第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析

第十三章习题解答13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r 1，r 2。

已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。

导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。

分析：当导线中电流I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律d d i tΦε=-计算感应电动势，其中磁通量s B d S Φ=⎰，B 为两导线产生的磁场的叠加。

解：无限长直电流激发的磁感应强度为02IB rμ=π。

取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。

取回路的绕行正方向为顺时针。

由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小00122()2()IIB r x r x μμ=+π+π+， 垂直纸面向里通过微分面积dS adx =的磁通量为00122()2()I I d B dS B dS adx r x r x μμππ⎡⎤Φ===+⎢⎥++⎣⎦通过矩形线圈的磁通量为000122()2()bI I adx r x r x μμΦ⎡⎤=+⎢⎥π+π+⎣⎦⎰ 012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω⎛⎫++=+ ⎪π⎝⎭感生电动势012012012012d ln ln cos d 2()()ln cos 2i a r b r b I t t r r ar b r b I t r r μωΦεωμωω⎛⎫++=-=-+⎪π⎝⎭⎡⎤++=-⎢⎥π⎣⎦0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。

13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场题图13-1 题图13-2B 中（B =0.5T ）。

圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速n =600rev/min 。

求圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）； (2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。

应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

解：(1) 圆形线圈转动的角速度2=2060nπωπ= rad/s 设t =0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。

则t 时刻通过该回路的全磁通2cos cos NB S NBS t NB r t ψωπω===电动势 2d sin d i NB r t tψεπωω=-= 感应电流 2sin ii NB r t I R Rεπωω== 将圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，2t πω=代入已知数值 得： 0.99i I A =(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为40 6.2210T 2ii I B Nrμ-==⨯i B 的方向与均匀外磁场B 的方向垂直。

13-3 均匀磁场B 被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。

取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。

设磁场以d 1T/s d B t =的匀速率增加，已知6cm Oa Ob ==，3πθ=，求等腰梯形回路abcd 感生电动势的大小和方向。

分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应定律，本题的关键是确定回路的磁通量。

解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t 时刻通过该回路的磁通量B S BS Φ==题图13-3 题图13-4其中S 为等腰梯形abcd 中存在磁场部分的面积，其值为2211()sin 22S R oa θθ=- 电动势d d d d i B St t Φε=-=-2211d ()sin 22d BR oa t θθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦代入已知数值 33.6810V i ε-=-⨯“–”说明，电动势的实际方向为逆时针，即沿adcba 绕向。

用楞次定律也可直接判断电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求：(1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。

分析：线圈运动，穿过线圈的磁通量改变，线圈中有感应电动势产生，求出t 时刻穿过线圈的磁通量，再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。

解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。

由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布，02IB xμπ=。

因此，必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。

取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为00d d ln22b vtSa vtI Il b vtl x x a vtμμΦππ+++===+⎰⎰B S （2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势00()d d 2i t Ilv b a tabμΦεπ=-=-=电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0ε的电源连接.匀强磁场B 垂直于图面向里，一段直裸导线ab 横嵌在平行导线间（并可保持在导线上做无摩擦地滑动）,电路接通，由于磁场力的作用，ab 从静止开始向右运动起来。

求:(1) ab 达到的最大速度;(2) ab 到最大速度时通过电源的电流I 。

分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆定律的综合性问题。

当接通电源后，ab 中产生电流。

该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab 向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流为零时，直导线ab 不受安培力作用，此时ab 达到最大速度。

解：（1）电路接通，由于磁场力的作用,ab 从静止开始向右运动起来。

设ab 运动的速度为v ,则此时直导线ab 所产生的动生电动势i Blv ε=，方向由b 指向a .由全电路欧姆定理可得此时电路中的电流为0Blvi Rε-=ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时0i =。

所以ab 达到的最大速度为max v Blε=（2）ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i =0。

所以通过电源的电流也等于零。

13-6 如题图13-6所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆a 端L /5处。

若已知均匀磁场B 平行于O 1O 2轴。

求ab 两端间的电势差U a -U b . 分析：由动生电动势表达式先求出每段的电动势，再将ab 的电动势看成是oa 和ob 二者电动势的代数和，ab 两端的电势差大小即为ab 间的动生电动势大小。

求每段的电动势时，由于各处的运动速度不同，因此要将各段微分成线元dl ，先由动生电动势公式计算线元dl 的两端的动生电动势i d ε，再积分计算整段的动生电动势。

解：设金属细杆ab 与竖直轴O 1O 2交于点O ,将ab 两端间的动生电动势看成ao 与ob 两段动生电动势的串联。

取ob 方向为导线的正方向，在铜棒上取极小的一段线元dl ，方向为ob 方向。

线元运动的速度大小为v l ω=。

由于,,v B dl 互相垂直。

所以dl 两端的动生电动势()i d v B dl vBdl B ldl εω=⨯=-=-ob 的动生电动势为242501416d d 2550Lob i abL Bl l B B L εεωωω⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰动生电动势ob ε的方向由b 指向O 。

同理oa 的动生电动势为题图13-5 题图13-6225011d d 2550L oa i baL Bl l B B L εεωωω⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰动生电动势oa ε的方向由a 指向O 。

所以ab 两端间的的动生电动势为2310ab ao ob oa ob B L εεεεεω=+=-+=-动生电动势ab ε的方向由a 指向了b ；a 端带负电，b 端带正电。

ab 两端间的电势差2310a b ab U U B L εω-==-b 端电势高于a 端。

13-7 如题图13-7所示，导线L 以角速度ω绕其端点O 旋转，导线L 与电流I 在共同的平面内，O 点到长直电流I 的距离为a ,且a >L ,求导线L 在与水平方向成θ角时的动生电动势的大小和方向。

分析：载流长直导线产生磁场，导线L 绕O 旋转切割磁力线。

由于切割是不均匀的磁场，而且导体各处的运动速度不同，所以要微分运动导线，先由动生电动势公式计算线元dl 的两端的动生电动势i d ε，再积分计算整段的总动生电动势。

解：取OP 方向为导线的正方向，在导线OP 上某处取极小的一段线元dl,方向为OP 方向。

线元运动的速度大小为v l ω=。

由于,,v B dl 互相垂直。

所以dl 两端的动生电动势()d v B dl vBdl B ldl εω=⨯=-=-将载流长直导线在该处激发磁场02(cos )IB a l μπθ=+代入，积分得导线L 在与水平方向线成θ角时的动生电动势为：()00d 2cos L i OP i I ldla l ωμεεπθ==-+⎰⎰ 020(cos )(cos )2cos (cos )LIa l ad l a l ωμθθπθθ+-=+⎰题图13-7 题图13-802+cos cos In 2cos I a L L a a ωμθθπθ⎛⎫=--⎪ ⎭⎝ 动生电动势的方向由P 指向O 。

13-8 如题图13-8所示半径为r 的长直密绕空心螺线管，单位长度的绕线匝数为n ,所加交变电流为I =I 0sin ωt 。

今在管的垂直平面上放置一半径为2r ,电阻为R 的导线环，其圆心恰好在螺线管轴线上。

（1）计算导线环上涡旋电场E 的值且说明其方向； (2)计算导线上的感应电流i I ；(3)计算导线环与螺线管间的互感系数M 。

分析：电流变化，螺线管内部磁场也变化，由磁场的柱对称性可知，由变化磁场所激发的感生电场也具有相应的对称性，感生电场线是一系列的同心圆。

根据感生电场的环路定理，可求出感生电场强度。

由法拉第电磁感应定律及欧姆定律求感应电流，由互感系数定义式求互感系数。

解：（1）以半径为2r 的导线环为闭合回路L ，取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，自上向下看为逆时针方向。