数列极限的定义
数列的极限
2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn
A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数 ；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n
1 2n
)
1
极限是微积分学的一个重要基本概念， 是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ， 数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1
数列的极限的定义
数列的极限定义是描述数列中随着项数无限增加，数列值逐渐接近某个确定的值的概念。
数列 {a_n} 的极限定义如下：
假设有一个实数L。
对于任意给定的正实数ε（ε> 0），存在一个正整数N，使得当 n > N 时，对于数列的每一项 a_n，都满足 |a_n - L| < ε。
换句话说，对于给定的任意小的正数ε，总存在某个正整数N，使得当数列的项数大于 N 时，数列中的每一项和极限 L 的差的绝对值都小于ε。
以上定义可以解释为：当数列中的项数无限增加时，数列中的元素逐渐趋向于极限值 L，并且可以通过控制允许的误差ε来确定逼近的程度。
需要注意的是，数列的极限并不一定存在或唯一。
如果存在一个实数L 满足上述定义，我们称该数列收敛，并将L 称为该数列的极限。
如果不存在这样的L，则该数列发散。
21数列极限的定义
( 1)n 1 0 . n 10
( 1) n 1 要 0 , 只 须 n 1000 . n 1000
1 ( 1) n 1 对 , 要使 . 0 ,只 须 n 1000000 1000000 n 1000000
……
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第二章：极限
2.1数列极限 以上还不能说明 们都还是确定的数。
liman a
n
0, N , 当n N时, 有 an a M .
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第二章：极限
(5) lim a n a与 lim a n a的比较
n n
n
2.1数列极限
lim an a 0, N , 当n N时, 有 an a .
对
( 1)n 1 n
任意小，并保持任意小，毕竟它
( 1)n 0 才 行 . 0, 要 使 n
由不等式有
1 1 ，故只须 n 即可。 n
1 1
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1)n 0 . n
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n N
，设
f (n) an
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L , 函数值：a1 , a2 ,L, a2006 ,L, an ,L
表示为数列 { a n } ，
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an 为第n项或通项。
第二章：极限
例如：
( 1)n 1 1 1 1 ( 1)n , , , ,L , ,L : 1, 2 3 4 5 n n
ln ln ]. n , 取 N [ ln q ln q
数列极限定义
数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。
首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。
即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。
而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。
不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。
渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。
而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。
在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。
（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。
（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。
（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。
（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。
例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。
数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。
极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。
总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。
此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。
数列极限定义
数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。
例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。
从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。
动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。
有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。
极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。
I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。
这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。
总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。
只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列极限定义
数列极限定义极限是数学中一个重要的概念，在高等数学课程中，我们会经常遇到极限的概念。
大多数时候，极限通常指的是“数列极限”。
它是用来表示一个数列中某个数值的概念，也就是说，它是用来表示某个数列以及其所有元素的极限。
比如，如果一个数列的某个数字是a，那么它的极限就是a。
而它的极限，则是指当n趋近于无穷大的时候，a的趋势仍然是稳定的，也就是说a的值不会有太大的变化。
这样，如果我们对一个数列求极限，就是求这个数列在n趋近于无穷大的时候，a的值最终会稳定在什么地方。
具体来说，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2,a3, ..., an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
下面是一个关于数列极限的数学证明。
设给定的数列为：a1, a2, a3,, an，那么当n无限大的时候，极限L存在，设L = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an-1)，则有：L = a1 + [a2 - a1 + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a2) + + (an-1 - an-1)] + (an - an-1)= a1 + (an - an-1)= L由上述公式可知，当n无限大的时候，极限L存在，而且有L = a1 + (an - an-1) 。
再考虑极限的定义，极限L应当是数列中所有元素的极限，即当n趋近于无穷大的时候，所有的元素的值都会趋近于L。
由以上证明可知，当n趋近于无穷大的时候，数列的极限L存在，并且有极限L = a1 + (an - an-1) 。
因此，可以得出结论，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2, a3,, an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。
数列极限定义
数列极限定义数列是数学中的一个重要分支，它是由一组有有限项或者无限项的数据构成的有序序列。
数列的极限定义是在数学分析中的一种重要概念，它是指在某一特定点附近，数列的值能够无限接近但永远不会达到某一特定值。
极限定义可以帮助我们在研究特定数列时理解某些不可能到达的数字，例如π的值或者无穷远的数值。
极限定义的基本形式是：给定一个序列$${a_n}$$，当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$趋近于某一常数$$L$$，或者说：$$lim_{n to infty } a_n=L$$极限定义中，极限字符L代表该数列趋近于某特定值所达到的值，即该数列的极限。
“趋近”一词意味着：当$$n$$取得足够大的时候，$$a_n$$将尽可能接近于极限L，而不是简单地等于它。
在求解数列时，极限定义帮助我们得出数列的极限值，这就是我们研究特定数列的原因，即求得其极限的值，从而了解其表现趋势。
例如，考虑等比数列$${a_n}$$，其公比为$$q=frac{a_{n+1}}{a_n}$$，在极限定义中可以设定：$$lim_{n to infty} a_n = L$$，对任意一个给定的正数$$epsilon$$，当$$n$$取得足够大的时候，有$$|a_n-L| le epsilon$$。
此外，极限定义还可以用来表示一些无穷的数列，例如数列$${a_n}$$，其元素定义为$$a_n=frac{1}{n}$$，其中$$n$$是正整数，那么该数列的极限就是：$$lim_{n to infty}a_n=0$$。
极限的概念在微积分中也有重要的作用。
例如，在求解某函数的非空间函数时，通常需要求解该函数的变化率、斜率等值，而这些值都可以从极限中获得。
总之，极限定义是数学中一个重要的概念，它在求解常见数列和函数时都具有重要的作用。
它可以帮助我们在研究特定数列时理解不可能到达的数值，还可以用于表示某些无穷的数列，从而求得该数列的极限值，从而更好地了解其数学表现趋势。
数列极限知识点
数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。
在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。
本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。
一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。
一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。
具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。
二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。
下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。
也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。
2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。
3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。
如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。
4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。
5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。
三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。
这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。
2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。
这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。
3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。
四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。
数列的极限的概念
数列的极限的概念数列的极限的概念是数学中的一个重要的概念，它是由法国数学家十九世纪初诺亚库什罗所提出的。
在数学上，极限表示一个数列中每个数字离某个数字的距离越来越小，最终得到这个数字，即为极限。
换句话说，数列的极限是它的每一项靠近的某个数字的值。
首先，在讨论数列的极限之前，必须首先理解极限的定义。
极限是指一个数值变量或函数取极大或极小值时，所取的数字。
在极大或极小值的求取过程中，它的距离可以逐渐减小而不断接近某个值，这个接近的值就是极限。
其次，数列的极限可以用数学公式来表示。
一般来说，极限也可以用三个字母Lim表示，它是一种通用的数学符号，用来表示极限。
例如，若要求出函数y=f(y)在某一点x0上的极限，则可用公式：limf(x) = L其中L是表示函数y=f(x)在x0处的极限值。
再次，数列的极限表示了一个数列中每个数字离某个数字的距离越来越小，最终得到这个数字，这个数字就是极限。
由于极限只能求出某一数列中每一项靠近的值，又称为数列的偶尔极限。
数列的偶尔极限可以有多种计算方法。
例如，可以首先求出数列的前几项，然后观察发现其是否有一定的规律，最后用归纳法推出数列的极限。
另外，也可以使用极限公式或者Euler-Cauchy序列等，来求出一个数列的极限。
最后，数列的极限在数学中有着重要的意义，可以用来解决一些根据不断变化的参数而变化的函数的极限问题。
例如，在微积分中，常常用到极限方程来求出不同函数的极限，从而可以进一步求得某个函数的极限。
总之，数列的极限是一个重要的概念，可以用来求出某个函数的极限，从而得出有用的结论。
大家应该对数列的极限有基本的了解，以便在学习和工作中利用数列的极限解决一些问题。
高等数学数列的极限
高等数学：数列的极限一、引言在高等数学中，数列是极为重要的概念之一。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列的极限则是指在数列中的某种规律性趋势下，数列中的项逐渐接近一个确定的数。
本文将深入探讨高等数学中数列的极限这一概念。
二、数列的定义数列是由一系列有序的数按确定的规律排列而成的序列。
一般来说，数列可以表示为 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，其中a a表示数列的第a项。
数列可以有无穷多项，也可以有有限项。
三、数列极限的定义考虑一个数列 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，如果数列中的项a a随着a的增大趋近于一个常数a，那么我们称常数a是该数列的极限，记作 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = A$。
简单来说，数列的极限就是数列中的项在逐渐接近一个确定的值。
四、数列极限的性质在研究数列的极限时，我们可以利用一些性质来简化计算或判断。
以下是一些常用的数列极限性质：1.数列极限的唯一性：若数列的极限存在，那么极限是唯一的。
2.数列加减乘除的极限性质：若$\\lim_{n\\to\\infty}a_n = A$，$\\lim_{n\\to\\infty} b_n = B$，则$\\lim_{n\\to\\infty} (a_n \\pm b_n) = A \\pm B$，$\\lim_{n\\to\\infty} a_n b_n = A \\cdot B$，$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_n}{b_n} =\\frac{A}{B}$（当a aa0时）。
五、数列的极限计算方法计算数列的极限通常可以通过分析数列的规律性和使用一些极限运算法则来进行。
以下是一些常用的数列极限计算方法：1.利用等式化简：有时数列的极限可以通过等式化简来得到。
例如，将复杂的数列分解成更简单的形式，进而计算极限。
2.利用夹逼准则：对于某些比较复杂的数列，我们可以利用夹逼准则来证明数列的极限值。
数列极限的解释
数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。
数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。
数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。
可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。
通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。
当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。
数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。
在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。
它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。
数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。
这个极限值可以被视为数列的极限。
第二节 数列的极限
证 设 lim xn a , 又 lim xn b,
0, 存在N1, 当n > N1时, 成立 x n a 存在N2, 当n > N2时, 成立 xn b
取N=max{N1, N2}, 当n>N时，成立
a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2.
n ( 1) lim n n
n 1
1.
n ( 1)n1 xn n
n 1
n ( 1) 0, x n 1 n
1 1 n
若 xn 1 只需 n 1 , 只需 n [1] =N (自然数) 换一种说法：
0,
1 存在自然数N [ ], 当n>N时，
n 1 （） 1 lim n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
当n>N时， 成立 xn a
二、收敛数列的性质(A)
定理1
n
若数列{xn}收敛，则它的极限唯一.
n
lim q n 0.
n
当n>N时， 成立 xn a
例3. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
1 n lim (1 ) e n n
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
数列极限定义
数列极限定义数列极限定义是数学中一个基本的概念，它是很多抽象概念的基础，比如有限数列之和、级数之和、不动点定理等等等等。
本文将介绍数列极限定义的概念、性质、求解方法、应用，以及更深入地理解它。
一、数列极限定义数列极限定义是指将数列中的每一项定义为到一个特定的值的近似，例如$ a_{n} = L $其中L是一个常数，表示数列中每一项都接近L。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$a_{n}$的极限值是0，即$lim_{n to infty} a_{n} = 0$。
二、性质数列极限定义具有若干特性：1.数列中的每一项都连续变化时，数列的极限值等于数列中最后一项的值。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$lim_{n to infty} a_{n} = 0$，也就是说，数列的极限值等于最后一项的值。
2.果数列中的每一项都收敛到一个固定的值，则数列的极限值也是这个固定的值。
例如，令$a_{n} = 5$，即每一项都收敛到值5，则数列的极限值也是5，即$lim_{n to infty} a_{n} = 5$。
三、求解方法要求数列极限定义，可以使用三种方法：1.接法：这种方法比较简单，只要直接判断数列中最后一项的值，就可以确定数列的极限值。
2.推法：这种方法更为精确，即求解数列的每一项的值，然后通过这些值推出数列的极限值。
3.殊数列法：这种方法特别适用于某些特定的数列，比如几何数列、调和数列等，通过将数列中的一些特定项代入求解，可以更加准确地求解极限。
四、应用数列极限定义可以应用于众多领域，例如:1.以用来判断一个数列是否收敛或者是否存在极限值。
2.以用来求解微积分中的不定积分和定积分。
3.以用来求解概率论中的极限定理。
4.以用来判断某一类函数是否连续，以及连续函数的极限值。
五、更深入理解数学家们经常借助数列极限定义来分析函数的性质，这是因为函数的变化可以看作是某一数列的连续变化。
2数列的极限
问 : 数 { xn } {(1)n1 }有 , 它 敛 ? 题 列 界 收 吗
定理3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0 ) ,
( 0 ) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0 )
( 0 ) . (用反证法证明)
从数列 : x1, x2 , x3 , , xn ,
此时 取 M max x1 , x2 , , x N , 1 a xn xn a a xn a a 1 a .
,
那么 xn M 对一切 xn成立 . x1 , x 2 , , x N , x N 1 , x N 2 ,
例:自 数 { xn } {n} 无 , 所 它 收 然 列 界 以 不 敛 . (由 否 理 ) 逆 定
x n无限接近 a 的数学描述 :
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比 还小 : xn a .
注意 :
1. 由 的任意性可知, xn a 要多小, 就能变得有多小.
例如, 取 10 4 , 则 xn a 可以变得 10 4 , 再取 10 7 , xn a 也可以变得 10 7 ,
故
n
lim q n 1 0
二、收敛数列的性质
定理1. 数列xn 的极限如果存在, 必唯一. 说明 : 通项 xn 不能同时向两个不同的数无限接近 .
*证明 : 反证法. 设 xn 有两个极限 a 和 b, 且 a b. 取 ba, 2 由于 lim xn a, 必存在 N1, 当 n N1 时, a xn a .
n
n
数列极限的通俗理解
数列极限的通俗理解1. 导言数列是指从一个自然数开始，按照某一个法则依次列出的一串数字。
而数列极限是指随着数列中的数字不断增多，最终趋于一个确定的数值。
本文将从通俗易懂的角度讲解数列极限的概念以及其背后的原理。
2. 数列极限的定义一个数列的极限定义为当数列中的数值趋近于某个确定的值时，这个确定的值即为该数列的极限。
比如，数列：1，2，3，4，5……它的极限为无穷大（∞），因为这个数列中的数值不断增大，但没有达到一个确定的值。
3. 实例分析现在我们来看一个例子：1/2，2/3，3/4，4/5，5/6……这个数列中的数值逐渐逼近1，那么我们可以说这个数列的极限为1。
为什么数列的极限是1呢？我们可以用小学数学知识来解释，因为这个数列中的每一个数值都是比前一个稍微大一点，而且永远比1小，所以我们可以确定这个数列的极限是1。
4. 数列极限的重要性数列的极限在数学中是一个非常重要的概念，因为它很好地解释了一些复杂的数学现象。
比如在微积分中，导数和积分这两个概念都和极限息息相关。
同样，极限还能用来解决一些物理问题，如速度和加速度问题等。
5. 数列极限的思考数列极限和普通的数学概念不同，它需要我们更加深入地去思考。
在计算数列的极限时，我们需要明确数列中的每一个数值是否满足某种规律，并从中寻找这个数列的极限。
这在一定程度上对我们的逻辑思维能力提出了挑战。
6. 结语总之，数列极限是数学中一个重要而有趣的概念，它在现代数学和物理学中都占有着重要的地位。
在计算数列极限时，需要我们不断去思考、尝试，这也正是数学研究的魅力所在。
数列极限的定义
1 得到 n 1， 取 N 1 ．
1
1 于是， 0， 存在自然数 N 1 ，当 n N 时，
成立 ( 1) n 0 ． 2 ( n 1)
所以
n ( n 1) 2
lim
( 1) n
0．
如果（ 3 ）成立，那么对于 0, 正整数 1 , 使得2n N 1时 N
必 有 a2 n L ;同 样 对 于 这 个 0, 正 整 数 2 , 使 得2n 1 N 2 N 时 有a 2 n1 L .我 们 取 max{N 1 , N 2 },当k N时 有 N
(i i i) 0, N N , 使 得 当 N时 必 有an L . n
例 1 已知 an
证明 0，
( 1) n ( n 1)
2
，证明数列{a } 的极限为0． n
要使 1 1 | an 0 | 2 n1 ( n 1)
即当n N时,
an an L L an L L 1 L .
取
M max a1 , a2 ,, aN ,1 L ,
数列 an 是有界的 .
对于任意的正整数 有 an M . n,
不是有界的数列称为无界数列．
例如
n {( 1) n } 是有界数列； 对n，都有 ( 1) 1.
{n sin
n } 是无界数列． 自然数 M 0， n0 4 M 1， 2 n0 成立 n0 sin 4M 1 M 2
注意有界数列的界有无穷多. 个
单调数列
(1) 若 0 | q | 1， 则必存在a 0， 使 | q | 0， 要使
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例如：{2n }为单调递减数列
数列的几何表示
a a a
()
a1 a2 0 a4 an an1 a3
x
定义 给定数列{an }，如果存在数 a，对 0，存在自然数 N 0，
当 n N 时，成立 | an a | ，则称常数a 是数列{an }的极限，
或称 {an } 收敛于 a．记为
且以 a 为极限．
即
lim
n
an
A
{ank
}为{an
}的任一子列，lim
k
ank
A
注 利用此定理常说明一些 数列的发散性．
若某数列的两个子列收敛到不同的数， 则此数列必发散。
例如 {(1)n }
定理
lim
n
a
n
A
lim
n
a2n
lim
n
a2n1
A
定理 收敛数列必有界.
1 (1 a)n
1 1 na
1 na
解得
n 1 ，取
a
N
1
a
．
于是，
0，
N
1
a
， 当
n
N
时，
|
qn
0|
所以 lim qn 0． 由上知数列 {qn } 收敛． n
(2) 若 | q | 1， M 0， 若使 | qn | M， 得 n ln M ， ln | q |
取
N
llnn|Mq |．
(下标 n1，n2，，nk，依从小到大的顺序排列)
称之为原数列的一个子数列，记为 {ank }．
定理 收敛数列{an }的任一子数列{ank } 均收敛，
且收敛于同一个 极限值，就是原数列的极限值．
反之， 若数列{an }的任一子数列{ank } 均收敛，
且它们有相同的极限值 a，则{an } 必收敛，
于是， M 0， N llnn|Mq |，
当 n N 时， 成立 | qn | M．
即 lim qn ． 说明数列 {qn } 发散．
n
说明 q 1 时， 数列为 1, 1, 1,,1, 显然收敛于 1．
q 1时， 数列为 1, 1, 1, 1,,1, 1, 发散
定义在给定数列a{na1，n }a中n2，，任选，无a限 nk，多个项排成一列数
为发散数列； 并且 | q | 1时， lim qn 0； 而在 | q | 1 时有
n
lim qn ．
n
证明 若 q 0， 则恒有 qn 0， lim qn 0．
n
(1) 若 0 | q | 1， 则必存在 a 0， 使 | q | 1 ． 1 a
0， 要使
| qn
0|
| q |n
2.2 极 限
微积分的基本概念 和工具
2.2.1 数列极限的定义
定义：按照一定顺序排成的一列实数 a1 , a2 , a3 , an ,
例如
称为数列，记为{an }, 其中an称为第n项或通项，
an的表达式称为通项公式．
(1) 2, 4, 8, ,2n ,表示为{2n }；通项 an 2n；
lim an a， 或
n
an a (n )．
如果数列 {an } 没有极限， 称数列{an } 发散．
注. (i) 具有任意性； (ii ) 自然数 N 依赖于 ；
(iii)
对
于lim n
an
可 定 义 如 下 ：
M 0, N 0,当n N时 ， 有
| an | M .
数列收敛的几何意义
(2)
1,
1, 2
1 , , 1 , 3n
表示为 {1}；通项
n
an
1； n
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
0,
通项
an
k
n
2k
1 ,
k
1,2,
n 2k
有界数列 例如：{(1)n }为有界数列
无界数列 例如：{n sin n }为 无 界 数 列
2
单调递增数列 例如： {2n }为单调递增数列
例1
已知
an
(1)n (n 1)2
，
证明数列{an }的极限为0．
证明 0， 要使
| an
0|
1 (n 1)2
1 n1
得到
n 1 1，取
N
1
1．
于是，
0，存在自然数N
1
1，
当 n N 时，
成立
(1)n (n 1)2
0
．
所以
lim
n
(1)n (n 1)2
0．
例 2 对于数列{qn }，试证当| q | 1时为收敛数列， 而在 | q | 1 时