高等代数与常微分方程-2003
常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
│山东科技大学参考书目│
│⼭东科技⼤学参考书⽬│┌────────────────────────────────────────┐│⼭东科技⼤学参考书⽬│├────────────────────────────────────────┤│030108环境与资源保护法学: 314经济法学：《经济法》潘静成等，中国⼈民⼤学出版││社，1999；444法学综合（含法理和民法）：①《法理学》张⽂显，⾼等教育、北京⼤学出││版社，1999②《民法》魏振赢等，⾼等教育、北京⼤学出版社，2000。
环境法学：│学》&zuozhe=&xuanzhe=2 target=_blank>《环境法││学》⾦瑞林，北京⼤学出版社，1999；民事诉讼法：《民事诉讼法》江伟，⾼等教育、北京││⼤学出版社，2000；⾏政法学：《⾏政法与⾏政诉讼法》姜明安，⾼等教育出版社，2000。
││050211外国语⾔学及应⽤语⾔学: 315基础英语（含阅读与写作）：①│》&zuozhe=&xuanzhe=2 target=_blank>《英语写作⼿册││》丁往道，外语教学与研究出版社，1994②《⾼级英语（1-2）》张汉熙，外语教学与研究││出版社，1995③《实⽤翻译教程》冯庆华，上海外语教育出版社，2002④《⽂体与翻译》刘││宓庆，中国对外翻译出版公司，2001⑤《英汉对⽐研究》连淑能,⾼等教育出版社，2001；4││45英语综合：①《英国⽂学史及选读（上下册）》吴伟仁，外语教学与研究出版社，2003②││《美国⽂学史及选读（上下册）》吴伟仁，外语教学与研究出版社，2003③《语⾔学教程》││（修）胡壮麟，北京⼤学出版社，2002。
││070101基础数学: 310数学分析：《数学分析》（三版）华东师⼤编，⾼等教育出版社││，2001；401⾼等代数：《⾼等代数》（⼆版）北⼤数学系编，⾼等教育出版社，1988。
常微分方程
常微分方程通常是数学分析和高等代数的后续课。
与只是课程的数分和高代不同，常微分方程也是数学研究的1个分支，而不仅是门课程。
因此，从本科生到博士生都可以学习常微分方程，课程内容则截然不同。
这里要说得自然是为低年级本科生开设的常微分方程。
常微分方程也是数学系本科生所学的第1门本质上属于应用数学的课程，该课程在1定程度上也确实体现了应用数学的特点。
当然，数学都是可以应用的，但应用数学则是没有应用就无必要存在的那部分数学。
常微分方程本身并没有特别深刻的概念，也很少独特的方法，主要是应用数分和高代的内容解决实际问题，在课本中主要是力学和电路问题。
常微中的概念都很好理解，解、特解、通解等。
基本理论最关键是存在唯一性的证明，这大概是该课程中最值得学的内容。
本质上是构造近似序列再证明1致收敛。
作为这种思想的复习，这个思路还应用于证明解对参数和初值的连续依赖性。
至于解的延拓，其实训练的是另种数学能力，把直观显然的内容用数学语言表达出来。
常微的本科生课程比较强调初等积分法。
这本质是微积分的应用。
也有些专门的技巧，如构造积分因子或者是引入坐标变换。
我个人1直认为，线性方程组是常微中最重要的内容。
因为是整个线性系统理论的基础，而且高级课程中也不会增加太多线性常微分方程的内容。
核心内容是解的结构和常系数方程的求解。
许多线性代数的内容，如本征值、标准型等，这时才能知其所以然。
予生也早，当年学常微分方程时后面书单提到丁同仁和李承治以及王高雄等的教材还没有出来。
能用的新编教材只有南京大学叶彦谦的《常微分方程讲义》和中山大学的《常微分方程》。
我当时用的是叶彦谦的书，毕竟他是极限环方面的名家。
我体会该书的主要特点是与物理问题的结合得还可以，讲解也比较细致。
理论不深，解释说明较为详细，例题也不少。
做教材很不错。
主要参考书用的是吉林大学王柔怀和吴卓群的《常微分方程讲义》。
该书的内容比叶彦谦的深，特别是理论部分，例如稳定性两个方法的定理都有证明，而叶彦谦的基本没讲第2方法。
常微分方程课程简介
电容: Q C
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：
在闭合回路中，所有支路上的电压的代 数和等于零。
例1 R-L-C 电路 电路1图(1.1)
回路中设R、L及电源
电压E为常数。
当开关S合上后，存在关系式:
E L d I RI 0 dt
即 dI RI E dt L L
数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
Lorenz方程:
dx dt
a(
y
x),
d y
d
t
xz
cx
y,
dz d t
xy
bz.
其中参数a=10,b=8/3,c=28.
传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态 种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率 的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和 分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因 此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且 越来越多的应用于社会科学的各个领域。
常微分方程课件_第01讲(66)
d 2 d g 1 F (t ). 2 dt m dt l ml
(1.11)
20
When we want to determine some particular motion, we should give its initial states(see C/P4): For example, when t=0,
参考书： 中文/丁同仁、李承治（北京大学）编，常微分 方程教程，第二版，高等教育出版社，2004.7
英文/M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag为：平时（以到课情况、完成作业情况） 与期末考试． 2. 考核形式：期末考试采用闭卷考试形式，试题来自试题 库． 3. 期末考试题形及分值比例为： 填空题(4个)……………………………约占20%， 选择题(4个)……………………………约占20%， 计算题(5个)……………………………约占44%， 证明与应用题(2个)……………………约占16%．
d 2 g 0. 2 dt l
(1.9)
18
(2) Free damped motion(有阻尼的自由运动E/P136): with damping but no external force(有阻尼但无外力) μ---the damping coefficient(阻尼系数) Math. Model(see C/P4):
Solution Function of the curve: y=f(x) Math. Model: Method:
dy 2 x, dx y ( 2) 5.
12
Integral (积分)
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
常微分方程课程概况及基本概念
开课对象:信息与计算科学08级 开课对象:信息与计算科学08级 08 开课时间:2009-2010学年第 学年第1 开课时间:2009-2010学年第1学期
课程简介
一,混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子 混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子 ——
洛伦兹方程组: 洛伦兹方程组:
洛伦兹(E.N.Lorenz, 1917.5.23---2008.4.17), 美国气象 洛伦兹 学家,是混沌理论的奠基者之一. 年在Journal of the 学家,是混沌理论的奠基者之一.1963年在 年在 Atmospheric Sciences杂志上发表题目为 杂志上发表题目为Deterministic 杂志上发表题目为 Nonperiodic Flow. . 如今,这一方程组已成为混沌理论的经典,也是" 如今,这一方程组已成为混沌理论的经典,也是"巴西 蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风"一说的肇始. 蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风"一说的肇始. 在洛仑兹原始的工作中, 表示的是对流的翻动速率 表示的是对流的翻动速率,y 在洛仑兹原始的工作中,x表示的是对流的翻动速率 正比于上流与下流液体温差, 是垂直方向的梯 正比于上流与下流液体温差,z是垂直方向的梯 度.
高等教育出版社. 高等教育出版社
* <常微分方程教程 丁同仁 李承治编 高等教育出版社 常微分方程教程> 常微分方程教程 丁同仁, 李承治编, 高等教育出版社. * <常微分方程基础 (英文版 (美)C.Henry Edwards 常微分方程基础> 英文版) 美 常微分方程基础 英文版
David E.Penney 编, 机械工业出版社 机械工业出版社.
2.常微分方程解的形式 . 个独立任意常数的解的表达式, (1)通解:n 阶常微分方程的含有 n 个独立任意常数的解的表达式 )通解: 通解表达了方程的全部解或几乎是全部解 显式通解: 显式通解: x = ( t , c1 , , c n ) 隐式通解: 隐式通解: Φ( t , x , c1 , , c n ) = 0 (2)特解(初值问题解:把初始条件代入通解所得) )特解(初值问题解:把初始条件代入通解所得) 显式特解: 隐式特解: 显式特解: x = (t ) ; 隐式特解: Φ ( t , x ) = 0 思考: 在一定条件下初值问题解是否存在唯一的? 思考: 在一定条件下初值问题解是否存在唯一的?
大一数学学几章知识点汇总
大一数学学几章知识点汇总大一数学课程是大学数学教育的基础，涉及到了许多重要的数学概念和知识点。
下面是大一数学课程中的几个重要章节和知识点的汇总。
1. 高等代数高等代数是大一数学课程的重要组成部分，它主要包括了以下几个知识点：- 向量与矩阵：向量的加法和数乘运算、矩阵的加法和数乘运算、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。
- 行列式与矩阵的初等变换：行列式的定义、性质和计算方法，矩阵的初等变换及其应用。
- 线性方程组：线性方程组的解的存在唯一性、解的性质及其求解方法。
2. 微积分微积分是大一数学课程中的另一个重要章节，它主要包括了以下几个知识点：- 函数与极限：函数的定义、性质与图像、极限的定义、性质与计算方法。
- 导数与微分：导数的定义、性质与计算方法、微分的定义、性质与计算方法。
- 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
- 不定积分与定积分：不定积分的定义、性质与计算方法、定积分的定义、性质与计算方法、牛顿-莱布尼茨公式等。
3. 多元函数与偏导数这个章节涉及的知识点包括：- 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、性质与图像。
- 偏导数：偏导数的定义、性质与计算方法、高阶偏导数。
- 方向导数与梯度：方向导数的定义、性质与计算方法、梯度的定义、性质与计算方法。
4. 无穷级数与幂级数这个章节主要包括以下内容：- 数列与数列极限：数列的概念、收敛数列的性质与判定条件。
- 无穷级数：无穷级数的定义、性质与收敛判定。
- 幂级数：幂级数的定义、性质与收敛半径的计算。
5. 常微分方程常微分方程是大一数学中的重要内容，它包括以下几个知识点：- 常微分方程的基本概念：常微分方程的定义、解的概念与解的存在唯一性。
- 一阶常微分方程：一阶常微分方程的解法与应用，包括可分离变量、一阶齐次、一阶线性等类型的常微分方程。
- 二阶常微分方程：二阶常微分方程的解法与应用，包括常系数线性齐次、常系数线性非齐次等类型的常微分方程。
常微分方程1.1ppt
x x0
n 1 dy d y (1) ( n 1) y y , y , , y 时， 0 0 0 n 1 dx dx
(1.15)
定解问题:求微分方程满足定解条件（初值条件）的解 相应的定解问题就称为初值问题。 这是本课程讨论的重点。
初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初值条件时，
1)17世纪至18世纪, 微分方程发展初期, 求通解时代. 2)19世纪初中叶,转向求特解时代,存在唯一性,微分方 程的解析理论,近似解法
3)19世纪末到20世纪50年代,又一次地转向所有解的大 范围的分析,定性和稳定性理论,动力系统(Birkhoff, Arnold,Smale) 4)20世纪六十年代以后到现在,又从求所有解转向求特 解,新性质的新方程和解,混沌、孤立子和分形等。
代表xy平面上的一条曲线，就称之为微分方程的积分 曲线。
而微分方程的通解 y
( x, c) 代表xy平面上的一
族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。
dy 其上每一点 ( x, y )处的切线斜率 刚好等于函数 dx
满足初始条件 y0 ( x0 ) 的特解就是通过点 ( x0 , y0 ) 的一条积分曲线。 y ( x) 为方程（1.17）的积分曲线的充要条件是
du k (u u a ) dt
(1.1)
其中k是比例常数，方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模
du 型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数 ，这样的方 dt
程，就称为(一阶)微分方程。 将(1.1)改写成
d (u u a ) kdt (u u a )
(1.2)
变量u和t被分离出来了, 对上式两边积分得
dy f ( x) dx
常微分方程第1次课
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t).根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
内容及研究方法
经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分 方程的解为主要目的
现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究 解的性质
研究方法：解析方法 、几何方法、数值方法
解决科学问题的过程
第一步
实际问题 数学模型
解析解
数值问题 数值计算方法
程序设计
数值解
注：建立实际问题的数学模型一般是比较困难的，既需要 熟悉与问题有关的自然规律，又需要有一定的数学知识。
g
一般情况单摆方程无解析解，需数值求解。
什么是微分方程？
建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时, 该模型就是微分方程.
联系着自变量,未知函数及其导数的等式.
微分方程理论及方法是研究自然规律和社会 规律的最为基本的数学理论和方法.
什么是微分方程？它是怎样产生的？
客观现实世界运 动过程中量与量 之间的关系
ma
mg sin
ml
d 2
dt 2
所以
ml
d 2
dt 2
mg sin
即
d 2
dt 2
g l
sin
0
当 很小时, sin , 令 2 g
l
则有
d 2
dt 2
2
0
解析解：
假设
C1 cost C2 sin t
周期： T 2 2 l
已知镭的衰变速律与其质量成正比，设
常微分方程与代数方程的联系
常微分方程与代数方程的联系
微分方程与代数方程是数学中的两种重要的方法，它们之间存在着密切的联系。
首先，我们来讨论微分方程与代数方程的关系。
微分方程是一种用来描述函数变化的方程，它表示函数的导数与函数本身的关系，其中可能包含一个或多个未知函数和未知参数。
微分方程的解决方案是满足一定条件的函数，解决微分方程的方法有很多，其中最常用的是通过求解可以将微分方程转换为代数方程的方法。
代数方程是一种表示未知数及其关系的方程，它可以用来描述未知数之间的关系，这些未知数可以是实数、复数、有理数或其他数学实体，它们之间的关系可以是一个等式，也可以是一个不等式或组合不等式。
解决代数方程的方法有很多，其中有一种方法是将代数方程转换为微分方程，然后求解微分方程。
因此，可以看出，微分方程与代数方程之间存在着密切的联系，它们之间可以相互转换。
当我们遇到一个微分方程时，我们可以将它转换为代数方程来解决，当我们遇到一个代数方程时，我们也可以将它转换为微分方程来解决。
总而言之，微分方程与代数方程之间存在着密切的联系，它们之间可以相互转换，使我们能够解决复杂的问题。
它们的
联系使数学变得更加精彩，也为我们在实际应用中提供了更多的帮助。
常微分方程教案(王高雄)第五章
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦