一元二次方程公式法求根公式导学案

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用公式法求解一元二次方程导学案

1 / 32.3用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；（2）会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。

2．能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。

3．情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。

【学习过程】一、旧知复习1．用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2．用配方解一元二次方程的步骤是什么？二、讲授新知问题1：用配方法解一元二次方程一般式)0(02≠=++a c bx ax总结：1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：___________________________问题2．这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，2 /3 我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

问题3．根的判别式：三、例题精讲例1．用公式法解下列方程：（1）0232=++x x（2）4722=-x x ；（3） 4x -12 = 5x 2（4）2441018x x x ++=-四、课堂巩固练习1．用公式法解下列方程：（1）2x 2+x-1＝0（2）x(x-6)=6 （3）2x 2-7x+3＝03 / 3（4）3x 2-9x+12＝0 （5） 9x 2+6x+1＝0 （6） x 2-23x+3＝0五、拓展与延伸1．解关于x 的方程),0(0)(22222n m mn mn x n m mnx >≠=++-。

2.2一元二次方程的解法(3)导学案

2.2 一元二次方程的解法（3）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程。

〖学习重点与难点〗重点：用公式法解一元二次方程。

难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节学习的难点。

一、温故知新（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列一元二次方程：（1） x x 10152=+ （2） 0311232=+-x x2．你能用配方法一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax吗？请写出你的步骤。

3．填一填：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+解：=a _____，=b ______，=c _______。

解：=a _____，=b _____，=c _____。

=-ac b 42_______ =-ac b 42_______ ∴=-±-=a ac b b x 242____________ ∴=-±-=aac b b x 242__________ ∴=1x ___________，=2x ___________ ∴=1x =2x ___________二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例4 用公式法解下列一元二次方程：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+⑶0212432=--x x ⑷0222=++x x例5 解方程： 2)2()121(-=-x x x三、巩固练习1．用公式法解下列方程：⑴0432=-+x x ⑵0432=-x ⑶141212=-x x ⑷0222=+-x x总结1：观察以上你所解的方程，方程根的情况与ac b 42-的值的关系如何？答：当042>-ac b 时，方程有_____________________________；当042=-ac b 时，方程有_____________________________；当042<-ac b 时，方程_____________________________。

1.2.2一元二次方程的解法-- 公式法学案(湘教版九上)

1.2.2一元二次方程的解法-- 公式法学案（湘教版九上）学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念。

2、会熟练应用公式法解一元二次方程．学习重点：求根公式的推导和公式法的应用．学习难点：一元二次方程求根公式法的推导．学习过程一、问题引入：1、知识回忆（学生活动）：用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522、情境导入：用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的实数根呢？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2二、探究新知：请同学们带着以下问题用10分钟的时间自学完教材P35—P37动脑筋前的内容，并完成下面的自学检测中的练习。

1、自学思考题：⑴如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）？配方时需要哪几个步骤？⑵方程(x+ab 2)2=a ac b 442-一定有实数根吗？ ⑶ 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由什么决定？求根公式的意义是什么？⑷ 为什么在得出求根公式时有限制条件b 2－4ac ≥0？（学生尝试，分组讨论交流，分析公式的特点，记忆公式。

）2、自学检测：⑴用公式法解方程2x 2-7x=3时，其中a 、b 、c 、的值分别为。

⑵一元二次方程x 2+2=3x,则b 2-4ac= x 1= x 2=⑶方程x 2-5x-6=0的两根为x 1= x 2=⑷用公式法解方程3x 2-4=2x 时，其中a= b= c= b 2-4ac= 方程的根x 1= x 2= ⑸在一元二次方程2x 2-3x+2=0中，b 2-4ac= 此方程实数解。

3、自学点拨：⑴一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定。

公式法解一元二次方程导学案

一、预习引领1．用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52请总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+b x+c =0（a ≠0），请用上面配方法的步骤求出它的两根．小结:一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x二、课堂练习：用公式法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x(4）01842=+--x x （5）0222=-+n mx x （6）01722=++x x三、一元二次方程的根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：性质：（1）当b 2－4ac ＞0时，；（2）当b 2－4ac ＝0时，；（3）当b 2－4ac ＜0时，练习：1.不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。

2．若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

四、达标检测：用适当的方法解下列方程： (1) 01522=+-x x(2) 1842-=--x x(3) 02322=--x x(4)()()()0112=-++-y y y y（5）1252+=y y（6）()()213=-+y y （7）03)13(2)13(2=----x x（8）020122=+-x x（9）02452=--x x（10）0101732=++x x（11）035442=--x x（12）05)4(3)4(22=----x x五、拓展提高已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？。

21.2.2公式法《用求根公式解一元二次方程》教案

-能够熟练运用求根公式解决具体的一元二次方程问题；
-通过实际例题，使学生体会求根公式在解决一元二次方程中的应用价值。
举例解释：求根公式是一元二次方程解决的核心工具，教学中应重点关注公式本身的记忆、理解和应用。例如，对于公式中的判别式Δ=b²-4ac，应强调其与根的关系，即Δ>0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时无实数根。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了求根公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式本身及其推导过程这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和根的情况判断，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的问题，如土地分割、物体抛物线运动等。
2.实验操作：为了加深对求根公式的理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制一元二次方程的图像，观察不同判别式下根的情况。
3.能够运用求根公式解决实际问题；
4.通过求根公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.理解并掌握一元二次方程求根公式，提高学生的数学运算能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
3.通过对求根公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维、抽象思维和推理能力；

一元二次方程的根与系数的关系导学案

九年级数学上册导学案1.表格中方程的两个根相加后的和与原方程的的系数有什么关系？______________________2.表格中方程的两个根相乘后的积与原方程的的系数有什么关系？________________________2、若设一元二次方程为，则用公式法求它的解，过程可以为：3、只有在二次项系数为________时才成立。

4、两根之和为一次项系数与二次项系数之比的________，两根之积为________与________之比．5、ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律．x 1＋x2＝________，x1x2＝________6、利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝________，x2＝________．1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54,x1x2＝142．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为＝32，k＝3.3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1) 1a ＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)√29或－√29.课堂练习1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.2.不解方程，求出方程的两根之和，两根之积。

（1）（2）（3）3.已知方程的一个根是2，求它的另外一个根和的值。

4.写出一个二元一次方程，使它的两个根分别是1和：________5.已知关于的方程的两个根分别是1和3，则1．两根均为负数的一元二次方程是( )A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝02.方程x2-6x+10=0的根的情况是( )A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根3.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为( )A.-3B.1C.-3或1D.24.下列方程中,两根之和是正数的是( )A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=05.已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.C.3D.±6.已知是方程的两个实数根，求下列各式：①②（3）④7.一般形式中，两个根之和=__________，两根之积=___________8.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2-3x=15； (2)5x2-1=4x2；(3)x2-3x+2=10； (4)4x2-144=0；。

用公式法解一元二次方程导学案

山东教育出版社小学信息技术第一册第五课用几何图形组成作品教学设计青州市宋池学校张海苓山东教育出版社小学信息技术第一册第五课用几何图形组成作品教学设计青州市宋池学校张海苓知识目标：1、掌握直线、曲线、矩形、多边形、椭圆、圆角矩形等工具的使用方法。

2、可以运用直线、曲线、矩形、多边形、椭圆、圆角矩形等工具画出来的几何图形组成作品。

情感目标：1、培养学生的创新意识、创新能力和实践能力。

2、培养学生自主、合作学习，乐于帮与他人的的好习惯。

学习过程：1、故事导入故事情景：《新三只小猪盖房子》三只小猪长大了，猪妈妈说：“你们自己独立过日子吧。

”老大、老二、老三每人都想盖一间自己的房子。

“怎样设计我们的房子呢？”小猪们遇到了问题.“同学们,请你们当小小计师，帮助我们设计房子好吗?”[课件演示]（故事导入，创设问题情景，激发学生探究欲望，使学生以最佳的学习状态投入到课程中去获取知识，引导学生分析图形及画图工具的使用，尝试使用画图软件画出图形。

）2、新课学习（1）自主学习：让学生把自己会画的图形画出来（其间学生可以通过同桌讨论、小组讨论、发送消息、个别电子举手提问进行协作式学习，教师通过网络教室监看、个别辅导功能对学生进行辅导）。

（2）对普遍存在的问题，教师做准确的讲解。

（3）对绘制多边形工具的使用，用简短准确的语言点明，让学生学的明白准确。

3、反馈收集学生作品，根据作品存在的不足进行辅导，对色彩美观、有创新的优秀作品进行展示。

4、临摹及创新。

师：给房子图上美丽的颜色，在周围画上优美的环境衬托，小猪们一定更加喜欢。

老师这里有几幅作品供大家参考，看能不能给你们一些启示。

[课件演示]5、修改作品，自由创作学生可以通过同桌讨论、个别提问进行协作式学习，教师通过网络教室监看、个别辅导功能对学生进行辅导6、作品展示选取学生作品进行自己评、同学评。

指导学生填写小小设计师证书，并给自己打上相应的星级。

课堂小结同学们的想象真丰富，运用画图工具帮助小猪设计了各式各样的房子。

导学案(一元二次方程的解法(求根公式法))(副)

3、合作探讨，完成p26例题3；然后独立完成下题
4、互动探究
5、互动探究：解方程
【导学设计】
三、达标测评
（见附件）
四、收获与反思：
1、自我判别：对照“学习目标”，，我学会了哪些？
2、葵花宝典（有何收获？）：
附件
18.2一元二次方程的解法（求根公式法）达标测评
教学心得：
【导学设计】
班级：组别：姓名：组内评价：教师评价：
18.2一元二次方程的解法（求根公式法）
【学习目标】
1、会推导一元二次方程的求根公式，
2、会利用求根公式解一元二次方程.
3、经历探索求根公式的过程，增强逻辑思维能力.
【导学ห้องสมุดไป่ตู้程】
一、预习导学
1、知识回顾：用配方法解一元二次方程（a≠ 0）
2、自学成才：阅读课本P25~26内容，归纳总结：
2、方程，当b2- 4ac0时，它的根为；
3、.我们把叫求根公式；（要熟记！）
4、我们把利用解一元二次方程的方法叫做公式法
二、合作探究
1、讨论交流：
（1）应用求根公式解一元二次方程有什么条件限制吗？
（2）阅读课本P26例2前一段内容及例2，说说利用求根公式解一元二次方程有哪些步骤？
试一试：解方程（1）2x2+ 5x - 2 = 0（2）2x2- 5x -12 = 0

公式法解一元二次方程

《用公式法解一元二次方程》导学案（2）一．学习目标：1．熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2．会不解方程通过根的判别式判断一元二次方程根的情况。

3．会运用b 2-4ac 来解题。

二．知识链接：1、如果分式3322---x x x 的值为0,则x 值为A.3或-1B.3C.-1D.1或-32、已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是 A.4 B.214C.4或214 D.不存在三．学习内容：我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。

Δ＞0方程（）实数根. Δ=0方程（）实数根. Δ＜0方程（）实数根.以上三个结论反过来也是正确的。

练习：不解方程，判别下列方程的根的情况。

①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；解①：这里a=________,b=_______,c=________,因为Δ=______________________________ 所以，方程_______________________________ ②题目自己解答。

学法指导：（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。

(2)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b 2-4ac≥0切勿丢掉等号。

(3)根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程因此，要注意隐含条件a≠0.四．知识迁移，例题讲解2．k 的何值时？关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；照葫芦画瓢：1、已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是什么？3、关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有实数根，求k的取值范围。

一元二次方程解法公式法求根公式学案

一元二次方程解法 -- 公式法教学设计一、基本知识1.把方程次项系数是4x2+4x+1 0=1-8x 化为一般形式为：，常数项是．，二次项系数是，一2.用公式法解方程 4x2 -12x=3 ，获取（）．3 6B． x= 3 6 3 2 3D ．x=3 2 3A ．x=2C． x=2 2 23. 以下方程① x2 1 0 ；② x2 x 0 ；③ x2 x 1 0 ；④ x2 x 0 中，无实根的方程是.4. 已知对于 x 的方程 x 2 mx 2 0 有两个相等的实数根，那么m 的值是.思路与步骤：1. 解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ，当 b-4ac≥0 时， ?将 a、b、c 代入式子 x= b b2 4ac就获取方程的根 .2a合作研究 1：用公式法解以下方程．（ 1） 2x2-4x-1=0 （ 2）5x+2=3x 2对应练习：1.用公式法解以下一元二次方程（1）（ x-2）（ 3x-5） =0（2）4x2-3x+1=0（3） 3x2+5(2x+ 1)=0（4）x23x 40根的鉴别式1. 一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠ 0) 根的鉴别式为：△ =b2-4ac.2.2＞0 有的实根 . （ 1）△ =b -4ac2＝ 0 有的实根 . （ 2）△ =b -4ac（ 3）△ =b2-4ac ＜ 0 实数根 . （ 3）△ =b2-4ac ≥ 0 实数根 .二、典型例题：2 2（1）有两个相等实根；（ 2）有两个不相实根；（3）无实根； (4) 有两个实根.对应练习： 1. 若对于x 的一元二次方程x2 3x m 0有实数根，则m 的取值范围是．2.对于x 的方程2x24x m 1 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．例题2：若对于 x 的方程 x 2＋ 2(a ＋1)x ＋ (a 2＋4a － 5) ＝ 0 有实数根，试求正整数【提示】：要注意两个条件：①有实数根，②a 是正整数．a 的值．例题 3：如图，某校广场有一段 25 米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100 平方米的长方形草坪（如图CDEF ， CD ＜ CF ）已知整修旧围栏的价格是每米 1.75 元，建新围栏的价格是每米4.5 元。

公式法解一元二次方程导学案-(1)

公式法解一元二次方程导学案主备人：组长：包科领导：学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程学习重点：求根公式的推导，公式的正确使用学习难点：求根公式的推导预习案1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得：即x=2b a-± ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个的实根。

（3） b 2-4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程实数根。

探究案一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。

（2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根。

当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有的实数根；当b 2-4ac=0时，一元二次方程有的实数根；当b 2-4ac ＜0，一元二次方程实数根。

九年级一元二次方程求根公式的推导人教版教学设计导学案

（注：确定根的判别式时，需先将方程化为_______，确定______后再计算）
2、一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
（1）Δ〉0⟺方程_______________________________
（2）Δ=0⟺方程_______________________________
（3）Δ<0⟺方程_______________________________
年级
九年级
科目
数学
备课人
课题
21.2.2.1一元二次方程的根的判别式
学习
目标
（1分钟）
1、能记住一元二次方程的根的判别式，掌握求根公式的推导过程（重点）
2、能运用根的判别式进行相关的计算和推理（难点）
学法
指导
分析法、转化法、类比法的学习方法
自
学
与
指
导
（9分钟）
自主复习
请每位同学编写一道一元二次方程，由同桌用配方法求方程的解，并填写步骤和每步的依据
题组2：（组内共同完成后交流展示，做好记录，总结归纳，做好笔记）
1、若方程x2+mx+2=0的根的判别式的值为4，则m=_____
2、关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是___________
方法归纳：在已知含字母系数的一元二次方程根的情况下，用逆向思维来解决问题:
1.根据判别式建立2. 一元二次方程的二次项系数0
训
练
与
总
结
题组3：（课堂检测：针对性检测，独立完成后展示）
1、一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为（）
A 4 B 2 C 0 D -4

八年级数学下册《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例

3. 开展多元化的评价方式，如小组互评、学生自评等，培养学生客观评价他人和自我评价的能力。
4. 定期对学生的学习情况进行总结，分析教学中存在的问题，及时调整教学策略，以提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 联系实际生活，提出一个与一元二次方程相关的问题，如：“一块正方形土地，如果边长增加3米，面积就增加21平方米，求原来的边长。”让学生尝试用已有知识解决问题，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1. 通过实际例题的引入，激发学生探究一元二次方程求根公式的兴趣，培养学生主动参与课堂、积极思考的习惯。
2. 在配方法的推导过程中，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 通过小组合作、交流讨论等形式，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高课堂参与度。
4. 引导学生从问题解决的过程中，总结学习方法，形成数学思维，提高解决问题的策略。
三、教学策略
（一）情景创设
1. 以生活中的实际问题为背景，创设情景，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
2. 利用多媒体手段，如动画、图片等，形象直观地展示一元二次方程的求解过程，增强学生的直观感受，提高学习积极性。
3. 结合学生已有知识，设计富有挑战性的问题，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲。
2. 在小组合作过程中，教师巡回指导，关注学生的个体差异，给予针对性的指导，提高学生的学习效果。
3. 组织小组间的交流分享，让学生在倾听他人观点的过程中，拓宽思路，提高自己的认识。
（四）反思与评价
1. 鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法、思维策略，提高学习效率。
2. 教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的知识掌握、能力提升以及情感态度的变化，给予积极的反馈。

公式法解一元二次方程学案

公式法解一元二次方程学案学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程.难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b ac a ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式 22= b 2－4ac .0 0按要求完成下列表格33x 的值例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)3x2+4x－3=0；(2) 4x2=12x－9；(3) 7y=5(y2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A.q≤4B.q≥4C.q<16D.q>16【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k>－1B.k>－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( )A.k≥－1B.k≥－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为242b b acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1)x2－4x－7=0；(2) 2x2－+1=0；(2)5x2－3x=x+1；(4) x2+17=8x.要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2－4ac的值；4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.课堂检测1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x2+3x－4=0；(2) x2－x+14=0；(3) x2－x+1=0.2.解方程：x2 +7x–18 = 0.3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.4.解方程：2x2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22220x kx k的根的情况.能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+1x ，∴126611x x ，.课堂探究二、要点探究探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2b a问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根练一练从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论.探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221b b acx a 即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222b b ac x x a . (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510b b acx a 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212b b acxa1292x x，.3.解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac= (－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.4.这里a=2，b=33，c=3，b2－4ac=(33)2－4×2×3=3＞0.∴24333.24b b acxa1233x x，.5.(1)m≤1(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得23m且m≠1.6.解：222222241844k k k k k，∵20k，∴240k，∴0.∴方程有两个实数根. 能力提升解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.将b=－10代入原方程得x2－8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=－2（舍去）；所以△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.。