旋转曲面
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
4.3旋转曲面
绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f y,
x2 z2 0
o
y
x
xoz平面上的曲线 C f ( x , z ) 0 y0 绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f
o
z
C y
x, y2 z2 0
x
xoy平面上的曲线
f ( x, y ) 0 C z0
所求旋转曲面方程为
x y z 2 2 2 1 2 a a a b
2 2 2
x
P
M0
M
l1
这是由 xoz平面上的双曲线
x z 2 2 1 2 a a b y0
2 2
l2
y
O
z
x
绕z轴旋转而成的 单叶旋转双曲面.
z
y
写出下列旋转曲面的方程 (1) 母线
4 x 2 9 y 2 36 : z0
z0 z
2 0
2 2
y x y z z0 0 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 0 0 0 y0 x 2 y 2 f ( y0 , z0 ) 0 x0 0 f x 2 y 2 , z 0 为S的方程
v i ( 1,0,0 ) 1X 0Y 0Z 0 X 0 v ( 0,Y , Z ) k (0,0,1) Y 0 可设 v ( 0,1, b )
故 l1 的方程为
x a y z 1 b 0
x a y z 设 l1 绕 l2 旋转,所成旋转曲面S l1 : 0 1 b x l1 M ( x , y , z ) 旋转曲面S P M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l1 使得 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) k (0,0,1) M ( x, y, z )
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面的侧面积公式是通过求解曲线在绕某条轴旋转一周所得到的曲面的侧面积。
具体公式如下：
侧面积S = 2π∫[a,b] f(x)√(1 + f'(x)²) dx
其中，f(x)是曲线的方程，f'(x)表示f(x)的导数。
这个公式可以通过对曲线在x轴上的一小段弧长进行积分求得，并考虑到旋转所得到的曲面的半径为f(x)。
√(1 + f'(x)²)是因为旋转曲面侧面上的每一点都可以看作是曲线在这一点的切线，所以在计算侧面积时需要考虑该点的斜率。
拓展:
除了上述的旋转曲面侧面积公式，还存在其他带有复杂形式的旋转曲面侧面积公式。
例如，当曲线方程为参数方程形式时，可以使用如下公式计算旋转曲面的侧面积：
S = 2π∫[t1, t2] y(t)√(x'(t)² + y'(t)²) dt
其中，x(t)和y(t)是曲线的参数方程。
x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)的导数。
此外，在计算侧面积时，还可以根据具体曲线方程和旋转轴的特性，采用其他数学方法进行求解。
空间几何旋转曲面方程记忆口诀
空间几何旋转曲面方程记忆口诀空间几何旋转曲面方程记忆口诀一、引子在学习空间几何的过程中，我们经常会遇到旋转曲面方程这一内容。
它们在三维空间中呈现出各种不同的形态，对于我们理解和掌握空间几何的知识至关重要。
但是，由于其复杂的形式和多样的变化，我们往往会感到困惑和不知所措。
本文将结合口诀的形式，带领大家逐步记忆和理解空间几何旋转曲面方程，希望对大家的学习能够有所帮助。
二、空间几何旋转曲面简介在空间几何中，旋转曲面是指直线或者曲线绕着一条轴线旋转而形成的曲面。
它们可以分为圆锥曲面、双曲面、抛物面等多种类型，每种类型又有不同的特点和方程形式。
而要深入理解和掌握这些旋转曲面的方程，我们首先需要记忆它们的具体形式和特点。
三、提出口诀为了更好地帮助大家记忆空间几何旋转曲面的方程，我特意设计了如下口诀，希望能够带给大家一些帮助：“圆锥曲面轴中心，双曲面两异心。
抛物面退化记，口诀带你追。
”四、口诀解读1. 圆锥曲面轴中心：圆锥曲面的方程一般形式为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)当圆锥曲面的轴与坐标轴重合时，即轴线通过空间坐标系的原点时，称之为轴中心圆锥曲面。
2. 双曲面两异心：双曲面的方程有两种形式，一般的双曲面方程为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)当双曲面有两个焦点且与坐标轴相交时称之为双曲面两异心。
3. 抛物面退化记：抛物面的一般方程为：\( z = ax^2 + by^2 \)当抛物面变化成简单曲线的时候，我们称之为抛物面退化。
五、口诀应用以上口诀为大家概括了圆锥曲面、双曲面和抛物面的方程形式和特点。
我们可以根据这些口诀，快速记忆和掌握各类旋转曲面的方程，帮助我们更好地理解和应用空间几何的知识。
六、个人观点对于空间几何旋转曲面方程的记忆，我认为口诀是一种非常有效且有趣的方式。
43旋转曲面定义431在空间一条曲线绕着定直线旋转一
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
旋转曲面知识点总结
旋转曲面知识点总结一、旋转曲面的概念旋转曲面是通过将一个曲线或者一个封闭曲线绕着某个轴进行旋转而形成的曲面。
简单来说，就是用一个曲线或者曲线围成的区域来绕着一条直线或者曲线旋转，就可以得到一个旋转曲面。
通常来说，绕直线旋转得到的曲面称为旋转抛物面，绕曲线旋转得到的曲面称为旋转曲线面。
二、旋转曲面的性质1. 旋转曲面是旋转对称的。
这意味着旋转曲面上的每一点都具有旋转对称性，即曲面上的任意一点和以曲面为轴的旋转曲面上的另一点关于曲面旋转中心对称。
2. 旋转曲面具有定向性。
这表示曲线或者曲线围成的区域旋转后得到的曲面具有确定的方向。
3. 旋转曲面是连续的。
这就是说曲线或者曲线围成的区域绕着轴旋转后，曲面上的点是连续的，并且形成了一个完整的曲面。
三、旋转曲面的参数方程求解旋转曲面的参数方程通常可以分为两种情况：一种是绕直线旋转得到的旋转抛物面，一种是绕曲线旋转得到的旋转曲线面。
1. 绕直线旋转得到的旋转抛物面设直线为z轴，旋转曲面为曲线y=f(x)绕z轴旋转得到的曲面。
则可得到参数方程如下：x = r*cosθy = r*sinθz = f(r)其中，r为y轴到曲线f(x)的距离（注意r与polar coordinates中的r不同，不要混淆），θ为极角。
2. 绕曲线旋转得到的旋转曲线面如果是曲线y=f(x)绕曲线y=g(x)旋转得到的曲面，则参数方程如下：x = g(x)*cosθy = g(x)*sinθz = f(x)其中，g(x)是旋转曲线的参数方程，f(x)是曲面的参数方程，θ为极角。
四、旋转曲面的表面积和体积1. 旋转曲面的表面积计算旋转曲面的表面积通常可以使用定积分进行求解。
对于绕x轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫a^b f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx对于绕y轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫c^d x*g(x)*sqrt(1+(g'(x))^2)dx2. 旋转曲面的体积计算旋转曲面的体积同样可以使用定积分进行求解。
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
旋转曲面_精品文档
旋转曲面引言旋转曲面是3维几何中常见的一类曲面形式，它由一个曲线绕着一个轴进行旋转所生成。
旋转曲面在数学、几何学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍旋转曲面的定义、性质和应用，并举例说明其在现实生活中的实际应用。
定义旋转曲面是由一个曲线绕着一个轴旋转一周所形成的曲面。
具体地说，给定一个曲线 C 和一个轴线 L，如果将 C 绕着 L 旋转一周，相当于将曲线 C 中的每个点沿着一条与 L 垂直的直线移动，然后将所有移动后的点连接起来，就得到了旋转曲面。
旋转曲面的方程可以用参数方程或者隐式方程表示。
如果使用参数方程来表示旋转曲面，可以将旋转曲面上的点表示为 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中 (u, v) 是某个参数的取值。
常见的参数方程包括球坐标系和柱坐标系等。
性质旋转曲面具有许多有趣的性质。
首先，旋转曲面是一个连续的曲面，没有任何突变或断裂。
其次，旋转曲面具有对称性，即对于曲面上的每个点，如果对应于某一参数值的点旋转180度，那么这两个点关于轴线对称。
此外，旋转曲面也具有轴对称性，即曲面上的每个点关于轴线对称。
旋转曲面的形状取决于曲线和轴线的选择。
如果曲线是一个闭合曲线，如一个圆，那么旋转曲面将是一个闭合曲面，如一个球体。
如果曲线是一个直线段，那么旋转曲面将是一个圆柱体。
而如果曲线是一个非闭合曲线，如一个抛物线，那么旋转曲面将是一个卷曲曲面。
应用旋转曲面在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：旋转曲面是几何学研究中的重要工具。
它可以用来描述和分析平面几何、立体几何和曲线几何等问题。
通过研究旋转曲面的性质和变化，可以推导出许多几何学定理和结论。
2. 工程学：旋转曲面在工程学中有广泛的应用。
例如，工程师可以使用旋转曲面来描述和分析机械零件的形状和运动。
另外，在产品设计中，旋转曲面也常用于建模和制造。
3. 计算机图形学：旋转曲面是计算机图形学中常用的建模技术之一。
4.3：旋转曲面
z
绕 z 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
b
x2 y 2 z 2 2 1 2 b c
y
x
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
y
绕 y 轴一周
0
z
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
2
由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母 线来产生旋转曲面. 因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线 （显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线. 在直角坐标系下导出旋转曲面 的方程时，我们又常把母线所
M1
l
在平面取作坐标面而旋转轴取 作坐标轴，这时旋转曲面的 方程具有特殊的形式.
M
P0
设旋转曲面的母线为
P0
l
设 M1 ( x1 , y1 , z1 )是母线 上的任意点，那么过 M 1的 纬圆总可以看成是: 过 M 1 且垂直于旋转轴 l 的平面
与以 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为中心,
P0 M 1 为半径 的球面的交线.
M1
M
P0
所以过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬线的方程为：
（7）
（8）
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，所以又有
x1 y1 z1 1 2 1 0
即
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x1 y1 z1
x1 2 y1 ,
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.
球的旋转后的曲面表达式
球的旋转后的曲面表达式
平面曲线f(y，z)=0以Z为轴旋转一周，若y≥0，旋转曲面方程为f(√(x²+y²)，z)=0，若y<0，旋转曲面方程为f(-√(x²+y²)，z)=0。
旋转曲面方程
扩展资料
常见的曲面
1、球面
空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
（其中，定点称为球心，定长称为半径）
2、柱面
一条直线l沿着一个空间曲线C平行移动所形成的曲面。
（其中，
l称为母线，C称为准线）
方程：一个只含两个变量x，y的方程f(x,y)=0在空间中表示母线平行于z轴且准线为xOy面上的曲线f(x,y)=0的柱面。
（同理，方程
g(y,z)=0和h(x,z)=0在空间中分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面）
3、旋转面
一条曲线C绕一条直线l旋转所得的曲面。
（其中，曲线C为母线，直线l为旋转轴）
4、空间曲线
在直观上曲线可看成空间一个自由度的质点运动的轨迹。
5、投影柱面，投影曲线和投影
设空间曲线C，过曲线C上的每一点作xOy面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于z轴且过C的柱面，称之为曲线C关于xOy面的投影柱面。
这个柱面与xOy面的交线称为曲线C在xOy面上的投影曲线。
旋转曲面
z
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
o
y
.
x 例5
( y b )2 + z 2 = a 2 . 将圆 Γ : 绕 z 轴旋转. (b > a > 0) x = 0
环面
救生圈
.
y
例6 （1） ）
x2 y2 =1 + 将椭圆 Γ : a 2 b 2 ( a > b ) z = 0
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
.
b
x
0
z
y 2 x2 z 2 2 2 =1 2 b c c
双叶旋转双曲面
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
o
y
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
.
o
y
x
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y 例3 （2） ）
y2 z2 将双曲线 Γ : b 2 c 2 = 1 绕实轴 x = 0 （即 y 轴）旋转
旋转曲面方程的特点
旋转曲面方程的特点
1. 哇塞，旋转曲面方程的一个特点就是它形状好多样啊！就像我们手中的万花筒，轻轻一转就有各种奇妙的图案出现。
比如那个圆锥形，不就是绕着一条直线旋转出来的嘛！
2. 嘿，旋转曲面方程的连续性可强啦！这就好像是一场接力赛，一环扣一环，那么流畅自然。
像那旋转抛物面，多么顺滑的过渡呀！
3. 呀，旋转曲面方程还有个特点就是很有规律呢！如同每天的日出日落一样有迹可循。
比如说圆柱面，不就是简单规律的体现吗？
4. 哎呀，旋转曲面方程的对称性真的好有趣呀！就如同镜子中的影像，左右对称得那么完美。
像那个球，不就是典型的对称嘛！
5. 哇哦，旋转曲面方程的变化多端让人惊叹呀！这简直就和魔术一样神奇。
好比那旋转双曲面，各种不同的形态呈现出来。
6. 嘿呀，旋转曲面方程的独特性可是很鲜明的哟！就好像每个人都有自己独特的性格一样。
像一些特殊的旋转曲面，那就是独一无二的存在呀！
我的观点结论就是：旋转曲面方程真的是充满了神奇和魅力，有着众多独特且有趣的特点等待我们去进一步探索和发现呀！。
旋转曲面的面积极坐标
旋转曲面的面积极坐标
旋转曲面的面积：在区间[a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a，b]分割成n个小区间[xi-1，xi]，i=1，2，…n。
再用直线
x=xi，i=1，2，…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。
旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
比如：球面就是由圆绕着其直径转动而变成；环面就是由圆绕着外面的一条直线转动而变成。
纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线；旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线；任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
旋转曲面的方程特点
旋转曲面的方程特点旋转曲面是指由一个曲线绕着某一轴旋转而形成的曲面。
旋转曲面在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将从方程特点的角度，对旋转曲面进行详细介绍。
一、旋转曲面的定义二、旋转曲面的方程1. 柱面的方程2. 圆锥的方程3. 球体的方程4. 扭曲表面的方程三、旋转曲面的特点1. 对称性2. 曲率半径3. 面积和体积4. 积分计算四、结语一、旋转曲面的定义旋转曲面是由一个平面图形，以某条轴线为轴进行旋转所得到的空间图形。
这个平面图形可以是任何形状，包括圆形、椭圆形和多边形等。
二、旋转曲面的方程通过不同类型图形绕不同轴线所得到的旋转曲面，其方程也各不相同。
下文将对常见几种情况进行介绍。
1. 柱面的方程柱体是指一个平行于轴线且截距相等的长方体。
若将一个矩形绕着其中一条边所在的直线旋转一周，就可以得到一个柱面。
柱面的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 = r^2$$其中，r是旋转轴线到矩形边缘的距离。
2. 圆锥的方程圆锥是指以一个圆为底面，以一个点为顶点，通过连接底面和顶点而得到的曲面。
圆锥的方程可以表示为：$$z^2 = \frac{r^2}{h^2}(x^2 + y^2)$$其中，r是底面半径，h是高度。
3. 球体的方程球体是由绕着一个直线旋转一条弧线所得到的曲面。
球体的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$其中，r是球体半径。
4. 扭曲表面的方程扭曲表面是指由任意平面图形绕任意轴线旋转而得到的曲面。
扭曲表面没有特定公式可用于计算其方程，需要根据具体情况进行推导。
三、旋转曲面的特点1. 对称性旋转曲面具有轴对称性，在旋转轴线上的任意点，其左右两侧的形状是相同的。
这种对称性使得旋转曲面在计算中具有方便性。
2. 曲率半径旋转曲面的曲率半径取决于其绕轴线旋转时所用到的图形和轴线。
例如，圆锥和球体具有不同的曲率半径。
3. 面积和体积旋转曲面的面积和体积可以通过积分计算得到。
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解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
由以上两式，求得旋转曲面方程为
2 x 2 y 2 z 2 5 xy xz yz 5 x y z 7 0
返回
特殊的旋转曲面
F y, z 0 : 设旋转曲面母线为： x0 （1）母线在同一坐标平面内
O
绕虚轴（即 z 轴）旋转的旋转曲面方程 为
x y z 2 1 2 2 b b c
绕实轴（即 y 轴）旋转的旋转曲面方 程 为
2
2
2
x y
z
单 叶 旋 转 双 曲 面
y 2 x2 z 2 2 2 1 2 b c c
O
y
双叶旋转双曲面
x
例 4
将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴的旋转曲面的方程为
x2 y 2 2 pz
旋转 抛物面
x
O y
z
例5
将圆
2 y b z 2 a 2 : x0
b a 0
O b x
2
a B
y
绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
2 2 解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程 y b z a
2 2 中保留 z 不变，而 y 用 x y 代，就得圆绕
z 轴旋转而成的旋转曲面方程为
x y b
2 2
2
z2 a2
即
x
2
y z b a
2 2 2
2 2
4b2 x 2 y 2
3. 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
经线与母线有什么 区别与联系呢？
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求旋转曲面的方程
在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为
F1 x, y, z 0 : F2 x, y, z 0
旋转轴为直线
z
x x0 y y0 z z0 l: X Y Z
（2）旋转轴为坐标轴 x y z 于是我们可以得出：当坐标平面上的曲线 Γ 绕此坐 旋转轴为 y 轴 0 1 0 标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转
曲面的方程，只要将曲线 在坐标面里的方程保留和 过母线Γ上任意一点 M 0, y , z Γ 的纬圆为
1 1 1
旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方 y y1 0
经线
z
母线上任意一点绕旋转轴旋 转的轨迹是一个圆，称为旋 转曲面的纬圆或纬线.
纬圆
母线
以旋转轴为边界的半平面与旋 转曲面的交线称为旋转曲面的 经线.
y x
旋转 轴
l
说明：
1. 纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的 交线； 2. 旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬
圆族生成，轴则是纬圆族的连心线；
例1
求直线
x y z 1 绕直线 2 1 0
x y z 旋转
所得的旋转曲面的方程.
解：设 M1 x1, y1, z1 是母线上的任意点，因为旋 转轴通过原点，所以过 M 1 的纬圆方程是
x x1 y y1 z z1 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
又因为 M 1 在母线上，满足母线的方程，有
z
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0
联立上述两个方程组消去参数 x1 , y1 , z1
y x l
最后得一个三元方程 F x, y, z 0 ，即为 以Γ为母线， l 为旋转轴的旋转曲面的方 程。Fra bibliotek
例 2 将椭圆
x2 y 2 1 : a 2 b2 a b z 0
分别绕长轴（即 x 轴）与短轴（即 y 轴）旋 转，求所得旋转曲面的方程。
x2 y 2 在方程 a 2 b2 1 中保留坐标 x 不变，用 y 2 z 2 代 y ，便得到将椭圆绕其长轴旋转