复旦大学量子力学考题4

（4.16）
ˆ =1， 因为 B
2
B12 = 1 ⇒ B12 = eiα = B12*
所以，在 A 表象下，
2
（4.17）
⎛ 0 B = ⎜ − iα ⎝e
eiα ⎞ ⎟ 0⎠
（4.18）
（2）设在 A 表象中，B 的本征函数与本征值为
⎛b ⎞ ⎛b ⎞ B⎜ 1 ⎟ = λ ⎜ 1 ⎟ ⎝ b2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ −λ B21
dF ∂F 1 = + [F , H ] ∂t i= dt
因此，
（4.35）
m
dF 1 ∂F n = m [F , H ] n + m n dt i= ∂t 1 ∂F n = ( En − Em ) m F n + m i= ∂t
（4.36）
2） 错误在于 p ' x p '' ≠ xδ ( p '− p '') 。 p ' 并非是 x 的本征态，
p ' x p '' = p ' i=
∂ p '' ∂px
（4.37）
4.5 试建立算符
K K dr dp ， 。 dt dt dF ∂F 1 = + [ F , H ] 和一些常用对易关系即可。 dt ∂t i=
解题思路：利用公式
解：
K p2 dF ∂F 1 ∂r K 利用 + V (r ) 。其中， = 0 ， [V (r ), r ] = 0 ，有 = + [F , H ] ， H = ∂t 2m dt ∂t i= K dr 1 K 2 （4.38） = [r , p ] dt 2i=m
（4.26）
（4.27）
S=
B 算符到 B 表象的变换：
（4.28）
⎛1 0 ⎞ B ' = S † BS = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠
（4.29）
4.3 求自由粒子的坐标算符在海森伯图景中的表示 解题思路：在薛定谔图景中，坐标算符不含时间，而在海森伯图景中算符一般都含时间，其 间的转换是由演化算符联系的。 解： 薛定谔图景与海森伯图景的联系是：
（4.22）
ϕ1( B ) = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1⎠ ⎝ b2 ⎠
同理，当 λ = −1 时
⎛b ⎞
1 ⎛ 1⎞
（4.23）
ϕ 2( B ) = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ −1⎠ ⎝ b2 ⎠
（3） 变换矩阵定义，
⎛b ⎞
1 ⎛1⎞
（4.24）
ϕ n ( B ) = ∑ Snmϕ m ( A)
（3） 由 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵。
ˆ 的本征函数的定义，很容易求出在 A 表象中 A 的本征函数及矩阵，利用 解题思路：由 A
A, B 之间的反对易关系和幺正性，即可给出 B 的矩阵，本征函数和本征值，最后利用变换 矩阵的定义，求出 A 到 B 的幺正变换矩阵。 解： （1）在 A 的自身表象中
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
= ( p '− p '') xδ ( p '− p '')
， 其中 p '' 是 px 的
2）
p ' [ px , x] p '' = p ' px x p '' − p ' xpx p '' = ( p '− p '') p ' x p ''
本征态。 解题思路： 在运算时要注意算符的厄米性和算符所作用的函数是否为该算符的本征函数， 不 可随意妄猜。 解： 此二式皆不成立。 1） 问题在于对时间 t 的微分不是厄米的，不可向左作用。
m
（4.25）
ϕ1( B ) = ϕ 2( B ) =
故
1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 0 ⎞ 1 1 , S 21 = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⇒ S11 = 2 ⎝ 1⎠ 2 ⎝ 0⎠ 2 ⎝ 1⎠ 2 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 0⎞ 1 1 , S22 = − ⎜ ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⇒ S12 = 2 ⎝ −1⎠ 2 ⎝ 0⎠ 2 ⎝1⎠ 2 2 1 ⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝1 −1⎠
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
（4.7）化成，
（4.9）
p2 ϕ ( p ) + ∫ V pp 'ϕ ( p ')dp ' = Eϕ ( p) 2m
此即为动量表象中的能量本征方程。
（4.10）
ˆ ，B ˆ =B ˆ = 1 ，且 AB + BA = 0 ，求 ˆ 满足 A 4.2 设 Hermite 算符 A
2 2
ˆ ，B ˆ 的矩阵表示。 （1） 在 A 表象中，算符 A ˆ 的本征值和本征函数。 （2） 在 A 表象中，算符 B
（4.33）
其中利用了等式
e L ae− L = a + [ L, a ] +
1 1 [ L,[ L, a]] + [ L,[ L,[ L, a]]] + ... 2! 3!
Hale Waihona Puke Baidu（4.34）
4.4 以下等式是否成立： 1） m
E dF d n = m F n = m m F n ，其中 n 是能量本征态。 dt dt i=
ˆ n =λ δ Amn = m A m mn
（4.11）
ˆ =1， 由A
2
ˆ2) = A A = λ δ λ δ = λ λ δ = δ (A ∑ mk kn ∑ m mk k kn m n mn mn mn
k k
λm 2 = 1 ⇒ λ = ±1
若无简并，A 的矩阵为
（4.12）
⎛1 0 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠
复旦大学量子力学 典型考题分析 4 4.1 质量为 m 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。 解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一 系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数。 解： 采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程，
p p ' = δ ( p − p ')
（4.4） （4.5）
∫
p ' p ' dp ' = 1
利用式（4.5） ，可将 ψ 表示成
ψ = ∫ p ' p ' ψ dp ' = ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
代入（4.1） ，即
（4.6）
(T + V ) ∫ p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m
（4.7）
p T p' =
定义 V pp ' = p V p ' ，并利用公式
（4.8）
∫ δ ( p − p ')ϕ ( p ')dp ' = ϕ ( p)
由 AB + BA = 0 ，
（4.13）
( AB + BA) mn = λm Bmn + λn Bmn = (λm + λn ) Bmn = 0 ⇒ Bmn = 0 (m ≠ n) （4.14）
故，B 由以下形式，
⎛ 0 B=⎜ ⎝ B21
B12 ⎞ ⎟ 0 ⎠
（4.15）
Bmn = Bmn* ⇒ B21 = B12*
ˆ † (t )ψ S (t ) ψ H (t ) = U F H = U † (t ) F SU (t )
其中，
i ˆ − Ht h i p2 t h 2m
（4.30） （4.31）
U (t ) = e
所以，
i p2 t h 2m
=e
−
（4.32）
x =e
H
xe
−
i p2 t h 2m
= x+
p t m
H ψ = (T + V ) ψ = E ψ
其中 T = p / 2m 为动量算符。以 p ， p ' 表示动量算符的本征函数，即
2
（4.1）
ˆ p =p p p
态函数 ψ 在 p 表象中的表示式记为
ˆ p' = p' p' p
（4.2）
p ψ = ϕ ( p)
动量本征函数的正交“归一”和完备性
（4.3）