《解释几何-第四版本》第四讲 柱面锥面旋转曲面跟二次曲面 讲解跟题目柱面锥面旋转曲面跟二次曲面

实 例
y2 b2

z2 c2

1
x2 a2

y2 b2
1
椭圆柱面 母线// x
轴
双曲柱面母线// z 轴
x2 2 pz 抛物柱面母线// y 轴
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1
2
x
2

2y2

z2

2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2、已知圆柱面的轴为
任取其中两个方程组成方程组，比如

F1 ( x, F2 (x,
y) z)

0 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而
曲面 F1(x, y) 0 与曲面 F2(x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3(y, z) 0 也通过已知曲线（1）。
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫
柱面的母线. 设柱面的准线为
F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为xoy面上曲线C . （其他类推）
FF12((xx,,
y, y,
z) z)

0 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为
x x1 y y1 z z1 (2)
X
Y
Z
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得
x1 y1
(2)
又因为点 M1(x1 , y1, 0) 在准线（1）上，，所以又有
F (x1, y1) 0
(3)
将（2）代入（3）消去参数 x1, y1 ，得到所求的
柱面方程为
F(x, y) 0
同理， G( y, z) 0 与 H(z, x) 0 分别表示母线平行于
X轴和y轴的柱面。
而曲线

F2

(x, z) y0
0
与曲线

F3

( y, z) x0
0
分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面
上的射影曲线。
例：从方程组 2x2 z2 4y 4z
L:

x2
3z2
8y 12z
消去y，得 x2 z2 4z ，这就是空间曲线L在
取曲面 F(x, y) 0 与xOy面的交线
F(x, y) 0

z0
(1)
作准线，z轴的方向 0,0,1 为母线的方向，来建立
柱面方程。
任取准线上的一点 M1(x1, y1, z1) ，过 M1 的母线
方程为
x x1 y y1 z z1
0
0
1
即
x

y

z0
为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线
曲线L也可以看成是 x2 z2 4z

x2

4y

0
作业P147:1,3,8(1),(2)
第二节 锥面
一、锥面
1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族
直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的
母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。
且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
（3）
从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程
F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。
例1、求顶点在原点，准线为
x2

a
2

y2 b2
1
z c
的锥面的方程。
x
2
答： a2

y2 b2
x y 1 z 1 1 2 2
点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标） 的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元（坐标）的同名坐标轴。
证明：我们不妨证明方程 F(x, y) 0 是母线平
行于Z轴的柱面。
方程
x2 a2

y2 b2
1,
x2 a2

y2 b2
1,
y2 2 px
分别
2.空间曲线的射影柱面
设空间曲线为
F(x, y, z) 0
L : G(x, y, z) 0
(1)
依次从（1）中消去一个元，可得
F1 ( x, y) 0
F2 ( x, z) 0
F3 ( y, z) 0

z2 c2
0
（二次锥面）
例2：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面 2x+2y-z+1=0，母线与轴成 30o 角，试求这圆锥面 的方程。
解：设 M1(x1, y1, z1) 为任意母线上的一点，那么过 M1
点的母线的方向向量 r x 1, y 2, z 3
而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面
y0
xOz面上的射影柱面，曲线
x2 z2 4z
y0
为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线
从方程组
2x2 z2 4y 4z
L:

x2

3z2

8y

12z
消去z，得 x2 4y 0 ，这就是空间曲线L在
xOy面上的射影柱面，曲线
x2 4y 0
我们把曲面 F1(x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线

F1
(
x, y) z 0
0
称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。
同理，曲面 F2(x, z) 0 与曲面 F3( y, z) 0 分别叫做
方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面
2、锥面的方程
设锥பைடு நூலகம்的准线为
F1(x, y, z) 0 F2 (x, y, z) 0
(1)
顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为：
x x0 y y0 z z0 (2) x1 x0 y1 y0 z1 z0