高等数学第一章 函数、极限与连续第一节 函数

x 1;
0 x 2;
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
1 x 0;
x 2;
综上所述
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 2 x x 2 1,
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arc cot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
（二）初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算
思考题2
e x , x 1 x 2, x 0 设 f ( x) , ( x) 2 , 求 f [ ( x )]. x 1, x 0 x, x 1
e x , x 1 x 2, x 0 设 f ( x) , ( x ) 2 , 求 f [ ( x )]. x 1, x 0 x, x 1
y f [ ( x )]
y u x
因变量
中间变量 自变量
y f ( u) u ( x )
注意:
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
2
2 y arcsin( 2 x ) 例如 y arcsin u, u 2 x ;
D : ( ,)
奇函数,
在 ( ,) 内单调增加.
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 1).
2
y ar cosh x
D : [1,)
在 [1,) 内单调增加.
反双曲正切 y ar tanh x
y artanh x
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
1 x Q 例2 设 D ( x ) , 0 x Q 7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( D( x ))的性质. 5 7 解 D( ) 1, D(1 2 ) 0, D( D( x )) 1, 5 y 单值函数, 有界函数, 1
解
例1
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
2、函数的特性
称为函数y f ( x )的图形 .
1. 几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o
.
-1
x
x sgn x x
(2) 取整函数 y = [x]
[x] 表示不超过 x 的最大整数
y
-4 -3 -2 -1
y
.
f ( x) g( x )
o
x
.
o
f ( x) g( x )
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
(5)、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
D
x
D
(1)
x ( y) y ( x)
（2） 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称.
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
（3） 单值函数的反函数不一定是单值的.
2.复合函数可以由两个以上的函数经过多 次（或多层）复合构成.
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2
二、 初等函数
（一）基本初等函数
(1) 幂函数
y x (是常数) y
y x2
1
(1,1)
y x
x
y
o
1 y x
1
x
x (2)、指数函数 y a
和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子
表示的函数,称为初等函数.
双曲函数
e e 双曲正弦 sinh x 2
x x
y cosh x
D : ( , ),
奇函数.
x x
1 x y e 2 1 x y e 2
y sinh x
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ),
点a的去心邻域,
记作U ( a, ).
U (a, ) { x 0 x a }.
二、函数
定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间 I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) f ( x2 ),
因变量 自变量
数集 D 叫做这个函数的定义域
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集
W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
x (
(
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
4 3 2 1 o
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
y min{ f ( x ), g( x )}
（1）．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M
y
M
x
有界 X
o -M
x0
X 无界
x
（2）函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间 I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x 2 ),
偶函数, 不是单调函数, 周期函数(无最小正周期)
o
x
3、反函数
对于任意的 y W, 在 D 上至少可以确定一个 x 满足
f ( x) y
若将 y 看作自变量, x 看作因变量, 得到一个新的函数 称为原函数 y = f (x) 的反函数, 记为 x = (y)
y
函数 y f ( x )
第二节 初等函数
一、复合函数 二、初等函数
一、复合函数
2 u 1 x , 设 y u,
y 1 x2
定义:设 y f ( u)的定义域为 D f ,
而函数 u ( x ) 的值域为 Z ,
若 Z D f , 则称函数 y f [( x )]为 x 的复合函数.
cosh x sinh x 1 ;
2 2
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲函数 反双曲正弦 y arsinh x ;
y arsinh x ln( x x 1).
2
y ar sinh x
解
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
10 当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
2 0 当( x ) 1时,
偶函数.
sinh x e e 双曲正切 tanh x x cosh x e e x
x x
D : ( ,)
奇函数,
有界函数,
双曲函数常用公式
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y ;
cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
f ( x)
x
来自百度文库
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数 ;
y
y f ( x)
f ( x)
-x o 奇函数 x x
f ( x )
（4）函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l , 使得对于任一x D, ( x l ) D. 且 f ( x l ) f ( x )
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
（3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
第一节 函数
一、邻域 二、函数
一、邻域
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U (a, ) {x a x a }. 简记为U (a)
。 a



a
。 a

x
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
D : [1,1] D : ( 1,1)
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
y W
y
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 平面点集 C {( x , y ) y f ( x ), x D}
思考题1
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0)的解析表达式.
解答
1 设 u x
1 1 1 1 u2 则 f u 1 2 , u u u
1 1 x2 故 f ( x) . ( x 0) x
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)
(0,1)
(3)、对数函数 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
(4)、三角函数 正弦函数 y sin x
1 1 x ln . 2 1 x
y ar tanh x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 ( 1,1) 内单调增加 .
作业 习题1--1：1（1，4），5 习题1--2：6（2，3），8
思考题1
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0)的解析表达式.