重点高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
高考数学三角函数诱导公式(大全)
高考数学三角函数诱导公式（大全）导语：磋砣莫遗韶光老，人生惟有读书好下面是为大家的，数学公式，希望对大家有所帮助,欢送阅读，，更多相关的知识，请关注FLA学习网!1三角函数诱导公式之常用公式公式本质:所谓三角函数诱导公式，就是将角n?(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-co sαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数高中数学诱导公式大全
三角函数高中数学诱导公式大全三角函数是高中数学中的重要内容，它与三角形的关系密切，广泛应用于各个学科中。
掌握三角函数的诱导公式对于解决各种问题是非常有帮助的。
下面我们就来详细介绍一些三角函数的诱导公式。
1.正弦函数的诱导公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2.余弦函数的诱导公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBcos2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2AcosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3.正切函数的诱导公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)4.余切函数的诱导公式：cot(A + B) = (cotAcotB - 1) / (cotB + cotA)cot(A - B) = (cotAcotB + 1) / (cotB - cotA)cot2A = cot^2A - 2cotA / (cot^2A - 1)cotA + cotB = cotAcotB - 1 / (cotA + cotB)cotA - cotB = cotAcotB + 1 / (cotB - cotA)这些诱导公式可以帮助我们在计算三角函数的复杂表达式时，将其化简为更简洁的形式。
高一数学必修4三角函数诱导公式
高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。
下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角函数诱导公式
cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式二
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
公式二
公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
公式三
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
xx
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式四）
0~π 锐角
例题
例2
化简：
s
cos in
180 180
sin 360 cos 180
．
1.诱导公式
小结
函数名不变，符号看象限
2.做题规律
（公式三）
（公式一）
（公式二）
负角
正角 k 2 0~2π
（公式四）
0~π 锐角
课后活动
诱导公式
• 大家对 0 ~ 90的 三角函数值非常熟悉. • 本节课的目的就是用 0 ~ 90的三角函数值
来求任意角的三角函数值.
课中活动
？
sin 2100 sin(1800 300 ) sin 300
cos1350 cos( 180 0 450 ) ？cos 450
？
和
公式二
sin y
• P29 2 ，3 • 完成P15“新知导学”的预习
三角函数诱导公式大全_高中数学三角函数诱导公式知识点
三角函数诱导公式大全_高中数学三角函数诱导公式知识点
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛。
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高中数学三角函数诱导公式知识点总结
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【高中数学必修四】专题1.3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式1．诱导公式的内容公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π+α）=sin α （k ∈Z ） cos （2k π+α）=cos α （k ∈Z ） tan （2k π+α）=tan α （k ∈Z ）公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）= –sin α cos （π+α）=–cos α tan （π+α）= tan α公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）： sin （–α）=–sin α cos （–α）= cos α tan （–α）=–tan α公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系： sin （π–α）= sin α cos （π–α）=–cos α tan （π–α）=–tan α 公式五：任意角α与2π–α的三角函数值之间的关系： sin （2π–α）=cos α cos （2π–α）=sin α 公式六： 任意角α与2π+α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）=cos αcos （2π+α）=–sin α 推算公式：23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）=–cos α sin （23π–α）=–cos α cos （23π+α）=sin α cos （23π–α）=–sin α 2．诱导公式的规律三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在象限________的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin （360°＋120°）＝sin120°，sin （270°＋120°）＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．学！科网 3．诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数―――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360° 0°到360°的三角函数――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数K 知识参考答案：2．不变锐角原三角函数值3．锐角1．诱导公式的简单应用【例1】sin585°的值为A ．－22B ．22C ．－32D ．32【答案】A【解析】sin585°=sin （360°+180°+45°）=sin （180°+45°）=－sin45°=－22．故选A ． 【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视． 【例2】已知21cos cos 2αα+=，若()3tan π4αα-=，是第二象限角，则1ππsin sin 22αα+-⋅=A ．910B ．5C ．109D ．10【答案】D【名师点睛】（1）化简三角函数式的结果要求所含三角函数名称最少，次数最低，含有特殊角的要写出出函数值．（2）对含有kπ±α（k∈Z）形式的角，要对k的奇偶性分类讨论．2．应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3–α与π6+α；π3+α与π6–α；π4+α与π4–α等．②常见的互补的角：π3+θ与2π3–θ；π4+θ与3π4–θ等．【例3】下列关系式中正确的是A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°【答案】C【解析】∵cos10°=sin80°，sin168°=sin（180°–12°）=sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°．故选C．【例4】求证：()()()()()π11πsin2πcosπcos cos229πcosπsin3πsinπsin2αααααααα⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+⎪⎝⎭=–tanα【答案】答案详见解析【解析】左边=()()()()sin cos sin sincos sin sin cosαααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tanα=右边，∴等式成立．【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．1．sin2012°=A ．sin32°B ．–sin32°C ．sin58°D ．–sin58°2．若sin （π–θ）<0，tan （π–θ）<0，则角θ的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．27πlog cos 4⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为A ．–1B ．12-C ．12D 2 4．sin13π6等于 A ．3 B ．–12C ．12D 3 5．sin330°=A ．12B ．–12C 3D ．3 6．如果sin （π–α）=13，那么cos （π2+α）等于A ．–13B ．13C 22D ．227．已知cos （π2+α）5，且|α|<π2，则tan α等于A ．–2B ．–12C ．2D ．128．计算：sin 2π3=A ．3B 3C 2D ．2 9．计算sin （π–α）+sin （π+α）=A ．0B ．1C ．2sin αD ．–2sin α10．8πtan3的值为 A 3 B ．3 C 3 D ．311．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan （π+α）的值是A．4 3B．34C．43-D．34-12．已知()1sinπ2α-=-，则sin（–2π–α）=____________．13．已知sin（π2+α）=35，α∈（0，π2），则sin（π+α）=____________．14．已知()3sin30α︒+=，则cos（60°–α）的值为A．12B．12-C3D．3 15．如果A为锐角，()()1sinπcosπ2A A+=--，那么=A．22B．22C3D．316．若()5cos2πα-且π2α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则sin（π–α）A．5B．23-C．13-D．23±17．已知π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cosπ4α⎛⎫-⎪⎝⎭=A．725B．925C．1625D．242518．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x–y=0上，则()()3πsin cosπ2πsin sinπ2θθθθ⎛⎫++-⎪⎝⎭⎛⎫---⎪⎝⎭=A．–2 B．2C．0 D．2319．化简；（1）()()()()()sin πsin 2πcos π3πsin 3πcos πcos 2αααααα+---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（2）cos20°+cos160°+sin1866°–sin （–606°）20．计算：sin 25π26πcos63++tan （25π4-）21．已知f （α）=()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭--- （1）化简f （α）（2）若α是第二象限角，且cos （π2+α）=–13，求f （α）的值．22．已知α为第三象限角，()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----（1）化简f（α）（2）若3π1 cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，求f（α）的值．学-科网23．已知tan（π–α）=–3，求下列式子的值：（1）tanα；（2）()()()()sinπcosπsin2πcosπ3πsin cos22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．24．（2016上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x–π3）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为A．1 B．2 C．3 D．425．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=___________．26．（2017上海）设a 1、a 2∈R，且()121122sin 2sin 2a a +=++，则|10π–a 1–a 2|的最小值等于___________．27．（2016四川）sin750°=___________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B A A B A D 11 14 15 16 17 18 24 DCDBBBB1．【答案】B【解析】sin2012°=sin （5×360°+212°）=sin212°=sin （180°+32°）=–sin32°．故选B ．4．【答案】C 【解析】sin 13π6=sin （2π+π6）=sin π162=．故选C ． 5．【答案】B【解析】sin330°=sin （270°+60°）=–cos60°=–12．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵sin （π–α）=sin α=13，那么cos （π2+α）=–sin α=–13，故选A ．7．【答案】A 【解析】由cos （π2+α）=5，得–sin α=5，即sin α=5，又|α|<π2，∴–π02α<<，则cos α2251sin α-，则tan α=5sin 15cos 225αα==-．故选A ．8．【答案】B【解析】sin 2π3=sin（π–π3）=sinπ33=．故选B．9．【答案】A【解析】sin（π–α）+sin（π+α）=sinα–sinα=0．故选A．10．【答案】D【解析】∵tan 8π3=tan（3π–π3）=–tanπ3=–3．故选D．11．【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sinα=35，∴cosα=–21sinα-=–45，∴tanα=sincosαα=–34，则tan（π+α）=tanα=–34．故选D．14．【答案】C【解析】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）3，故选C．15．【答案】D【解析】∵sin（π+A）=–sin A=–12，∴sin A=12，又A为锐角，∴A=π6；∴cos（π–A）=–cos A=–cosπ6=3．故选D．16．【答案】B【解析】∵cos（2π–α）=cosα5，α∈（–π2，0），∴sinα=21cosα-=–23，则sin（π–α）=sinα=–23．故选B．17．【答案】B【解析】∵π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222πsin 4ππsin cos 44ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221πcos 41πsin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭21191162511π9tan 4α==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选B ． 18．【答案】B【解析】由已知可得，tan θ=2，则原式=cos cos 2cos sin 1tan θθθθθ---=--=2．故选B ．20．【答案】–1【解析】sin 25π26πcos 63++tan （25π4-） =π2ππsin 4πsin 8πtan 6π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =π2ππ11sin cos tan 1163422+-=--=-． 21．【答案】（1）f （α）=cos α；（2）()22f α=． 【解析】（1）f （α）=()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos πsin πcos sin αααααααααα⎛⎫--- ⎪⋅⋅-⎝⎭=----⋅=cos α． （2）α是第二象限角，且cos （π2+α）=–sin α=–13，∴sin α=13， ∵α是第二象限角，∴()222cos 1sin f ααα==--=．22．【答案】（1）f （α）=–cos α；（2）f （α）． 【解析】（1）∵α为第三象限角，∴()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- =()()()cos sin tan tan sin ααααα---=–cos α． （2）∵3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴–sin α=15，解得sin α=–15， ∴可得cos α=． ∴f （α）=–cos α． 23．【答案】（1）3；（2）–4．【解析】（1）∵tan （π–α）=–tan α=–3，∴tan α=3．（2）()()()()sin πcos πsin 2πcos π3πsin cos 22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos sin cos cos sin αααααα+++=- 2sin 2cos cos sin αααα+=-2tan 21tan αα+=- 813=-=–4． 24．【答案】B【解析】∵对于任意实数x 都有sin （3x –π3）=sin （ax +b ），则a =±3．若a =3，此时sin （3x –π3）=sin （3x +b ），此时b =–π3+2π=5π3，若a =–3，则方程等价为sin （3x –π3）=sin （–3x +b ）=–sin （3x –b ）=sin （3x –b +π），则–π3=–b +π，则b =4π3，综上满足条件的有序实数组（a ，b ）为（3，5π3），（–3，4π3），共有2组，故选B ．25．【答案】13【解析】∵在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=13，∴sinβ=sin（π+2kπ–α）=sinα=13．故答案为：13．27．【答案】1 2【解析】sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=12，故答案为：12．。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255 B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全(1).正弦定理：a²=b²+c²–2bc·cosAb²=a²+c²–2ac·cosBc²=a²+b²–2ab·cosC(2).余弦定理：a/cosA=b/cosB=c/cosC(3).正切定理：a·tanA=b·tanB=c·tanC(4).正弦函数诱导公式：sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinBsin(A-B)=sinA·cosB-cosA·sinBsin(2A)=2sinA·cosAsin(-A)=-sinAcos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinBcos(A-B)=cosA·cosB+sinA·sinBcos(2A)=cos²A-sin²Acos(-A)=cosA(5).余弦函数诱导公式：cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinBcos(A-B)=cosA·cosB+sinA·sinBcos(2A)=cos²A-sin²Acos(-A)=cosAsin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinBsin(A-B)=sinA·cosB-cosA·sinBsi n(2A)=2sinA·cosAsin(-A)=-sinA(6).正切函数诱导公式：tan(A+B)= (tanA+tanB)(1–tanA·tanB) tan(A-B)= (tanA–tanB)(1+tanA·tanB) tan(2A)=2tanA/(1–tan²A)tan(-A)=-tanA(7).反正弦函数诱导公式：arcsinX=arcsinpx+2nπarccosX=π/2+arcsinpx+2nπarctanX=arctanpx+2nπ(8).反余弦函数诱导公式：arcsinX=π/2-arccosXarccosX=arccospx+2nπarctanX=π/2+arccospx+2nπ(9).反正切函数诱导公式：arcsinX=arctanX+2nπarccosX=π/2-arctanX+2nπarctanX=arctanpx+2nπ(10).双曲正弦函数诱导公式：sinhA=sinhpA+2nπcoshA=coshpA+2nπtanhA=tanhpA+2nπ(11).反双曲正弦函数诱导公式：arcsinhX=arcsinhpX+2nπarccoshX=arccoshpX+2nπ。
高一数学必修四三角函数诱导公式总结
精心整理高一数学必修四三角函数诱导公式总结【公式一：】设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：cot(π+α)=cotα【公式三：】任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα【公式六：】π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)【函数复习资料】一、定义与定义式：三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x 轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：于;达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
与。
高一数学必修四诱导公式
⾼⼀数学必修四诱导公式 诱导公式是⾼中数学学习的常⽤公式，数学必修四需要记忆的诱导公式有哪些呢？下⾯是店铺为⼤家整理的⾼⼀数学必修四诱导公式，希望对⼤家有所帮助! ⾼⼀数学必修四诱导公式⼤全 公式⼀： 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式⼆： 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意⾓α与 -α的三⾓函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐⾓来做会⽐较好做。
人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_三角函数的诱导公式_提高
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2 ± α , π ± α的正弦、余弦、正切)；诱导公式五： sin ⎛ π- α ⎪ = cos α ， cos - α ⎪ = sin α ，其中 k ∈ Z + α ⎪ = cos α ， cos + α ⎪ = - sin α ，其中 k ∈ Z诱导公式六： sin ；4 ⎭ = cos - x ⎪ = cos x - cos x + = sin - x ⎪ . ⎪ ； ⎪ ⎛ π ⎫ π ⎫ 精品文档 用心整理人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式( π 2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.【要点梳理】要点一：诱导公式诱导公式一： s in(α + 2k π ) = sin α ， cos(α + 2k π ) = cos α ， tan(α + 2k π ) = tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式二： sin(π + α ) = - sin α ，cos(π + α ) = - cos α ， tan(π + α ) = tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式三： sin(-α ) = - s in α ，cos(-α ) = cos α ， tan(-α ) = - tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式四： s in(π - α ) = sin α ， cos(π - α ) = - cos α ， tan(π - α ) = - tan α ，其中 k ∈ Z⎫ ⎛ π ⎫⎝ 2⎭⎝ 2⎭⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫⎝ 2⎭⎝ 2⎭要点诠释：(1)要化的角的形式为 k ⋅ 90 ± α ( k 为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”(4) sin x + ⎝π ⎫ ⎪⎛ π ⎫ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎫⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭要点二：诱导公式的记忆记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” 意思是说角 k ⋅ 90 ± α ( k 为常整数)的三角函数值：当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α 的三角函数值前面加上当视α 为锐资料来源于网络仅供免费交流使用（1）sin25π()()⎛【答案】（1）0（2）-2+23【解析】（1）原式=sin(4π+π)+cos(8π+)-tan(6π+)精品文档用心整理角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【三角函数的诱导公式385952例2】例1．求下列各三角函数的值：25π25π+cos+tan(-)；634（2）cos-585-tan-300（3）sin2 13π⎝2⎫⎛21π⎪-cos2⎭⎝4⎫⎛31π⎫⎪+6tan210π-cot2 ⎪⎭⎝3⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．1（3）26ππ634=sin π6+cosπ-tan3π411=+-1=022（2）原式=cos(180+45)+tan(360-60) =-cos45-tan60资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】（1） sin - π ⎪ ；（2） cos π ；（3）tan （－855°）． 【答案】（1）33π ⎪ = - sinπ = - sin ⎛2π + 【解析】（1） sin - 3 = - sin π + ⎪ = - - sin ⎪ = sin = 3 ⎭ π ⎫ π = cos ⎛ 4π + = cos π + 7π ⎫ 7π ⎛ = cos 6 6 π ⎫π 3 = - cos =-6 ⎭ 6 2b f精品文档 用心整理= - 2 + 2 32（3）原式= sin 2 (6π + π π π) - cos 2 (5π + ) + 6 tan 10π - cot 2 (10π + )2 4 3= sin2π2 - cos 2π 4 + 6 tan 20 - cot 2π3 =1 - 1 1+ 0 -2 3= 1 6【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途 径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱 导公式就是这一转化的工具． 举一反三：⎛ 10 ⎫ 31⎝⎭63（2） - （3）1 2 2⎛ 10 ⎫ 10⎝ 3 ⎭ ⎝4π 3 ⎫ ⎪ ⎭ = - sin4π 3⎝⎝3 ⎭32⎛ ⎛ π ⎫ π 3．（2） cos316⎪⎝ ⎭ ⎝⎪．（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．例 2．已知函数 f ( x ) = a sin(π x + α ) + b cos(π x + β ) ，其中 a 、 、α 、β 都是非零实数，又知 （2009）=－1，求 f （2010）．【解析】 f (2009) = a sin(2009π + α ) + b cos(2009π + β )= a sin(2008π + π + α ) + b cos(2008π + π + β )=a sin(π+α)+b cos(π+β)=-a sinα-b cosβ=-(a sinα+b cosβ)．∵f（2009）=－1∴a sinα+b cosβ=1．∴f(2010)=a sin(2010π+α)+b cos(2010π+β)资料来源于网络仅供免费交流使用- - 2 （2）原式 = = = 3 =-1 + 4【变式 2】已知 sin(π - α ) = 2 cos π + β ⎪ ， 3 cos( -α ) = - 2 cos(π + β ) ，且 0＜ α ＜π ，04 时， cos β = 32 精品文档 用心整理= a sin α + b cos β = 1 ．【总结升华】求得式子a sin α + b cos β = 1 ，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式 1】（2016 湖北孝感期末）已知角α 为第四象限角，且 tan α = -（1）求 sin α +cos α 的值；43（2）求sin(π - α) + 2cos( π + α)3 3sin( π - α )cos( π + α )2 2的值．1【答案】（1） - ；（2）－105【解析】（1）因为角α 为第四象限角，且 tan α = -43，∴ sin α = - 4 5 3,cos α = ，…5则 sin α + cos α = - 1．5sin α - 2cos α tan α - 2 - cos α - sin α -1 - tan α4 3- 103 = -10 ．13⎛ 3 ⎫ ⎝ 2 ⎭＜ β ＜π ，求 α 和 β 的值．【解析】由已知得 s in α = 2 sin β ， 3 cos α = 2 cos β ．两式平方相加，消去 β ，得 sin 2 α + 3cos 2 α = 2 ，∴ cos 2α = 1 2，而 0 < α < π ，∴ cos α = ±2 π 3π ，∴ α = 或 α = ． 2 4 4当 α = π 3 π ，又 0 < β < π ，∴ β = ；2 6当 α = 3π 5时， cos β = -，又 0 < β < π ，∴ β = π ． 4 6故 α = π 4 ， β = π6 或 α = 3π 5， β = π ．4 6资料来源于网络仅供免费交流使用【解析】(1)原式 = sinα - sin α - tan α②当 n =2k +1,k ∈Z 时，原式 = sin[α + (2k +1)π ] + sin[α - (2k +1)π ]tan (8π - α )⋅ s in (-α - 2π )（3） tan 2 ⎛ 2n + 1π + α ⎫⎪ - tan 2 ⎛π - α ⎫⎪ , (n ∈ Z ) 精品文档 用心整理类型二：利用诱导公式化简 例 3．化简(1) - sin(180 + α ) + sin(-α ) - tan(360 + α ) tan(α + 180 ) + cos(-α ) + cos(180 - α )；(2) sin(α + n π ) + sin(α - n π ) (n ∈ Z ) .sin(α + n π )cos( α - n π )【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 tan α =-= -1 ；tan α + cos α - c os αtan α(2)①当 n = 2k , k ∈ Z 时，原式 = sin(α + 2k π ) + sin(α - 2k π ) 2= .sin(α + 2k π )cos( α - 2k π ) cos α2=- .sin[α + (2k +1)π ]cos[α - (2k +1)π ] cos α【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；(2)关键抓住题中的整数 n 是表示π 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别，所以必须把 n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三：【变式 1】化简cos (α - π )⋅ cot (7π - α ) （1） ；（2） sinn π(n ∈ Z ) ；2 2n + 1⎝ 2⎭⎝ 2⎭（4） sin(k π - α )cos[( k - 1)π - α ] ， (k ∈ z) ．sin[(k + 1)π + α ]cos( k π + α ]【解析】（1）原式=cos(π - α ) cot(π - α )tan(2π - α ) [- sin(2π + α )]= cos α cot α(- tan α ) ⋅ (- sin α )= cot 3α资料来源于网络仅供免费交流使用= ⎨-1,(n = 4k + 3) ⎪0,( n = 2k ) sin + α ⎪ + 3cos α - ⎪ 例 4．设 tan α + ⎪ = m ，求证： ⎛ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ m + 3⎫ ⎛ αsin - α ⎪ - cos + ⎪7 ，sin ⎢π + π + α ⎪⎥ + 3cos ⎢ α + - 3π ⎥⎝ 7 ⎭⎦ 7 ⎭ sin ⎢4π - α + π ⎪⎥ - cos ⎢2π + α + ⎪8 ⎫⎤ ⎡ ⎦- sin α + - 3cos α+ tan α + ⎪+ 3 m + 3 7 ⎭ 7 ⎭7 ⎭ = = = 8π ⎫ ⎛ α 8π ⎫ ⎛ α ⎛ α - sin + ⎪ - cos + ⎪ ⎪ + 1tan + 8π ⎫ 8π ⎫7 ⎭ 7 ⎭= m ，得 tan α + ⎪ = m ， ⎛ 精品文档 用心整理（2） sin⎧1,(n = 4k + 1)n π ⎪2⎩（3）原式= cot 2 α - cot 2 α =0（4）由(k π + α )+(k π ― α )=2k π ，[(k ―1)π ― α ]+[(k+1)π + α ]=2k π ，得 cos[(k - 1)π - α ] = cos[(k + 1)π + α ] = - cos(k π + α ) ，sin[(k + 1)π + α ] = - sin(k π + α ) ．故原式 = - sin(k π + α )[- cos(k π + α )]= -1 ．- sin(k π + α )cos( k π + α )【总结升华】 常见的一些关于参数 k 的结论：（1） sin(k π + α ) = (-1)k sin α (k ∈ Z ) ；（2） cos(k π + α ) = (-1)k cos α (k ∈ Z ) ；（3） sin( k π - α ) = (-1)k +1 sin α (k ∈ z) ；（4） cos(k π - α ) = (-1)k cos α (k ∈ Z ) ．类型三：利用诱导公式进行证明⎛ 15π ⎫ ⎛ 13π ⎫= ⎝ 7 ⎭ ⎛ 20π22π ⎫ m + 1 ⎝ ⎭ ⎝7 ⎭ ．【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简” 从左边到右边的方法．【证明】证法一：左边 = ⎡ ⎛ 8 ⎫⎤ ⎡⎛ 8π ⎫ ⎤⎣ ⎣⎝ ⎦⎡ ⎛ ⎛ 8π ⎫⎤⎛ ⎛ ⎛ 8π ⎫ ⎪⎪⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝7 ⎭∴等式成立．8π ⎫ m + 1=右边．证法二：由 tan α +⎝8π 7 ⎫ ⎛ ⎪ ⎭ ⎝ π ⎫ 7 ⎭资料来源于网络 仅供免费交流使用sin ⎢2π + + α ⎪⎥ + 3cos ⎢2π + + α ⎪⎥ sin ⎢2π + π - + α ⎪⎥ - cos ⎢2π + π + + α ⎪⎥ ⎡ ⎝ 7 ⎭⎦⎡ ⎝ 7 ⎭⎦sin + α ⎪ + 3cos + α ⎪ sin ⎢π - + α ⎪⎥ - cos ⎢π + + α ⎪⎥ sin + α ⎪ + 3cos + α ⎪ sin + α ⎪ + cos + α ⎪ ⎡ ⎝ 7 ⎭⎦tan + α ⎪ + 3tan + α ⎪ + 1 A⎛ π B + C ⎫ ⎛ B + C ⎫2 2 ⎭ = tan - ⎪ = cot =右边，等式得证．2sin θ - cos θ + ⎪ - 1tan(9π + θ ) + 1 2 ⎭ 2 ⎭ ⎝ ⎝3π ⎫ =⎛ 3π θ ⎫ ⎛ π θ ⎫⎤ -2sin - ⎪ ⋅ (- sin θ ) - 1 2sin ⎢π +- ⎪⎥ sin θ - 1 ⎝ 2 ⎭ ⎣ ⎝ 2 ⎭⎦π ⎪ = =∴左边 = 精品文档 用心整理⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦ ⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦= ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ ⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦= ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭⎛ π ⎫⎝ 7 ⎭m + 3 = = =右边，⎛ π ⎫ m + 1 ⎝ 7 ⎭∴等式成立．举一反三：【三角函数的诱导公式 385952 例 4 】【变式 1】设 A 、B 、C 为 ∆ABC 的三个内角，求证： （1） sin (A + B ) = sin C ；（2） sin A B + C = cos2 2；A +B C（3） tan= cot 2 2【解析】（1）左边= sin( A + B) = sin(π - c) = sin C =右边，等式得证．（2）左边= sin = sin = cos - ⎪ = cos ⎪ =右边，等式得证．2 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎭（3）左边= tanA +B 2 ⎛ πC ⎫ C⎝ 2 2 ⎭ 2⎛ ⎛ π ⎫ ⎪【变式 2】求证：．1 - 2sin2 (π + θ ) tan(π + θ ) - 1证明：∵左边 =⎡ = 1 - 2sin 2 θ 1 - 2sin 2 θ-2sin ⎛ - θ ⎫ sin θ - 1⎝ 2 ⎭-2cos θ sin θ - 1 (sin θ + cos θ )2 sin θ + cos θ= = ，1 - 2sin2 θ cos 2 θ + sin 2 θ - 2sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ sin θ - cos θ资料来源于网络仅供免费交流使用右边 = tan(9π + θ ) + 1 （2）若 α 是第三象限角，且 c os(α - 3π（2）由 cos(α - 3π s(π -61500 (- 3 )4 2 1 8精品文档 用心整理tan θ + 1 sin θ + cos θ= = ，tan(π + θ ) - 1 tan θ - 1 sin θ - cos θ∴左边=右边，故原式得证．类型四：诱导公式的综合应用例 5 ． （ 2015秋 浙 江 岱山 县 月 考 ）f (α = )π - i α n( - π ) α - c o - α s+ π α - - α π（1）化简 f (α ) ；1) = ，求 f (α ) 的值； 2 5（3）若 α =－1860°，求 f (α ) 的值．【思 路 点 拨 】 （ 1 ） 利 用 诱 导 公 式 对f (α ) = sin(π - α )cos(2 π - α ) tan(-α - π ) tan(-π + α )sin( -α - π ) 化简即可；1) = ， α 是第三象限，即可求得 f (α ) 的值； 2 5（3）由于 α =－1860°=―1800°―60°，利用诱导公式即可求得 f (α ) 的值．sin 4 α 9【答案】（1） -；（2） f (α ) = ；（3） -cos α 8【解析】（1）∵ f (α ) = sin(π - α )cos(2 π - α ) tan(-α - π ) tan(-π + α )sin( -α - π )sin 4 α = sin α cos α ⋅ (- tan α )[-(- tan α )] ⋅ s in α = -；cos α（2）∵ cos(α - 3π 1) = ，2 5∴ sin α = - 1 5，又 α 是第三象限角，∴ cos α = - 2 6 5，∴ f (α ) =6；1500（3）∵ α =－1860°，∴ f (α ) = f (-1860︒) = - sin 4 (-1860︒)cos(-1860︒)=- 9=- ．2【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函资料来源于网络仅供免费交流使用⎪ +cos ⎛π ⎫ ⎪ ，求 f ⎛ π - α ⎪ 的值．cos(α + β ) = cos ⎢ - (α - β )⎥ ，又 α 、 β 均为锐角．⎛于是， f - α ⎪ = sin + cos 0 = 2 ．精品文档 用心整理数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三：【变式 1】已知α 、 β 均为锐角，cos(α + β ) = sin(α - β ) ，若 f (α) =sin α +⎝⎫⎝ 2 ⎭【解析】由 cos(α + β ) = sin(α - β ) 得⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦π ⎫ 4 ⎭则 α + β =π 2 - (α - β ) ，即 α = π4 ．⎛ π ⎫π ⎝ 2 ⎭2资料来源于网络仅供免费交流使用。
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重点高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)
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2
3 三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】 1．诱导公式二 (1)
角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
【常考题型】
题型一、给角求值问题
【例1】求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos
119π
6.
[解](1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
3
2；
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
(3)cos
119π
6＝cos⎝
⎛
⎭
⎫
20π－
π
6＝cos⎝
⎛
⎭
⎫
－
π
6＝cos
π
6＝
3
2.
【类题通法】
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【对点训练】
求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝
2
2×
3
2－
3
2×
1
2－1＝
6－3－4
4.
题型二、化简求值问题
【例2】(1)化简：
cos(－α)tan(7π＋α)
sin(π－α)
＝________；
(2)化简
sin(1 440°＋α)·cos(α－1 080°)
cos(－180°－α)·sin(－α－180°)
.
4
5
(1)[解析] cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)
＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1
(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α
＝－1. 【类题通法】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
【对点训练】
化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)
. 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)
＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题
【例3】 (1)已知sin β＝13
，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1
B ．－1 C.13 D ．－13
(2)已知cos(α－55°)＝－13
，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，
∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13
. [答案] D
(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13
<0，且α是第四象限角．
6 ∴α－55°是第三象限角． sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223
. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223
. 【类题通法】
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【对点训练】
已知sin(π＋α)＝－13
，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝13
，所以α是第一象限或第二象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223
， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223
. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223
， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223
. 【练习反馈】
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭
⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )
A ．－255
B ．－55
7
C.55
D.255
解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－
55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55
. 2．已知sin(π＋α)＝45
，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35
B.35 C ．±35 D.45
解析：选B sin α＝－45
，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35
. 3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)
＝________. 解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，
∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －1
4.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)
的值是________． 解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)
＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)
＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12
＝2－2. 答案：2－2
8 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝
⎛⎭⎫α＋5π6的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝
⎛⎭⎫α＋5π6＝ －cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33
.。