湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义1教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义1

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会

用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。 过程：

一、 实例：1︒当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长

2︒在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0

二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限

1︒ 数列1：

,10

1,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0

③当n 无限增大时，相应的项n 10

1可以“无限趋近于”常数0 2︒ 数列2： ,1

,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1

③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3︒ 数列3： ,)1(,,31,21,1n

n

--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小

②当n 无限增大时，相应的项n

n

)1(-可以“无限趋近于”常数 引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个数a （即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限） 数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、 例一 （课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无

限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =⋅-=或2

2)1(都没有极限。 例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．2)1(1n n a -+= 2．2)1(1n

n a --= 3．)(R a a a n

n ∈=

4．n a n n 3)1(1⋅-=+ 5．n

n a ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=355 解：1．{}n a ：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限

2．{}n a ： ,0,52

,0,32

,0,2 极限为0

3．{}n a ： ,,,3

2a a a 不存在极限

4．{}n a ： ,43

1,23

,3- 极限为0

5．{}n a ：先考察⎪⎭⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-

n

35： ,81

25,2755,95,35-- 无限趋近于0

∴ 数列{}n a 的极限为5

五、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、 作业： 习题1

补充：写出下列数列的极限：1︒ 0.9,0.99,0.999,…… 2︒ n n a 21

=

3︒ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+n n 1)1(1 4︒ ,56,45,34,23 5︒ n n a 21

41

211++++=