7.运筹学之目标规划(胡运权版)

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第七章 目标规划 §1 目标规划的提出

线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes ）和库柏（W.W.Coopor ）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。

我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。

例1 某厂生产A 、B 两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A 、B 产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A 、B 产品，才能使其利润值最大？ 解 设该厂能生产A 、B 产品的数量分别为12,x x 件，则有

12

1212max 30050010

..46700, 1,2.j

z x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：

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由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。

例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？

解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设12,x x 分别为购买两种原材料的公斤数，()112,f x x 为花掉的资金，()212,f x x 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如下：

()()1121221212

1212

112 min ,7050 max , 70505000 80.. 20 ,0

f x x x x f x x x x x x x x s t x x x =+=++≤⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩

对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题，还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所无法解决的。

在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法——目标规划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几点反映出来：

1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。

2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量满足约束的满意解，即满意方案。

3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。

§2 目标规划的基本概念与数学模型

§2.1 基本概念

在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。

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1．偏差变量

对于例1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条件“放松”，比如占用的人力可以少于70人的话，机时约束和人工约束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表示决策值与目标值之间的差异。

i d +——正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里规定0i d +≥； i d -——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划里规定0i d -≥。

实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的决策可能出现以下三种情况之一： （1）决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表示为0i d +≥，0i d -=； （2）决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为0i d +=，0i d -≥； （3）决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示为0i d +=，0i d -=。 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有i d + •i d -=0。

2．绝对约束与目标约束

绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。

目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时，允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差变量。

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如，例1中假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数

12max 300500z x x =+，可变换为

123005005000i i x x d d -+++-=。

该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请读者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。

绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端项看作所追求的目标值。如，例1中绝对约束1210x x +≤，可变换为目标约束1210i i x x d d -+++-=。

3．目标规划的目标函数

对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。因此目标规划的目标函数是与正、负偏差变量密切相关的函数，我们表示为

()min ,i i z f d d +-=。它有如下三种基本形式：

（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地小。此时，构造目标函数为：

min i i z d d +-=+ （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数为：

min i z d +=

（3）求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数为：min i z d -=