_数列极限的定义解析

lim
n
xn
=
a
或
xn a
(n ).
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或 说 数 列 {xn}是 发 散 的 , •极限定义的简记形式
习
惯上也
说
lim
n
xn
不
存在.
——“ – N ” 定义
lim
n
x
n
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
lim
n
x
n
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
|qn-1-0|=|q|n-1< ,
所 以 lim q n-1 = 0 . n
五、小结
用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0寻, 找N,但不必要求最小的N. 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;
作业 P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6
当
n
无限增大时,
xn
=
1
(-1)n-1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有 多接近.
xn
-1
=
(-1)n-1
1 n
=
1 n
给定 10-2 , 想要|xn-1|<10-,
由1 1 , n 100
只要 n 100, 就有 xn - 1 10-2;
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事 先给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
❖数列极限的定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
n
n
证明 ：
|xn-1|=
|
n (-1)n-1 n
-1|=
1 n
.
对对于于>>00,,要要使使||xxnn--11||,,
只只要要
11 nn
,,
即即
nn
11
..
证证明明 因因为为00,, NN==[[11]]NN,, 当当 nnNN时时,, 有有
|xn-1|=
|
n (-1)n-1 n
-1|=
1 n
,
所 以 lim n (-1)n-1 = 1 .
n
n
lim
n
x
n
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
例例2.：证 明 lim (-1)n = 0 . n (n 1)2
证明：
|xn
-
0
|
=|
(- 1) n (n 1)2
-0|
=1 (n 1)2
1 n 1
.
对对于于 00,,
要要使使||xxnn--00||,,
lim
n
x
n
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
例3： 设|q|<1, 证明等比数列
1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.
证明：对于 0, 要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1< , 只要n>log|q| 1就可以了. 因为 0, N=[ log|q| 1]N, 当nN时, 有
只只要要
11 nn11
,,
即即
nn
11
--11..
因 为因因为为 0,00,N,=N[N1==-[[111] --1N1]], NN当,, n当当Nnn时NN, 时时有,, 有有
|xn-0|=
| (-1)n (n 1)2
- 0 |=
1 (n 1)2
1
n 1
,
所 以 lim (-1)n = 0 . n (n 1)2
数列极限的定义
Sx05
一、概念的引入
怎样求圆的面积S？
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
A1表示圆内接正6边形面积,
A2表示圆内接正12边形面积,
R
A3表示圆内接正24边形面积,
n
只要 n 1/ , 就有 xn - 1 .
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. 怎样用数学语言描述？
分析
当n→∞, xn→a . 当n→∞, |xn-a|→0 . 当n→∞, |xn-a|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|<ε, （ε为事先给定的任 意小的正数）.
数列举例:
1 2
,
2 3
,
3 4
ห้องสมุดไป่ตู้
,
,
n n 1
;
2, 4, 8, , 2n , ;
{
1 2n
}
1, 2
1, 4
1, , 8
1 2n
,
;
1, -1, 1, , (-1)n1, .
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
,
An表示圆内接正62n-1边形面积, . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
二、数列的定义
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定
的实数 xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
给定 10-4 , 想要|xn-1|<10-4,
由 1 10-4 , n
只要 n 104, 就有 xn - 1 10-4;
给定 10-k , 想要|xn-1|<10-k,
由 1 10-k , n
只要 n 10k , 就有 xn - 1 10-k ;
一般地, 给定 0, 想要|xn-1|< , 由 1 ,
x1
xn x4 x3 x5 x2
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n), nN .
三、数列的极限 观察数列{1 (-1)n-1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的
数值?如果是,如何确定?
通过上面图形的观察:
.
❖数列极限的几何意义
•任意给定a的邻域(a-, a),
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-, a)外 •当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-, a)内
(
)
a- a a
lim
n
x
n
=
a
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|
.
例例1：1. 证 明 lim n (-1)n-1 =1 .