高等数学 常微分方程
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
高等数学中的常微分方程与系统动力学
高等数学中的常微分方程与系统动力学在高等数学的学习中，常微分方程与系统动力学是一个非常重要的分支。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要的作用。
本文将介绍常微分方程与系统动力学的基本概念和应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中变量的导数与变量本身的函数关系被称为常微分方程。
常微分方程的求解可以得到关于变量的具体函数形式，从而可以预测和分析系统的行为。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到变量的一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到变量的高阶导数。
常见的一阶常微分方程包括线性方程、非线性方程和常系数方程等。
二、常微分方程的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
以牛顿第二定律为例，可以将物体的运动状态描述为一个二阶常微分方程。
通过求解这个方程，我们可以得到物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。
在生物学中，常微分方程可以用来描述生物体内的生物化学反应、种群动态等。
通过建立适当的方程模型，可以研究生物体的生长、衰老和疾病传播等问题。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统中的供求关系、投资决策等。
通过求解这些方程，可以预测经济的发展趋势，为经济政策的制定提供依据。
三、系统动力学的基本概念系统动力学是一种研究动态系统行为的数学方法。
它通过建立动态系统的数学模型，研究系统的稳定性、周期性和混沌性等特性。
系统动力学的核心概念是状态变量和状态方程。
状态变量是描述系统状态的变量，状态方程是描述状态变量之间关系的方程。
通过求解状态方程，可以得到系统的演化规律。
四、系统动力学的应用系统动力学在管理学、环境科学和社会科学等领域中有着广泛的应用。
以管理学为例，系统动力学可以用来分析企业的运营过程、市场竞争和人力资源管理等。
通过建立适当的模型，可以预测企业的发展趋势，为决策提供支持。
在环境科学中，系统动力学可以用来研究环境系统的演化和变化。
高等数学 常微分方程
【分类2】 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
【分类3】线性与非线性微分方程. y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
dx yy 2xy 3,
dx x sint t 2 , dt y cos y 1,
线性的; 非线性的.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11
一阶线性微分方程的解法
1）. 解齐次方 程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P( x)dx ln C
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5
主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
y C e P( x)dx
2）. 解非齐次方程
dy P(x) y Q(x) dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
12
用常数变易法: 作变换 y( x) u( x) e P( x)d x , 则 u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
高等数学微分公式大全
高等数学微分公式大全微分作为高等数学中的基础概念之一，是描述函数变化率的重要工具。
微分公式是微分学的核心内容，掌握了微分公式，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将介绍高等数学中常见的微分公式，以帮助读者更好地掌握微分的基本知识。
1. 基本微分公式•常数函数的微分公式：若y=y（C为常数），则yy/yy=0。
•幂函数的微分公式：若y=y y（n为常数），则yy/yy=yy y−1。
•指数函数的微分公式：若y=y y（a>0且不等于1），则 $dy/dx = a^x\\ln{a}$。
•对数函数的微分公式：若 $y = \\log_a{x}$（a>0且不等于1），则 $dy/dx = \\frac{1}{x\\ln{a}}$。
2. 基本函数的微分公式•和差函数的微分公式：若 $y = u \\pm v$，则$dy/dx = du/dx \\pm dv/dx$。
•积函数的微分公式：若y=yy，则 $dy/dx = u \\cdot dv/dx + v \\cdot du/dx$。
•商函数的微分公式：若y=y/y，则 $dy/dx = (v \\cdot du/dx - u \\cdot dv/dx)/v^2$。
3. 高阶微分公式•高阶微分：对于函数 y=f(x)，它的n阶导数记作y y y/yy y。
•高阶微分公式：–若y=y y，则y y y/yy y=y(y−1)(y−2)...(y−(y−1))y=y!–若y=y y，则y y y/yy y=y y–若 $y = \\sin{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\sin{(x + n\\pi/2)}$–若 $y = \\cos{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\cos{(x + n\\pi/2)}$4. 典型微分方程的通解•一阶微分方程：一阶微分方程是只含有一阶导数的方程，通常可以表示为 $\\frac{dy}{dx} = f(x, y)$。
高等数学中的常微分方程及其应用
高等数学中的常微分方程及其应用随着科学技术的发展，数学的应用范围也越来越广泛。
其中，微积分作为现代数学的核心和基石，发挥着至关重要的作用。
微积分包括微分学和积分学两大部分，其中微分学是研究变化率和斜率等问题的数学分支。
而常微分方程就是微分学中最基础的理论之一，它既是数学基础理论的重要组成部分，也是实际问题求解的重要工具。
一、常微分方程常微分方程是研究变化的数学模型，是微分学的重要组成部分。
在数学中，对于一个未知函数y=f(x)，如果该函数的导数y’只是关于x的函数，则称该函数是一个一阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为dy/dx=f(x)，其中f(x)是已知的函数。
相应地，二阶、三阶、n阶常微分方程可以表示为：d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)d³y/dx³=f(x,y,dy/dx,d²y/dx²)dn/dx=f(x,y,dy/dx,...,y(n-1))其中，y、y’、y’’，..., y(n-1)都是未知函数。
常微分方程广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、经济学等。
例如，牛顿第二定律F=ma就是一个二阶变量加速度的常微分方程，其中a是速度的导数。
又如，放射性衰变的实验数据可以用一阶常微分方程来描述，物体受到的空气阻力也可以用一阶常微分方程来表示。
二、常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程dy/dx=f(x)，我们可以通过求解初值问题来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程的初值问题是指，给定常微分方程的初始状态y(x0)=y0，求出相应的解y(x)。
这个初始状态就相当于一个起点，解y(x)就是连接这个起点和各个点的曲线路径。
因此，常微分方程的初值问题可以形式表示为：dy/dx=f(x), y(x0)=y0为了解决常微分方程的初值问题，可以使用解析解、数值解等方法。
解析解是指通过使用数学公式求出未知函数y在每一个时间点的具体值的解法，这种方法只适用于具有简单形式的常微分方程。
高等数学慕课版常微分方程
高等数学慕课版常微分方程xx年xx月xx日•常微分方程的基本概念•常微分方程的解法•常微分方程的定性理论•常微分方程的数值解法目•常微分方程的应用实例•常微分方程与慕课教学的思考与展望录01常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个或多个变量变化的导数与自变量之间的关系的等式。
通常表示为 y' = f(x,y) 或 f(x,y') = 0 的形式。
常微分方程的定义常微分方程的分类方程中未知函数的项为一次或多次的线性组合。
线性常微分方程非线性常微分方程一阶常微分方程高阶常微分方程方程中未知函数的项为一次或多次的非线性组合。
只含有一个自变量的一阶导数。
含有两个或两个以上自变量的一阶或高阶导数。
常微分方程的应用如牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程等。
物理中的应用如价格变化、供需关系等。
经济学中的应用如人口增长、传染病模型等。
生物医学中的应用如数值计算、算法优化等。
计算机科学中的应用02常微分方程的解法分离变量的方法是求解常微分方程的一种重要方法，适用于具有某些特定形式的方程组。
详细描述分离变量的方法是将两个或多个变量的微分方程简化成只含有一个变量的常微分方程，从而更容易求解。
通常，这种方法的步骤是先将方程组化简为形式简单的方程组，然后将各个方程中相同的未知数分离出来，最后对每个方程分别求解。
总结词分离变量的方法VS线性微分方程的解法总结词线性微分方程是一类常见的微分方程，它的解法相对比较简单。
详细描述线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间存在线性关系。
这类方程的解法通常是通过求解特征方程或使用待定系数法来得到通解，然后再根据初始条件求出特解。
求解线性微分方程时需要注意初始条件的设定和求解方法的适用性。
非线性微分方程的解法相对复杂，需要针对不同类型的方程采用不同的方法。
总结词非线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间不存在线性关系。
这类方程的解法通常需要采用数值方法和解析方法相结合的方式，如幂级数法、摄动法、迭代法等。
高等数学_第7章___常微分方程
第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。
同济大学高等数学上册第七章常微分方程
同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第七章是关于常微分方程的内容。
常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济等领域。
掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。
本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。
例如，dy/dx = f(x)。
常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。
其中分离变量法是常用的解法之一。
分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来，从而达到求解的目的。
二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。
例如，d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。
高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。
常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。
三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。
例如，dy/dx + p(x) y = q(x)。
一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。
积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的形式。
四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。
例如，dy/dx = f(x)/g(y)。
可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然后进行适当的积分得到。
这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。
五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。
高等数学第八章 常微分方程
2020/3/2
示例
验证 y Cex2是一阶微分方程y2xy的通解.
y Cex2 yCex2 2x 把 y及 y ' 代入微分方程，得 yCx2e2x2xC x2 e2xy yCxe2是y2xy的通解
2020/3/2
示例
求微分方程 yytaxnsexc满足条件 y 0 x0
的特解.
2020/3/2
P (x ) tax ,Q n (x ) se xc
∴通解为 y e ta xn d sx x e te a x c d n d x C x
第八章 常微分方程
第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程
2020/3/2
微分方程
含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
凡未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程 未知函数多元函数的微分方程叫偏微分方程 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫微分方程的阶
2020/3/2
把方程分离变量为 lnydylnxdx
y
x
等式两端求积分，得 lnyydylnxxdx
ln y(d ly) n ln x(dlx )n1 2lny21 2lnx2C1
2020/3/2 化简得 ln y2 通 ln x2解 2 C 1 为 C
形 如 d y f ( x ) g ( y ) 的 微 分 方 程 称 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 d x
求解方法： （1）将方程分离变量得 dy f (x)dx g(y)
（2）等式两端求积分，得通解 gd(yy)f(x)dxC
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2）. y f ( x , y ) 型的微分方程 .
【方程特点】方程右端不显含未知函数 y
【解法】令 y p( x ) ,则 y p( x ) 代入方程
得 p( x) f ( x, p( x ))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p( x ) 的一阶微分方程,
若 可以 求出 其通解 p ( x , C1 ) , 则 y ( x , C1 ) 再 积分一次就能得原方程的通解.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【分类1】常微分方程, 偏微分方程.
【分类2】 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
3
y f ( x , y );
( n) 高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ) 0,
y ( n ) f ( x , y, y,, y ( n1) ).
定理1;定理2 定理3;定理4
7.伯努利方程
欧拉方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6
微分方程解题思路
作变换
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法
高阶方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、可降阶的高阶微分方程求解
1). y( n) f ( x)型的微分方程
【特点】 方程右端仅含有自变量 x. 【解法】 连续积分 n 次就可得到方程的通解
21
【例 1】求方程 y ( 3 ) cos x 的通解 .
【解】 因为 y ( 3 ) cos x ,所以 ,
f ( x)dx
8
2、齐次方程
属于一阶微分方程 y f ( x , y )
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 1）.【定义】 dx x y 2）. 【解法】 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f ( u), 代入原式 dx du f ( u) u 即 . dx x
［提示］(1) 因 e
y3 x y3
( 2 ) x y
x2 y2 y ;
6x 3 3x y2 ( 4 ) y 2 3. 3x y 2 y
e e x , 故为分离变量方程: d y e x dx
ye
通解
2 y3
1 y3 e ex C 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x ) f 2 ( y ) dx
M1 ( x ) M 2 ( y )d x N1 ( x ) N 2 ( y ) d y 0 g ( y )dy f ( x )dx 转化
解分离变量方程
两边积分, 得 则有
机动 目录 上页 下页 返回 结束
除方程两边 , 得 n d y y P ( x ) y1 n Q( x ) dx
令 z y1 n , 则
dz n d y (1 n) y dx dx
dz (1 n) P ( x ) z (1 n) Q( x ) (关于z , x的一阶线性方程) dx
求出此方程通解后,
Hale Waihona Puke 当Q( x ) 0,dy 【例如】 y x2 , dx
线性的; 非线性的.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yy 2 xy 3,
y cos y 1,
11
一阶线性微分方程的解法
dy P( x) y 0 1）. 解齐次方程 dx
分离变量 两边积分得 故通解为 2）. 解非齐次方程
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0 或
y ( n ) f ( x , y , y,, y ( n1) ) ( n 阶显式微分方程)
则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10
3、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0,
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
dx x si nt t 2 , dt
ye
P ( x )d x
Q( x ) e P ( x ) d x d x C
即
y Ce
P ( x )d x
e
P ( x )d x
对应齐次 方程通解
P ( x )d x Q( x ) e dx
非齐次方程特解
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23
2 【例 2】求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解.
【解】
因 2 xyy 1 ( y )2 不显含未知函数 y,则令 y p( x ) , 故 y( x ) p( x ) ，将其代入所给方程,得
2 2 xpp 1 p
【分类3】线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ),
x( y)2 2 yy x 0;
【分类4】单个微分方程与微分方程组. dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4
微分方程的解 ---使方程成为恒等式的函数. 通解 --- 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相等. 特解 --- 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 --- 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
1
第十二章
习题课
微分方程
一、微分方程的概念 二、一阶微分方程求解 三、可降阶的高阶微分方程求解 四、常系数齐次线性微分方程求解
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
一、微分方程的概念
含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程 【例】 y xy ,
y cos xdx sin x C
y (sin x C )dx cos x Cx C 2
y ( cos x Cx C 2 )dx sin x C1 x C 2 x C 3
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22
y
1 n
换回原变量即得伯努利方程的通解.
(1 n ) P ( x ) dx ( (1 n)Q( x )e dx C ).
ze
(1 n ) P ( x ) dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
15
【例1】求下列方程的通解
1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
13
3）、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
14
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5
主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 定 系 数 法
特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式
线性方程 解的结构
③ 一阶线性齐次方程 C 通解为 y . x ④全微分方程
2)
( y sin x 1)dx cos xdy 0
【解】 ① 全微分方程 所求通解为
② 一阶线性非齐次微分方程
y cos x x C .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)
dy tan x y 5 dx
y x
调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 .
dx 化为 2x y2 , dy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
17
( 4 ) y
6x 3x y 3x 2 y 2 y3
3
2
y ［方法 1］ 这是一个齐次方程 .令 u x
［方法 2］ 化为微分形式
［提示］(1) 原方程化为 令 u = x y , 得 du (2) 将方程改写为
u ln u (分离变量方程) dx x
dy 1 y3 y (贝努里方程) 令 z y 2 d x 2 x ln x 2x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
19
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解 y 1) y x 【解】 ①可分离变量的微分方程 ② 齐次方程
u e
即
P ( x )d x
P( x) u e
P ( x )d x
u e P( x)
P ( x )d x
非齐次方程
u Q( x ) e dx C 两端积分得 P ( x )dx 对应齐次方程通解 y C e