柱面锥面旋转曲面和平面
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
3.1柱面、锥面和旋转曲面PPT课件
已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z
柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x x(u) Xv
x
Y (u)
vS
与
y
y(u)
Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数.
-
7
2） 柱面的一般方程
设柱面的准线的方程为
而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.
解 设 M 1(x1, y1, z1) 是准线上的点，那么过 M 1(x1, y1, z1)
的母线为
xx yy zz
1
1
1
1 0
1
且有
x12 y12 z12 1
（4）
2 x12
2 -
y12
z12
2
（5）
15
x x1 y y1 z z1
1 0
1,
z c.
zc
这是平面上的一个椭圆
O
y
• 因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥x 面.
-
35
3.1.3 旋转曲面
定义. 一条曲线C一条定直线旋转一周所形成 的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
-
36
1、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明：
ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
如:单叶旋转双曲面的母线是双曲线或直线;而经线是双曲
4.1柱面
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
2-5 旋转面、柱面和锥面
a
y
x
上页
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结束
5.1 旋转面
下面求其方程
y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕虚轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转单叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b 2 2 y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕实轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转双叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b
上页 下页 结束
x
5.1 旋转面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
r
R
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
y
o
x
z上页 下页 结束5.1 旋转面y
o
x
环面方程
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
上页 下页 结束
2
2
5.1 旋转面
抛物线绕它的轴旋转得到的旋转面称为旋转抛 物面. 它具有很好的光学性质: 其焦点处射出的 光线被它反射为平行光束. 用于探照灯、车灯.
z
yz 平面上的抛物线 y2 = 2pz (p > 0)
y
绕对称轴 z 轴旋转得到旋转 抛物面方程为 x2 + y2 = 2pz .
4.1,4.2柱面和锥面
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
第二章第五节 旋转面、柱面和锥面
一、旋转面 二、柱面 三、和锥面
在右手直角坐标系下讨论
§5
旋转面、柱面和锥面
一、球面的普通方程 二、球面的参数方程，点的球面方程 三、曲面和曲线的普通方程 四、旋转面
5.1 旋转曲面 定义3.1 一条 曲线Γ 绕一条直 线l 旋转一周所 成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线l 叫旋转 曲面的轴， Γ 称为 旋转面的母线。．
0
0
0
0
满足的方程，即为所求 旋转曲面的方程。
任取l 上的点 M1 , | MM1 || M 0 M1 |
例2. 设旋转面的轴线 l 过点M 0 (1,3, 1) ， 平行于向量 u0 (1,1,1) ，准线 是过点 M1 (0, 2,1) 平行于向量 u1 (1, 1,1) 的直线 求此旋转面方程。 x y 2 z 1 解： 先写出准线 方程： 1 1 1 旋转轴 l : x 1 y 3 z 1 设旋转面上点 M ( x, y, z ) 由准线上点 M ( t , 2 t , 1 t ) 旋转而得。 M M u0 M M u0＝0
u (1,1,1) 或( 1,1,1)， (1, 1,1)， (1,1, 1)
设点 M ( x , y, z ) 在圆锥面上
cos OM , u cos e1 , u
P91 例2.16
2 2 2 2 | e1 u |( x y z ) x y z | OM v | | e v | | OM | 1 | u | xy yz 2 zx 2 0 | OM || u | | OM u | | OM |
柱面：（准线为坐标面上的线， 母线平行于坐标轴）
柱面的方程
z
M(x,y,z)
o
L
y
x
M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面
x y 2 1 2 a b
x2 y2 2 1 2 a b
2
2
x 2 py
2
4.特殊的平面
Ax By C 0
1.椭圆柱面
-2 Y 0 2 -1
X 0 1
2
x y 2 1 2 a b
2 2 f ( x0 y0 , z 0 ) 0 (1)
o x
M(x,y,z),有
f ( x 2 y 2 , z ) 0 (2)
若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。 故(2)式为此旋转曲面的方程。 故对曲线C:f(y,z)=0： 绕z轴旋转而成的曲面方程为
y2 z2 1, 9 4 x0
x2 z2 1, 16 4 y0
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所 得截痕的方程是
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
M ( x, y , z ) , 过点M的母线交准线于点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ), 则有
x x0 t y y0 t z z t 0
2 2 从而x 2 y 2 ( x0 y0 )t 2 R 2t 2 z0 t z2 2 2
f ( x 2 y 2 , z ) 0
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 f ( y, x 2 z 2 ) 0 类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐 标轴 旋转而成的旋转曲面的方程。
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
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5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
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( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
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2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
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3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
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y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
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x y z 2 1 2 a c
3.2柱面、锥面和旋转曲面
再设过点P的母线交准线圆于P1(x1,y1,z1)点,则过P1(x1,y1,z1)
的母线为 x x1 y y1 z z1
1
2 2 ,
且有
x12
( y1
1)2
( z 2 y1 2z1 3 0.
由上两式消去参数x1,y1,z1,即得所求圆柱面的方程 8x2 5y2 5z2 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 0
上的点(0,1,-1)为球心,点(0,1,-1)到已知点(1,-2,1)的距离 d 14
为半径的球面 x2 ( y 1)2 (z 1)2 14
与过已知点且垂直于轴的平面 x 2y 2z 3 0 的交线,
即准线圆的方程为
x2 ( y 1)2 (z 1)2 14, x 2y 2z 3 0.
2 2 2 1 1 2
13
1 (2)2 (2)2
再设P(x,y,z)为圆柱面上任一点,则由圆柱面的性质可得
d P0P v 13 v
也即
y 1 z 12 z 1 x 2 x y 12
2 2 2 1 1 2
13
1 (2)2 (2)2
解法2 利用圆柱面的特征性质求解.
因为轴的方向向量为v =(1,-2,-2),轴上的定点为 P0 (0,1, 1) ,而圆
柱面上有一个已知点为 P1(1, 2,1) ,所以 此点 P1(1, 2,1) 到轴的距离为
P0P1 (1, 3, 2)
,因
d P0P1 v v
3 2 2 2 1 2 1 3 2
3.2.1 柱面 (Cylindrical surfaces)
常见曲面方程总结
常见曲面方程总结
一、平面方程
平面方程可以写成 x = a 和 y = a 的形式，其中 a 是常数。
这个方程表示的是平面上的任意一点 P(x, y) 与原点 O(0, 0) 的距离相等。
二、柱面方程
柱面方程可以写成 z = f(x, y) 的形式，其中 f(x, y) 是常数。
这个方程表示的是柱面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点(x, y) 的距离相等。
三、锥面方程
锥面方程可以写成 z = g(x, y) 的形式，其中 g(x, y) 是常数。
这个方程表示的是锥面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点(x, y) 的距离相等。
四、旋转曲面方程
旋转曲面方程可以写成 f(x, y, z) = 0 的形式，其中 f(x, y, z) 是常数。
这个方程表示的是旋转曲面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点 (x, y) 的距离相等。
五、二次曲面方程
二次曲面方程可以写成 f(x, y, z) = 0 的形式，其中 f(x, y, z) 是二次函数。
这个方程表示的是二次曲面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点 (x, y) 的距离相等。
以上就是常见曲面方程的总结。
读者可以通过学习这些方程，了
解常见曲面的特点和应用，从而更好地理解和应用曲面。
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
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l
S
旋转曲面方程的表示： 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的 一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只 需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余 两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
例 1 将双曲线
y2 z2 2 2 1 :b c x 0
绕
z
z 轴旋转
x, y, z 0 叫 次齐次方程.
f x, y,叫做 z
锥面的判定定理
定理 一个关于 x, y, z 的（正数次）齐次方程 总表示顶点在坐标原点的锥面。（反之亦然） 推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的（正数次）
齐次方程表示顶点 在 x0 , y0 , z0 的锥面（反之 亦然）
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线， 所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲柱面，抛物 柱面，统称为二次柱面.
z z z y
O
o
y
x
o
x
y x
锥 面
锥面的概念
o b
y
将双曲线
z
y2 z2 2 2 1 :b c x 0 绕 轴旋转
z
o b
y
.
x2 y2 z2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y
例 2 将双曲线 y2 z2 2 2 1 :b c x 0
b
绕
y
轴旋转
0
z
将双曲线
y2 z2 2 2 1 :b c x 0
x y z 2 2 1 2 a b b
长形旋转椭球面
2 2 2
z
例6 （2）
将椭圆
x2 y2 2 2 1 :a a b b z 0
y
绕短轴（即 y 轴）旋转
扁形旋转椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b a
o a
x
b
z
练习
作出曲面 z x y 和 x y z 所围立体图形
z 1
0
1
y
x
–1
平面的一般方程
定理 空间中任一平面的方程都可以表示成一 个关于变量 x,y,z 的一次方程；反过来，每一 个关于变量 x,y,z 的一次方程都表示一个平面， Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程。
几种特殊情形讨论：
ⅰ）当且仅当 D＝0 ， Ax+By+Cz=0 平面通过原点。
z
.
.
y
o
旋转抛物面
x
x2 y 2 2 pz
z
o
a
b
y
2 2 2 例5 将圆 y b z a : b a 0 x 0 绕 z 轴旋转
z
o
y
.
x
例5 将圆 旋转
2 2 2 y b z a : b a 0 x 0
ⅲ）当A，B，C 中有两个为 0 时 当且仅当 B=C=0，① D≠0, 平面Ax+D=0平行于 yOz 平面； ② D＝0，平面Ax=0 即为 yOz 平面 。 A=C=0，① D≠0, 平面By+D=0平行于 xOz 平面； ② D＝0，平面By=0即为 xOz 平面。 A=B=0，① D≠0, 平面Cz+D=0平行于 xOy平面； ② D＝0，平面Cz=0即为xOy平面。
绕z轴
z
环面
o
y
.
x
2 2 2 y b z a . .0 : b a 例5 将圆 绕 z 轴旋转 x 0
例6 （1）将椭圆
x2 y2 2 2 1 :a a b b z 0
y
o b
a
x
绕长轴（即 x 轴）旋转
定义 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族
直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥
面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫
做锥面的准线。
准线 母线
顶点
定义 设
f tx, ty, tz t f x, y,，那么 z
为 实数，对于函数 f x, y, z ，如果有
次齐次函数， f
ⅱ）当A,B,C 中有一为0 当且仅当 C=0, ①D≠0时, 平面Ax+By+D=0 平行于z 轴； ②D＝0时，平面Ax+By=0 通过z 轴。 A=0, ①D≠0时,平面By+Cz＋D=0 平行于x 轴； ②D＝0时，平面By＋Cz=0 通过x 轴。 B=0，①D≠0时,平面Ax+Cz＋D=0 平行于y轴； ②D＝0时，平面Ax＋Cz=0 通过y 轴。
2 2 ( x y ) dv , 例 计算三重积分
面z
解
x 2 y 2 与平面 z H ( H 0) 所围成。
z
其中 是由曲
H H
o
x
y
旋转曲面
l
定义
在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲
面 S称为旋转曲面
Γ 称为旋转曲面的母线
.
l 称为旋转曲面的旋转轴
y
b
x
绕
.
y
轴旋转
0 z
y2 x2 z2 2 2 1 2 b c c
双叶旋转双曲面
例3 将抛物线
y 2 pz : x 0 绕它的对称轴旋转
2
z
o
y
例3 将抛物线
y 2 pz : x 0
2
z
绕它的对称轴旋转
.
o
y
x
例4 将抛物线 2 y 2 pz : x 0 绕它的对称轴旋转
线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.
z母线Βιβλιοθήκη v准线0
y
准线
x
柱面举例：
z
平面
o
y
x
y x
平面方程：
y x
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
z
o
x
y
柱面的判定定理
定理 在空间直角坐标系中，只含有两个元 （坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱 面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名 坐标轴。
柱面
cylinder
一、柱面的概念
定义 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 每一条直线，都叫做柱面的母线. 那族平行直线中的
定方向叫做柱面的方向， 行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder），
v
准线
母线
说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母