阵、上三角矩阵等。
除了以上两种方法外，矩阵的特征值法也是一种常用的求秩方法。
它利用矩阵的特征值和特征向量的性质来确定矩阵的秩。
具体来说，通过计算矩阵的特征值，然后观察特征值的个数和重数来确定矩阵的秩。
这种方法在矩阵比较大或者特征值已知的情况下比较方便。
总的来说，求秩的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的秩。
同时，掌握不同的求秩方法也有助于我们更深入地理解矩阵的性质和应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解矩阵的秩的情况，比如在数据分析、信号处理、最优化问题等领域。
因此，掌握求秩的方法对于我们解决实际问题非常有帮助。
希望通过本文的介绍，读者能够对求秩的方法有所了解，并且能够灵活运用这些方法来解决实际问题。
矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
5 3 6
0
8
5
4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：RA n A 0
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0
0 0
1 0 E 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
2 1 所构成的二阶子式为 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
求矩阵的秩的步骤
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
矩阵的秩及其求法课件
目 录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三 角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、 列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性 。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为 原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有 元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法
矩阵中秩的计算
矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。
在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。
矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。
计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。
在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。
我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。
高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。
其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。
2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。
3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。
但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。
另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。
矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。
矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。
这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。
通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。
矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。
当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。
矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。
奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。
通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。
矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
已知特征值求秩的方法
已知特征值求秩的方法特征值是矩阵的重要性质之一，在许多应用中都会涉及到特征值问题。
求矩阵的秩是线性代数中的一个基础问题，它表示矩阵中线性无关的向量的最大个数。
本文将介绍一种基于特征值的求秩方法。
在矩阵的特征值问题中，矩阵A的特征值定义为满足方程Av=λv的非零向量v，其中λ为特征值。
特征值问题可以表示为Aλ=v，对于n阶矩阵A，可以找到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
现在我们将介绍基于特征值的求秩方法，步骤如下：步骤1：计算矩阵A的特征值首先，求解矩阵A的特征值。
特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λI)=0得到，其中I是单位矩阵。
解特征方程可以得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
步骤2：对特征值进行排序对特征值进行排序，通常按照从大到小的顺序排列。
排序的目的是方便后面计算秩的过程。
步骤3：判断特征值是否为零从排序后的特征值中找到非零的特征值个数，设为r。
特征值为零表示矩阵A的秩降低，非零特征值的个数表示矩阵A的秩。
在实际计算中，可以使用一个阈值来判断特征值是否为零，例如取10^-8步骤4：计算秩特征值为零的个数r为矩阵A的秩。
如果特征值为零的个数为0，则矩阵的秩为n；如果特征值为零的个数为n，则矩阵的秩为0。
通过上述的求秩方法，我们可以快速准确地求解矩阵的秩。
不过需要注意的是，在实际应用中，由于数值计算的精度限制以及舍入误差的存在，求解特征值时可能会产生误差，因此在计算特征值时需要注意数值稳定性和求解精度。
此外，特征值方法还可以用于求解其他相关问题，例如矩阵的对角化、特征值分解等。
矩阵的特征值提供了矩阵的一些重要信息，对于矩阵的性质研究和相关应用具有重要意义。
特征值方法在线性代数和数值计算中有着广泛的应用和研究。
3.2 矩阵的秩
非零元为对角元素的3阶行列式
2 0 0 1 3 0 3 2 = 4
24 0,
B =
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2 0 0 0
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3 2 2 5 . 3 0
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从例 1可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数
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二、初等行变换法求秩
1 3 1 2 例2．求矩阵 A= 2 1 2 3 的秩。 3 2 1 1 1 4 3 5 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 7 4 7 0 7 4 7 2 1 2 3 解：A= ， 0 7 4 7 0 0 0 0 3 2 1 1 0 7 4 7 0 0 0 0 1 4 3 5 所以R(A)=2。
2 2 6
1
3
1
1 1
4 5 1
～
+3
8
～
r3 r 2
1 0 0
2 4 0
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4 1 1
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因为R(A)=2,
所以
5 = 0, = 5, 即 1 = 0, = 1.
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课堂练习 P58 29
30
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矩阵秩的本质
A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数.
求矩阵的秩的步骤
将该矩阵转换为行梯形矩阵，然后矩阵的秩等于非零行的数量。
在步骤矩阵中，选择了1,3行和3,4列。
由元素在其交点处形成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子矩阵。
行等级是A的线性独立行的最大数量。
也就是说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则等级是这些行向量或列向量的等级，即包含在其中的向量数最大独立组。
扩展数据：证明：由AB构造的块矩阵和n阶恒等式en| AB O || O En |A将以下两个矩阵相乘并相乘，然后将它们加到上两个矩阵中| AB A || 0 En |相乘-B，在左侧矩阵中添加两个块| 0 A || -B En |因此，R（AB）+ n = R（第一个矩阵）= R（最后一个矩阵）> = R（a）+ R（b）即R（a）+ R（b）-N <= R（AB）在数学中，矩阵是根据矩形阵列排列的一组复数或实数。
最早的矩阵是由等式的系数和常数组成的方阵。
这个概念最早是由19世纪的英国数学家凯利（Kelly）提出的。
矩阵是高等代数以及统计分析等应用数学中的常用工具。
[2]在物理学中，矩阵应用于电路科学，力学，光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵还用于3D动画中。
矩阵运算是数值分析领域中的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论上和实际应用中简化矩阵的运算。
对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角线矩阵，有特定的快速算法。
关于矩阵理论的发展和应用，请参考矩阵理论。
在天体物理学，量子力学等领域，将存在无穷维矩阵，这是矩阵的一种概括。
数值分析的主要分支致力于矩阵计算的有效算法的开发，这已经是一个世纪以来的主题，并且是一个不断扩展的研究领域。
矩阵分解法简化了理论和实际计算。
为特定矩阵结构（例如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法可加快有限元方法和其他计算的速度。
在行星理论和原子理论中存在无限矩阵。
无穷矩阵的一个简单示例是函数的泰勒级数的导数算子矩阵[3]。
矩阵的秩_精品文档
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
把矩阵用初等行变换变成为阶梯形矩阵，阶 梯形矩阵中阶梯上元素的个数就是矩阵的秩
或者：
把矩阵用初等变换变成为标准形矩阵，标准 形矩阵1的个数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A
的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
F
Er O
O O
显然，F有一个r阶子式 Er 1 0 ，而F中的任一个
(r+1)阶子式都至少有一个零行和零列，从而为0
R(F) r
从而：标准形矩阵的秩等于其中1的个数
（2）阶梯形矩阵
由例3知，对于阶梯形矩阵，当我们选定阶梯 上的元素所在的行、列后所得的r阶子式不等于0，
而任一个(r+1)阶子式必含有至少一个零行， 从而为0
解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵，
故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.
10 01 00
0 11
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
解2.
1 11
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
～
0 0 0
0 0 2
2 2 2
2 2 0
1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 11
1
～
0 0 0
11 2 0 02 00
1 2 2 4
0 1 2 1
0000～1000
0 1 0 0
0 1 0 0
00 00
例 6.讨论值的范围,确定矩阵的秩.
1
112
1 10
1
6
152
2
3
1 2
11 4 10 7 17 24
14 33
例 7. 用初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1 1 1 1. 2 1 0
1 1 0
解1.
1 1 1 1
2.
三求解线性方程组1210对方程组的增广矩阵进行行的初等变换使其成为行最简矩由此可知小于末知量的个数故有一个自由末知量设自自由末知量为可得方程组的通解是任意常数时把系数矩阵化为行最简矩阵为从而得方程组的通解为为任意常数时把系数矩阵化为行最简矩阵为从而得到方程组的通解为为任意常数此时方程组有非零解可仿照解法一求出它初等行变换初等列变换初等行变换或者四解矩阵方程的初等变换法
所以，方程组 (AT A)x O与方程组 Ax O有
相同的解，故 RAT A RA
三、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
计算矩阵的秩步骤
计算矩阵的秩步骤矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用来表示线性方程组或线性变换。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数，它可以用来描述矩阵的维度或表示线性变换的变化程度。
在本文中，我们将介绍计算矩阵秩的一般步骤。
步骤1：理解矩阵的定义和性质我们需要理解矩阵的基本定义和性质。
矩阵是由m行n列元素排列而成的矩形数组。
我们可以用A=[aij]表示一个矩阵，其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的秩满足以下性质：- 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。
- 若矩阵的某一行（列）全为零，则该行（列）不计入秩的计算。
- 若矩阵某一行（列）是另一行（列）的倍数，则该行（列）不计入秩的计算。
步骤2：将矩阵化为行阶梯形为了计算矩阵的秩，我们首先将矩阵化为行阶梯形。
行阶梯形是指矩阵的每一行从左到右第一个非零元素为1，且每一行的1元素所在的列的其他元素都为零。
化为行阶梯形的步骤如下：- 找到矩阵中第一个非零的元素，记为a。
- 如果a的所在行不是第一行，则将该行与第一行进行交换。
- 用第一行的倍数减去其他行的适当倍数，使得第一行除了第一个非零元素外的其他元素都为零。
- 重复以上步骤，直到将矩阵化为行阶梯形。
步骤3：将矩阵化为简化行阶梯形在将矩阵化为简化行阶梯形之前，我们需要了解简化行阶梯形的定义。
简化行阶梯形是指行阶梯形的每一个非零行的第一个非零元素为1，并且每一列的1元素所在的行的其他元素都为零。
化为简化行阶梯形的步骤如下：- 将行阶梯形中每个非零行的第一个非零元素化为1，即将每一行除以该行第一个非零元素的值。
- 对于每个非零行，用它的倍数减去其他行的适当倍数，使得每一列的1元素所在的行的其他元素都为零。
步骤4：计算矩阵的秩在得到简化行阶梯形后，矩阵的秩就等于矩阵中非零行的个数。
可以通过观察简化行阶梯形的形式来确定矩阵的秩。
步骤5：举例计算矩阵的秩为了更好地理解计算矩阵秩的步骤，我们举一个例子来进行计算。
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵的秩是一个非常重要的概念，在线性代数和矩阵理论中被广泛应用。
本文将介绍三种常用的方法来计算矩阵的秩。
第一种方法是基于行变换的高斯消元法。
该方法通过一系列的行变换操作将矩阵转化为阶梯形式，从而可以很方便地确定矩阵的秩。
步骤如下：1. 将矩阵的第一行作为基准行，如果基准行的第一个元素为零，则交换该行与后面某一行的位置，以保证基准行的第一个元素不为零。
2. 将矩阵的其他行逐一与基准行进行运算，使得该行的第一个元素为零。
具体操作是将其第一个元素乘以一个适当的倍数，并与基准行相减，使得第一个元素变为零。
3. 重复以上步骤，直到所有行的第一个元素都为零。
4. 接下来，选取下一行作为基准行，重复以上步骤。
重复直到所有行都处理完毕。
5. 最后，统计阶梯形式矩阵中非零行的个数，这个个数就是矩阵的秩。
这种方法的时间复杂度为O(r * c * min(r,c))，其中r和c分别是矩阵的行数和列数。
第二种方法是基于线性无关向量组的概念。
如果一个向量组中的向量是线性无关的，那么这个向量组的秩就是它所包含向量的个数。
因此，我们可以将矩阵的列向量看作向量组，然后通过计算向量组的线性无关个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量取出，构成一个向量组。
2. 利用线性代数中的线性无关向量组的判定方法来确定向量组的线性无关个数。
可以通过计算向量组的秩（即向量组中的线性无关向量的个数）来确定矩阵的秩。
这种方法的时间复杂度为O(r * c^2)，其中r是矩阵的行数，c是矩阵的列数。
第三种方法是基于矩阵的特征值和特征向量的计算。
根据线性代数中的性质，一个矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
具体步骤如下：1. 对于一个n阶矩阵A，我们首先计算其特征值和特征向量。
2. 接下来，统计特征值中非零特征值的个数，这个个数就是矩阵的秩。
这种方法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵的阶数。
综上所述，我们介绍了三种常用的方法来计算矩阵的秩，包括基于行变换的高斯消元法、基于线性无关向量组的概念以及基于矩阵的特征值和特征向量的计算。
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵的行空间或者列空间中的极大线性无关组的个数，是矩阵运算和解线性方程组的基础之一、在本文中，我们将逐步介绍求解矩阵秩的步骤和方法。
一、矩阵的秩定义矩阵的秩是指矩阵的行或列空间所能张成的子空间的维度，记作r(A)。
对于m×n的矩阵A，其秩满足以下条件：1. r(A) ≤ min(m, n)，即秩不会超过矩阵的行数和列数的较小值。
2.r(A)≤r(At)，其中At是A的转置矩阵，即矩阵的列秩不会超过行秩。
二、求解秩的方法求解矩阵的秩可以使用多种方法，包括初等变换、高斯消元法、奇异值分解等。
下面我们将逐一介绍这些方法。
1.初等变换法初等变换是指通过矩阵的行变换或列变换将矩阵转化为简化形式的操作。
通过连续的初等变换操作，可以将矩阵转化为行阶梯形或最简形的矩阵。
这时，矩阵的秩等于其非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行行变换，使得矩阵的一些行变为零行或形成行阶梯形。
Step 2: 记录矩阵中非零行的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过初等变换操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，即矩阵A的秩为32.高斯消元法高斯消元法是一种基于初等变换的方法，通过逐步将矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行或列的个数。
具体步骤如下：Step 1: 将矩阵A转化为行阶梯形矩阵B。
Step 2: 记录矩阵中非零行或列的个数，即为秩。
例如，对于一个3×3的矩阵A，通过高斯消元法操作后得到行阶梯形矩阵B：A=[123;014;001]B=[123;014;001]则秩r(A)=3，与使用初等变换法求得的秩相同。
3.奇异值分解法具体步骤如下：Step 1: 对矩阵A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤矩阵的秩计算方法：利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B ，数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
例题如下：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。
类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵的秩的性质：1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
2、初等变换不改变矩阵的秩。
3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
4、P，Q为可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。
通常表示为r(A)，rk(A)或。
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。
有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
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求矩阵的秩的步骤
在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。
先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。
将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。
现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
特别地规定了零矩阵的秩等于0。
举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。
由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。
学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。
矩阵的子式定义：
在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
矩阵的秩定义：
设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
规定零矩阵的秩为零。
矩阵的秩基本性质：
①若A为m×n矩阵，则
0≤R(A)≤min(m, n)
②R(AT)=R(A)
③若A~B，则R(A)=R(B)
④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)
矩阵的秩常用性质：
max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) 特别地，当B = b 为非零列向量时，有R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1
⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．
⑦R(AB)≤min{R(A), R(B)} ．
⑧若Am×nBn×l = O，则R(A)＋R(B)≤n。