第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
解析几何第四版知识题目解析第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
4.1柱面
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
解析几何全册课件(吕林根版)精选全文完整版
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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向量减法
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A
B
C
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
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解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
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由题意知：
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定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
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空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
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根据题意有
化简得所求方程
解
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例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一. 柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线方程(1) 母线的方向数X,Y,Z.即(2) 任取柱面准线上一点则过此点的母线方程为且有,.从而消去参数最后得到一个三元方程，这就是以为准线, 母线的方向数X,Y,Z的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解设是准线上的点,那么过的母线为, 且(1)设,那么,, 代入(1)得可得,即求得柱面方程为.例 2. 已知圆柱面的轴为,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离为半径的球面与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面的交线,即准线圆的方程为设为准线圆上的点,那么,且过的母线为.消去参数即得所求的圆柱面方程.解法二将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为,轴上的定点为,而圆柱面上的点为,所以,因此到轴的距离为再设为圆柱上任意点,那么有即化简整理得.定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
4.1,4.2柱面和锥面
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
学习必备欢迎下载第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1 柱面2、设柱面的准线为x y 2z2x2z，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量1,0, 2任取准线上一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，过 M 0的母线方程为：x x0t x0x ty y0y0 yz z02t z0z2t而 M 0在准线上，所以：x t y2( z 2t )2x t2( z2t )消去 t ，得到：4x225 y 2z24xz20x10z 0此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x y z, x1y z1, 与x1y 1 z 2 的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 x y z 0 ：它与已知直线的交点为0, 0,0 ,(1, 0, 1), (114，这三点所定的在平面 x y z 0 上的圆的圆心为,,)333M 0 ( 2 ,11,13) ，圆的方程为：151515( x 2 )2( y11)2( z13)29815151575x y z0此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，且方向为 1, 1,1的直线方程为：x x1t x1x ty y1t y1y tz z1t z1z t 将此式代入准线方程，并消去t 得到：5( x 2y2z 2xy yz zx) 2x 11y 13z0§4.2 锥面2、已知锥面的顶点为(3 , 1 , 2) ，准线为 x 2y 2z21, x y z0，试求它的方程。
解：设 M ( x, y, z) 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：X3Y1Z2x3y1z2令它与准线交于 ( X 0,Y0 ,Z0 ) ，即存在t ，使X 03( x3)tY01( y!)tZ02( z2)t将它们代入准线方程，并消去t 得：3x25y27z 26xy 2 yz10 xz4x 4 y 4z 4 0此为要求的锥面方程。
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
x0
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x 2 y 2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ： 将圆
( y b) 2 z 2 a 2 : , (b a 0) x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b) 2 z 2 a 2 中保留 z 不变，而 y 用 x 2 y 2 代，就得将圆（20）绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
x0
绕虚轴旋转的旋转曲面的方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
z
绕实轴旋转的旋转曲面方程为
y2 x2 z 2 1 b2 c 2 c2
x
y
曲面（4.3-3）叫做单叶旋转双曲面（图4-9），曲面 （4.3-4）叫做双叶旋转双曲面（图4-10）。 2 y 例4 将抛物线 2 pz
X ( x x1 ) Y ( y y1 ) Z ( z z1 ) 0 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 0 0 0 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 1 0 1 0 1 0
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
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5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
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( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
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2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
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3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
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y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
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x y z 2 1 2 a c
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
设柱面的准线为
FF12((xx,,
y, y,
z) z)
0 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线
上一点，则过点M1的母线方程为
且有
x x1 y y1 z z1 (2)
X
Y
Z
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得
这条定曲线叫柱面的准线 ，那族平行直线中的每一 直线，都叫做叫柱面的母 线.
母线
观察柱面的形成过程:
准
线
注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定．但是对于一个柱面，它的 准线并不是唯一的．
例如，任何—个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准 线．
准线不一定是平面曲线．
二. 求柱面方程
3、求过三条平行直线
x y z, x 1 y z 1, 与x 1 y 1 z 2
的圆柱面方程。
4、已知柱面的准线为 母线的方向平行于矢量
(u) x(u), y(u), z(u)
S X,Y, Z
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数 方程分别为：
与 式中的
x Y(u) vS
x x(u) Xv
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所面
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面.
How beautiful the sea is!
解析几何第四章柱面锥面及二次曲面
一、椭圆抛物面
x2 y2
z
2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
§4.6 抛物面
一、椭圆抛物面
z
x2 y2 2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
椭圆抛物面方程
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕 z 轴旋
转而成的）
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
§4.3 旋转曲面
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
f (y1, z1)=0 .
z1 z
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
一、双曲抛物面（马鞍面）
第4章柱面锥面旋转曲面与二次曲面小结
5 、若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特 点是_________；
2 y 2 6 、曲面 x z 1 是由 _______ 绕 _________ 轴放 4
置一周所形成的； 7 、曲面 ( z a )2 x 2 y 2 是由______________ 绕 _____ 轴旋转一周所形成的； 8 、方程 x 2 在平面解析几何中表示___________ 在空 间解析几何中表示___________________； 9 、方 程 x 2 y 2 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 _______________.
第四章 思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.
( 2) x 2 y 2 4;
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1Biblioteka 平面解析几何中空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)，
取二异面直线的公垂线为 z 轴,公垂线中点为原点； x 轴与二异面直线的夹角相等，二异面直线与z 轴的 交点为(0,0,a)和(0,0, -a),则两异面直线方程为:
y tan x 0 y tan x 0 z a z a x y za x y za ， ， 1 tan 0 1 tan 0
二、画出下列各方程所表示的曲面： a a 1、( x ) 2 y 2 ( ) 2 ； 2 2 x2 z2 2、 1 ； 9 4 3、 z 2 x 2 .
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
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2 x 2 4 ( y 1 ) 2 1
2
z 0
例2: 设一个立体由上半球面
z 4 x和2锥面y 2
z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
C
:
z
z
4x2 y2 3( x 2 y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程． （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
知识结构:
图形 → 方程
面
锥面
旋转曲面
方程 → 图形
椭球面 双曲面 抛物面
→曲面直纹性.
根据图形的几何特征建立它们的方程，和 从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是 学习本课程所应掌握的基本技能．
以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.
所以方程
H (x, y) = 0
z=0 在xOy面上的投影.
所表示的曲线必定包含了空间曲线C
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
例3、下列方程各表示什么曲面？
(1)
x2 a2
y2 b2
1
（母线平行于z轴的椭圆柱面）
(2) y2 z2 4
（母线平行于x轴的双曲柱面）
(3) x2 2x z 0（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
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想一想
第一节 柱面
目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
一. 概念
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， 在圆C上任取一点
平行 z 轴的直线 l ,
M
表示圆C,
M1(x, y,0) , 过此点作
这条定曲线叫柱面的准线 ，那族平行直线中的每一 直线，都叫做叫柱面的母 线.
母线
观察柱面的形成过程:
准
线
注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定．但是对于一个柱面，它的 准线并不是唯一的．
例如，任何—个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准 线．
准线不一定是平面曲线．
二. 求柱面方程
( x z)2 ( y z)2 1为柱面方程。
三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴)
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,
该柱面叫做抛物柱面.
z
y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 xy = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.
O y
x x2 + y2 1
这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1 z=0
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,
故在空间
x2 y 2 R2 表示圆柱面
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面.
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主 要内容可示意如下：
第一章
点
坐标
第二章
轨迹
方程
曲曲 面线
平面 与直线 一般曲面 一般曲线
普参 通数
第三章 第四章 第五章
方程与关系 常见曲面和二次曲面 二次曲线的一般理论
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
的方程
例3 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为1),母线平行于直线l：x y z,求此柱面方程。
解：设M( x, y, z)为柱面上任意一点
沿母线, M对应准线上一点 M0 ( x0 , y0 ,0) M
则M0M // l
M0
x x0 y y0 z
1
11
x0 x z, y0 y z
F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1 2x2 2 y 2 z 2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2 已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点 （M11，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面
设柱面的准线为
FF12((xx,,
y, y,
z) z)
0 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线
上一点，则过点M1的母线方程为
且有
x x1 y y1 z z1 (2)
X
Y
Z
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得
例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.
解: 联立两个方程消去 z ,得
2x2 4( y1)2 1 2
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影 曲线方程为
z
o
y
xy = 0
x
3、 母线平行于坐标轴的柱面方程.
一般地,在三维空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
1. 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
四、空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线C的一般方程
F (x, y, z) = 0
G (x, y, z) = 0
(3)
由方程组(3)消去z后得方程
H (x, y) = 0
(4)
方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.