2013作业1

1、有100个零件，其中90个合格品，10个次品，从中任取2个安装在机器上，

若两个零件中含有i 个次品，则设备的使用寿命服从期望为11

i +的指数分布，求 （1） 设备寿命超过1的概率；

（2） 若设备寿命超过1，则求安装在设备上的2个零件都是合格品的概率。

2、设连续型随机变量X 的概率密度为, 01()(2), 120, ax x f x a x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩

其他

试求：（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）13()22

P X ≤≤； （4）若()()P X b P X b >=<，确定常数b 。

3、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，证明随机变量,X Y 独立的充分必要条件是存在两个一元函数12(),()x y ϕϕ，使得12(,)()()F x y x y ϕϕ=⋅。

4、设随机变量X 的概率密度为()1,10

21,02,

4

0,x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它

2Y X =令为随机变量X 的函数,

求Y 的概率密度()Y f y 。

5、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

),(y x f 20c x y x ⎧≤≤=⎨⎩其它

试求：(1) 常数c ，(2) 边缘概率密度)(x f X 与)(y f Y ，（3）X,Y 是否相互独立,(4)求X Y +的分布密度.

6、已知二维随机变量（,X Y ）服从矩形{(,):02,01}G x y x y =<<<<上的均匀

分布，记0,0,2 1,1,2X Y X Y U V X Y

X Y ≤≤⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩若若若若求 （1）U ，V 的联合分布列（注意：写明过程，并给出联合分布表）；

（2）U ，V 的相关系数UV ρ 7、检察员逐个检查某产品，每次花10秒钟检查一个，但也有的产品需要再花费10秒钟复检，假设每个产品需要复检的概率为0.5，求在8小时内检查员检验的产品个数多余1900个的概率是多少？