22微观粒子的波动性和状态描述习题解答

第二十二章 微观粒子的波动性和状态描述

一 选择题

1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( A )

A. 动量相同

B. 能量相同

C. 速度相同

D. 动能相同

2．关于不确定关系∆x ∆p x ≥2

有以下几种理解，其中正确的是：( C ) （1） 粒子的动量不可能确定

（2） 粒子的坐标不可能确定

（3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定

（4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子

A. （1），（2）

B. （2），（4）

C. （3），（4）

D. （4），（1）

3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D )

A. 增大2 倍

B. 增大2 倍

C. 增大4倍

D. 不变

二 填空题

1．运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm 。质量为M =1g ，以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63⨯10-20nm 。（氢原子质量m H =1.67×10-27 kg ）

2．当电子受到1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×10-13 m 。 （提示：须考虑相对论效应）

3．如果电子被限制在边界x 与x +∆x 之间，∆x =0.05nm,，则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1.3×10-23 _kg·m/s 。

4. 如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是

5.99×10-16 s 。

5．设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t )，则ψψ*表示粒子在t 时刻在（x , y , z ）处出现的概率密度；ψ (r , t )须满足的条件是单值、有限、连续 ；其归一化条件是

⎰⎰⎰ 1=d d d 2z y x Ψ。

三 计算题

1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm 的电子的动能是多少e V ？ 解：非相对论动能2k 2

1v m E =，而p = m v ，所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式，则

622

k 1098.42 -==×λ

m h E eV 2．假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，其德布罗意波长为多少？

解：若电子的动量是它的静止能量的两倍，则：

m c 2 - m e c 2 = 2 m e c 2

故： m = 3 m e

由相对论公式 22e

1c m m v -= 有 22e

e 13 c m m v -= 解得 38 c =v 德布罗意波长为 ()13e 1058.8 8-===×c m h m h v λm

3. 同时确定能量为1KeV 的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm 以内，则动量不确定值的相对比值∆p / p 至少为多少 ？

解：1KeV 的电子的动量（按非相对论计算）为 ()12321k s m kg 1071.12--⋅⋅==×mE p

根据不确定关系式 ≈∆⋅∆p x ，得到

124s m kg 1006.1--⋅⋅=∆≈∆×x p

故062.0/≈∆p p 。

（若按2/ ≥p x ∆⋅∆估计，031.0/=∆p p ）

4．如果原子某激发态的平均寿命为10-8s ，该激发态的能级宽度约是多少？ 解：根据关系式 ≈∆⋅∆t E ，激发态的能级宽度

268

341005.1101005.1---⨯=⨯=∆≈=∆t E J 5. 如果一个质量为m 的粒子被限制在x =0到x =L 的直线段上作自由运动，试计算系统处于最低能态时的能量。

（提示：粒子的德布罗意波满足驻波条件）

解：依题意，粒子德布罗意波的定态波函数不为零的区域为0≤x ≤ L ，x =0和x =L 处相当于固定反射端，因此德布罗意波必满足驻波条件。粒子在0≤x ≤ L 区域形成稳定的驻波，其波长满足

,3,2,1 2

==n n L λ

粒子的动量 L

nh h p 2==

λ

自由粒子的能量就是它的动能，因此

2

2

2282mL h n m p E n == 当n =1时，系统处于最低能态，其能量为2

2

18mL h E =。 6. 一个粒子沿x 方向运动，其波函数为

)( 11)(∞<<-∞-=x ix

c x ψ 试求：（1）归一化常数c ；（2）发现粒子概率密度最大的位置；（3）在x =0到x =1之间粒子出现的概率。

解：（1）由波函数的归一化条件

1d )(2=⎰

V x ψ

运动为一维粒子时，有 1π2π2d 12222===+⎰

∞

∞-c c x x c π1=c （2）概率密度 π)1(111π1)(22

2x ix x w +=-==ψ 而

2

)1(2π1d d x x x w +-= 令上式为零，得到x =0。因此发现粒子概率密度最大的位置是在x =0处。

（3）在x =0到x =1之间粒子出现的概率为

%2541)0arctan 1(arctan π1d )1(π1d 1

0210==-=+==⎰⎰x x x w P