湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义1教案
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
《数列极限》说课稿（附教案）
《数列极限》说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。
这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点，重点。
2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
确立依据：基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。
数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．三、教学分析1、对学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。
高一数学课程教案引入数列与数列的极限
高一数学课程教案引入数列与数列的极限教学目标：通过教学引入，使学生了解数列的概念、性质以及数列的极限概念，并能够运用所学知识解决相关问题。
同时，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
一、引入数列的概念数列是由一列有序的数按顺序排列而成的。
数列通常用{ }表示，其中每个数称为数列的项，用a1、a2、a3…表示。
1. 自然数数列的引入先给出一个问题：求1到100的数字之和，如何解决？请同学们思考一下。
在同学们积极思考的过程中，我给出提示：我们可以将数字逐一列举出来，然后将这些数字相加。
这个一组按照顺序排列的数就是一个数列。
通过这个引入，我们可以进一步让学生理解数列的概念，以及数列中数的有序性。
2. 等差数列的引入给出一个问题：新生报道时，班级共发放了200本书，每个班级发放的书本数相同，已知第一个班级发放了8本书，最后一个班级（第n 个班级）发放了52本书，请问一共有多少个班级？通过这个问题的引入，我们可以让学生发现数列中的一种特殊形式，即等差数列。
引导学生用数学符号表示这个数列，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、数列的性质和运算1. 数列的通项公式数列中的每一项都有一个通项公式，通过该公式可以计算出数列中任意项的值。
例如对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 数列的运算我们可以对数列进行四则运算，例如数列的加法、数列与常数的乘法等。
三、数列的极限概念引入1. 数列的极限定义数列的极限定义为：对于给定的实数A和正数ε，当n趋于无穷大时，如果数列的所有后项都与A的距离都小于ε，那么称A为数列的极限。
通过这个定义，我们向学生解释了数列的极限是指数列中的项随着项数的增加趋向的某个特定的数。
2. 数列极限的性质学生需要了解数列极限的性质，如唯一性、保号性、夹逼定理等。
四、数列极限的计算1. 数列极限的计算方法介绍常用的计算数列极限的方法，如夹逼定理、数列极限和等等。
人教版高中数学数列的极限教案2023
人教版高中数学数列的极限教案2023（注：本文为某位高中数学老师为2023年准备的一份数列极限教案，供参考学习之用。
）人教版高中数学数列的极限教案2023第一节：教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解数列的概念和基本性质；2.掌握求数列极限的方法，并能运用所学方法解题。
第二节：教学重点1.数列极限的定义和性质；2.极限与数列的关系；3.常用的数列极限定理。
第三节：教学方法1.教师讲授法：结合丰富的例题，引导学生熟悉并理解数列的概念和性质，掌握求数列极限的方法。
2.微课堂法：以教师录制的微课为主要教学方式，让学生在课前学习相关内容，课堂上加强练习和提问。
第四节：教学内容1.数列的概念和性质（1）概念：数列是按照一定顺序排列的一系列数。
（2）性质：①有限项数列和无限项数列；②数列有通项公式；③数列有公比或公差。
2.极限与数列的关系（1）定义：若存在一个常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到某一项之后的所有项，使其与常数a的距离小于ε，则称常数a是该数列的极限，记作lim an=a(n→∞)。
（2）性质：①数列极限唯一；②收敛数列有界；③有界数列必有收敛子数列。
3.常用的数列极限定理（1）夹逼定理：设数列{an}，{bn}，{cn}，如果an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a，那么{bn}的极限存在且等于a。
（2）单调有界定理：单调递增有上界（下界）的数列必收敛，单调递减有下界（上界）的数列也必收敛。
第五节：教学后记通过本节课的学习，学生对数列及其极限有了更深入的了解，能够掌握求解数列极限的方法，并能够运用所学方法解决实际问题。
同时，通过微课堂的教学方式，学生的主动学习能力得到了锻炼，教学效果得到了提升。
14.1数列极限教案一
课题：14.1 数列极限的定义（一）学习目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
学习过程：一、引例：1 当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长2 在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0二、提出课题：数列的极限 考察下面的极限1 数列(1)： ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0 2 数列(2)： ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3 数列(3)： ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0 引导观察并小结，最后抽象出数列极限的定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项n a 无限地趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A.记作lim n n a A →∞=。
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列(1)的极限为0，记作1010lim nn →∞=，数列(2)的极限为1，记作11lim n n n →∞=+ 数列3的极限为0，记作(1)0lim n n n →∞-= 三、例（课本上例一）判断下列数列是否有极限，如果有极限，分别写出它们的极限。
（1） 数列的通项为21n n a n+= （2） 数列的通项为(1)nn a n-= （3） 数列的通项为(1)12n n a -+= 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。
高中数学数列的极限教案
高中数学数列的极限教案
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的极限的概念，理解数列的极限的定义
及性质，掌握计算数列的极限的方法，并能够应用数列的极限解决实际问题。
教学重点：数列的极限的概念、定义、性质及计算方法。
教学难点：应用数列的极限解决实际问题。
教学准备：教师准备好教材、教具、课件等教学资源；学生准备好课本、笔记和计算器等
学习工具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾数列的定义及常见数列的概念，然后提出数列的极限是什么，为什么要
研究数列的极限。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的极限的定义：引导学生理解数列的极限是指随着项数n趋近于无穷时，数列中的项的极限值。
讲解数列的极限的定义及符号表示。
2. 数列的极限的性质：讲解数列极限的唯一性、保号性、夹逼定理等性质。
3. 计算数列的极限方法：介绍常见数列的极限计算方法，例如等差数列、等比数列的极限。
三、练习（20分钟）
教师设计一些练习题，让学生独立或小组合作进行解答，提高学生对数列极限的计算能力。
四、应用（10分钟）
引导学生通过实际问题，应用数列的极限来解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
五、总结（5分钟）
对本节课的重点内容进行总结，强调数列的极限的重要性，并鼓励学生在课后继续进行练
习提高自己的能力。
教学反思：本节课通过讲解数列的极限的概念、定义、性质及计算方法，引导学生理解并
掌握数列的极限知识，同时通过练习和应用，培养学生的数学解决问题的能力。
在教学过
程中，需要适当引导学生，激发他们对数学的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
高中数学《数列的极限》教学设计
高中数学《数列的极限》教学设计一、教学目标1.知识与能力目标①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。
②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。
③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。
2.过程与方法目标培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。
3.情感、态度、价值观目标使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限的概念和定义。
教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。
极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an 与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。
但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。
因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。
使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。
四、教学策略及教法设计本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。
通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。
然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。
数列极限教案
数列极限教案第一篇：数列极限教案数列的极限教案授课人：###一、教材分析极限思想是高等数学的重要思想。
极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画。
教学难点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。
三、教学目标1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。
2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程1、概念引入例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正6⨯2n-1形的面积为An.A1,A2,A3......An......→圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断1接近圆的面积。
例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度第二天的剩余长度第四天的剩余长度 8.....第n天的剩余长度n-1. (2)随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结：极限是变量变化趋势结果的预测。
例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：111⎧1⎫（1）⎨⎬: 1，,......； 23n⎩n⎭⎧(-1)n⎫1111:-1，-，-,......；（2）⎨⎬n2345⎩⎭（3）n2:1,4,9,16,......；（4）(-1):-1,1,-1,1,......,(-1),......； nn{}{}我们接下来讨论一种数列{xn}，在它的变化过程中，当n趋近于+∞时，xn不断接近于某一个常数a。
如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）（4）中的数列却没有这样的特征。
高中数学教案学习数列的极限
高中数学教案学习数列的极限高中数学教案：学习数列的极限引言：数列是数学中常见的一种数值排列形式，通过研究数列的性质和极限，我们可以深入理解数学中的许多重要概念和方法。
本教案将介绍数列的极限概念、性质以及相关的计算方法，以帮助高中学生更好地理解和掌握数列的极限。
一、数列的极限概念1.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。
通常用{an}表示，其中n为正整数，an表示数列的第n项。
1.2 极限的定义对于数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果数列的后项无限地接近某个确定的值L，则称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。
二、数列的极限性质2.1 极限唯一性数列的极限如果存在，则是唯一的。
2.2 条件收敛性如果一个数列的极限存在，那么这个数列必定是有界的。
2.3 等价无穷小替换如果数列{an}的极限是L，则an-L就是等价无穷小。
三、数列极限的计算方法3.1 常用数列的极限3.1.1 级数的极限1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 (n→∞)3.1.2 几何数列的极限a + ar + ar^2 + ... + ar^n = a/(1-r) (n→∞,|r|<1)3.1.3 斐波那契数列的极限Fn = F(n-1) + F(n-2) (n≥3)当n趋近于无穷大时，Fn/F(n-1)的极限为黄金分割比例φ = (1 + sqrt(5))/23.2 极限的性质运算法则3.2.1 极限的四则运算法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an ± bn) = a ± blim(n→∞)(an × bn) = a × blim(n→∞)(an / bn) = a / b (b ≠ 0)3.2.2 极限的乘法法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an)^k = a^k (k为常数)lim(n→∞)(an)^bn = a^b (特殊情况)3.2.3 极限的夹逼定理：若数列{an}，{bn}，{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an =lim(n→∞)cn = a，则lim(n→∞)bn = a。
高中数学 第三章第17课时数列极限的定义教师专用教案 新人教A版
第十七教时数列极限的定义（N -ε）目的：要求学生掌握数列极限的N -ε定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。
过程：一、 复习：数列极限的感性概念 二、 数列极限的N -ε定义1．以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1(为例 ,41,31,21,1:--na观察：随n 的增大，点越来越接近即：只要n 充分大，表示点n a 与原点的距离nn a nn 10)1(0=--=-可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是101，要使n n a nn 10)1(0=--=-<101只要10>n 即可 即：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1(的第10项之后的所有项都满足(2) 同理：如果预先给定的正数是3101，同理可得只要310>n 即可(3) 如果预先给定的正数是*)(101N k k ∈，同理可得：只要kn 10>即可3．小结：对于预先给定的任意小正数ε，都存在一个正整数N ，使得只要N n > 就有0-n a <ε4．抽象出定义：设{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有a a n -<ε，那么就说数列{}n a 以a 为极限（或a 是数列{}n a 的极限）记为：a a n n =∞→lim 读法：“→”趋向于 “∞→n ” n 无限增大时注意：①关于ε：ε不是常量，是任意给定的小正数②由于ε的任意性，才体现了极限的本质③关于N ：N 是相对的，是相对于ε确定的，我们只要证明其存在④a a n -：形象地说是“距离”，n a 可以比a 大趋近于a ，也可以比a 小趋近于a ，也可以摆动趋近于a三、 处理课本 例二、例三、例四例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身例四 这是一个很重要的结论 四、 用定义证明下列数列的极限：1．1212lim =-∞→n n n 2．231213lim =+-∞→n n n 证明1：设ε是任意给定的小正数nn n 211212=--要使ε<n 21 即：ε12>n两边取对数 ε1log 2>n 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1log 2N …………介绍取整函数当N n >时，ε<--1212n n 恒成立 ∴1212lim =-∞→n n n 证明2：设ε是任意给定的小正数要使ε<-+-231213n n 只要5121ε<+n 2145->εn 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2145εN 当N n >时，ε<-+-231213n n 恒成立∴231213lim=+-∞→n n n21-。
高一数学第三章教案---数列极限的运算
第十九教时教材：数列极限的运算目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。
过程：一、复习数列极限的运算法则例一、先求极限12122lim --+∞→n n n n ，再用ε—N 定义证明。
解：21121111212222lim lim =--+=--+∞→∞→nn n n n n n n 任给)12(212|21121|,0222--=---+>n n n n n ε 则n nn n n n n 122242)12(212222=<-<-- )224,22,1,1(2222n n n n n >-∴>>>时当Θ令]1[11εεε=><N n n取21121|21121|,2222lim =--+∴<---+>∞→n n n n n n N n n 恒成立时当ε 二、先求和，后求极限：例二、求极限1．)23741(2222lim nn n n n n -++++∞→ΛΛ 解：原式=212)13(2lim=-∞→n n n n （指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的） 2．)3()1(32212lim-+++⋅+⋅∞→n n n n n ΛΛ解：原式=31)3(6462)3(2)1(6)12)(1(3232lim lim =-++=-++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 3．)]211()211)(211)(211[(1242lim -++++∞→n n ΛΛ解：111111122222222211211211)21(1211)211)(211(211---------=--=--+=+2n nn n n n n n Θ2211211]211211211211211211211211[22222222lim lim 1232=--=--⨯⨯--⨯--⨯--=∴∞→∞→-n n n n n ΛΛ原式 4．已知数列{a n }中)2)(1(1++=n n n a n ，求n n S lim ∞→解：])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n Θ41])2)(1(121[21]})2)(1(1)1(1[)431321()321211{(21lim lim =++-=++-+++⋅-⋅+⋅-⋅=∴∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ原式三、先共扼变形，再求极限：例三、求极限1．)1(lim n n n n -+∞→解：原式=nn n nn n n n n n n n ++=++++-+∞→∞→11)1)(1(limlim211111lim=++=∞→nn 2．nn n n n -+-+∞→21lim解：原式=)1)(2)(2()2)(1)(1(limn n n n n n n n n n n n n ++++-+++++-+∞→21)1(22lim=++++=∞→n n n n n3．))1(321321(lim -++++-++++∞→n n n ΛΛΛΛ22)11(21)11(2112)1(2)1()2)1(2)1((limlim lim =-++=-++=--+=∞→∞→∞→nn n n n n nn n n n n n n 解：原式四、作业：1．求数列Λ,56,45,34,23的极限为 12．=+++⋅+⋅+⋅∞→])1(1431321211[lim n n n ΛΛ 1 3．=++++∞→)2141211(lim n n ΛΛ 2 4．=+-+++++++∞→)123171411(2222lim n n n n n n ΛΛ23 5．=+---++∞→11112323lim n n n n n 9 6．..72.0=113 7．用数列极限的定义证明：311322lim =+∞→n n n 8．已知数列ΛΛ,25,,515,410,35+n n 和ΛΛ,2,,53,42,31+n n(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。
数学数列与数列极限教案
数学数列与数列极限教案
主题：数学数列与数列极限
引言：
数学数列与数列极限作为高中数学中的重要内容，具有很高的理论与实际应用价值。
通过深入学习数列与数列极限的理论知识，可以帮助学生建立对数学的抽象思维，培养数学分析能力，并为日后的更高层次的数学学习奠定坚实的基础。
本教案将从数列的概念入手，系统讲解数列的基本性质、数列的收敛性及其判定方法，并结合典型例题进行解析和讲解。
一、数列的概念及基本性质
1. 数列的定义与表示方法
2. 数列的基本运算性质
3. 数列的有界性及单调性
4. 数列的极限概念及性质
二、数列的收敛性及判定方法
1. 数列收敛的准确定义
2. 数列收敛性的判定定理
a) 夹逼定理
b) 单调有界数列的收敛性
c) 递推数列的收敛性
3. 数列的极限存在性与唯一性
三、典型例题解析
1. 求数列的极限
2. 利用夹逼定理证明数列的极限
3. 判断数列的收敛性
四、综合运用
1. 应用数列极限解决实际问题
2. 探索数列极限与函数极限的关系
五、拓展与展望
1. 数列极限的推广与进一步研究
2. 数列极限在微积分中的应用
结语：
通过这节课的学习，我们掌握了数列的基本概念和性质，以及数列收敛性及判定方法。
同时，通过典型例题的讲解，我们培养了运用数列极限解决实际问题的能力。
希望同学们能够善于运用所学知识，不断拓展思维，将数学应用于实际生活中。
数学学科是高中阶段的重要基础学科，也是后续学习更高数学课程的基石。
通过努力学习，我们
相信同学们一定能够取得优异的成绩，为自己的未来发展打下良好的基础。
湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义1教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义1教材：数列极限的定义目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
过程：一、 实例： 1︒当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长2︒在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限1︒ 数列1： ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0 ③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0 2︒ 数列2： ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1 ③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3︒ 数列3： ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数 引导观察并小结，最后抽象出定义：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个数a （即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0三、 例一 （课本上例一）略注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以 “无限趋近于”某一个数。
练习：（共四个小题，见课本）四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =⋅-=或22)1(都没有极限。
例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？1．2)1(1n n a -+= 2．2)1(1nn a --= 3．)(R a a a n n ∈= 4．n a n n 3)1(1⋅-=+ 5．n n a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=355 解：1．{}n a ：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限2．{}n a ： ,0,52,0,32,0,2 极限为03．{}n a ： ,,,32a a a 不存在极限 4．{}n a ： ,431,23,3-极限为0 5．{}n a ：先考察⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 35： ,8125,2755,95,35-- 无限趋近于0 ∴ 数列{}n a 的极限为5五、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限六、 作业： 习题1补充：写出下列数列的极限：1︒ 0.9,0.99,0.999,…… 2︒ n n a 21= 3︒ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+n n 1)1(1 4︒ ,56,45,34,23 5︒ n n a 2141211++++=。
湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的运算
教材：数列极限的运算目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。
过程：一、复习数列极限的运算法则例一、先求极限12122lim --+∞→n n n n ，再用ε—N 定义证明。
解：21121111212222lim lim =--+=--+∞→∞→nn n n n n n n 任给)12(212|21121|,0222--=---+>n n n n n ε 则n nn n n n n 122242)12(212222=<-<-- )224,22,1,1(2222n n n n n >-∴>>>时当Θ令]1[11εεε=><N n n取21121|21121|,2222lim =--+∴<---+>∞→n n n n n n N n n 恒成立时当ε 二、先求和，后求极限：例二、求极限1．)23741(2222lim n n n n n n -++++∞→ΛΛ 解：原式=212)13(2lim=-∞→nn n n （指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的） 2．)3()1(32212lim-+++⋅+⋅∞→n n n n n ΛΛ解：原式=31)3(6462)3(2)1(6)12)(1(3232lim lim =-++=-++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n3．)]211()211)(211)(211[(1242lim -++++∞→n n ΛΛ解：111111122222222211211211)21(1211)211)(211(211---------=--=--+=+2n nn n n n n n Θ2211211]211211211211211211211211[22222222lim lim 1232=--=--⨯⨯--⨯--⨯--=∴∞→∞→-nn n n n ΛΛ原式 4．已知数列{a n }中)2)(1(1++=n n n a n ，求n n S lim ∞→解：])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n Θ41])2)(1(121[21]})2)(1(1)1(1[)431321()321211{(21lim lim =++-=++-+++⋅-⋅+⋅-⋅=∴∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ原式三、先共扼变形，再求极限：例三、求极限1．)1(lim n n n n -+∞→解：原式=nn n nn n n n n n n n ++=++++-+∞→∞→11)1)(1(limlim211111lim=++=∞→nn 2．nn n n n -+-+∞→21lim解：原式=)1)(2)(2()2)(1)(1(limn n n n n n n n n n n n n ++++-+++++-+∞→21)1(22lim=++++=∞→n n n n n3．))1(321321(lim -++++-++++∞→n n n ΛΛΛΛ22)11(21)11(2112)1(2)1()2)1(2)1((limlim lim =-++=-++=--+=∞→∞→∞→nn n n n n nn n n n n n n 解：原式四、作业：1．求数列Λ,56,45,34,23的极限为 12．=+++⋅+⋅+⋅∞→])1(1431321211[lim n n n ΛΛ 1 3．=++++∞→)2141211(lim n n ΛΛ 2 4．=+-+++++++∞→)123171411(2222lim n n n n n n ΛΛ23 5．=+---++∞→11112323lim n n n n n 9 6．..72.0=113 7．用数列极限的定义证明：311322lim =+∞→n n n 8．已知数列ΛΛ,25,,515,410,35+n n 和ΛΛ,2,,53,42,31+n n(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。
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湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义1
教材：数列极限的定义
目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会
用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
过程：
一、 实例：1︒当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长
2︒在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0
二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限
1︒ 数列1：
,10
1,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0
③当n 无限增大时，相应的项n 10
1可以“无限趋近于”常数0 2︒ 数列2： ,1
,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1
③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3︒ 数列3： ,)1(,,31,21,1n
n
--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小
②当n 无限增大时，相应的项n
n
)1(-可以“无限趋近于”常数 引导观察并小结，最后抽象出定义：
一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个数a （即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限） 数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0
三、 例一 （课本上例一）略
注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无
限趋近于”某一个数。
练习：（共四个小题，见课本）
四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =⋅-=或2
2)1(都没有极限。
例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？
1．2)1(1n n a -+= 2．2)1(1n
n a --= 3．)(R a a a n
n ∈=
4．n a n n 3)1(1⋅-=+ 5．n
n a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=355 解：1．{}n a ：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限
2．{}n a ： ,0,52
,0,32
,0,2 极限为0
3．{}n a ： ,,,3
2a a a 不存在极限
4．{}n a ： ,43
1,23
,3- 极限为0
5．{}n a ：先考察⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-
n
35： ,81
25,2755,95,35-- 无限趋近于0
∴ 数列{}n a 的极限为5
五、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限
六、 作业： 习题1
补充：写出下列数列的极限：1︒ 0.9,0.99,0.999,…… 2︒ n n a 21
=
3︒ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+n n 1)1(1 4︒ ,56,45,34,23 5︒ n n a 21
41
211++++=。