旋转曲面

解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
由以上两式，求得旋转曲面方程为
2 x 2 y 2 z 2 5 xy xz yz 5 x y z 7 0
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特殊的旋转曲面
F y, z 0 : 设旋转曲面母线为： x0 （1）母线在同一坐标平面内
O
绕虚轴（即 z 轴）旋转的旋转曲面方程 为
x y z 2 1 2 2 b b c
绕实轴（即 y 轴）旋转的旋转曲面方 程 为
2
2
2
x y
z
单 叶 旋 转 双 曲 面
y 2 x2 z 2 2 2 1 2 b c c
O
y
双叶旋转双曲面
x
例 4
将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴的旋转曲面的方程为
x2 y 2 2 pz
旋转 抛物面
x
O y
z
例5
将圆
2 y b z 2 a 2 : x0
b a 0
O b x
2
a B
y
绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
2 2 解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程 y b z a
2 2 中保留 z 不变，而 y 用 x y 代，就得圆绕
z 轴旋转而成的旋转曲面方程为

x y b
2 2

2
z2 a2
即
x
2
y z b a
2 2 2
2 2

4b2 x 2 y 2
3. 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
经线与母线有什么 区别与联系呢？
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求旋转曲面的方程
在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为
F1 x, y, z 0 : F2 x, y, z 0
旋转轴为直线
z
x x0 y y0 z z0 l: X Y Z
（2）旋转轴为坐标轴 x y z 于是我们可以得出：当坐标平面上的曲线 Γ 绕此坐 旋转轴为 y 轴 0 1 0 标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转
曲面的方程，只要将曲线 在坐标面里的方程保留和 过母线Γ上任意一点 M 0, y , z Γ 的纬圆为
1 1 1
旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方 y y1 0
经线
z
母线上任意一点绕旋转轴旋 转的轨迹是一个圆，称为旋 转曲面的纬圆或纬线.
纬圆
母线
以旋转轴为边界的半平面与旋 转曲面的交线称为旋转曲面的 经线.
y x
旋转 轴
l
说明：
1. 纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的 交线； 2. 旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬
圆族生成，轴则是纬圆族的连心线；
例1
求直线
x y z 1 绕直线 2 1 0
x y z 旋转
所得的旋转曲面的方程.
解：设 M1 x1, y1, z1 是母线上的任意点，因为旋 转轴通过原点，所以过 M 1 的纬圆方程是
x x1 y y1 z z1 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
又因为 M 1 在母线上，满足母线的方程，有
z
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0
联立上述两个方程组消去参数 x1 , y1 , z1
y x l
最后得一个三元方程 F x, y, z 0 ，即为 以Γ为母线， l 为旋转轴的旋转曲面的方 程。Fra bibliotek


例 2 将椭圆
x2 y 2 1 : a 2 b2 a b z 0
分别绕长轴（即 x 轴）与短轴（即 y 轴）旋 转，求所得旋转曲面的方程。
x2 y 2 在方程 a 2 b2 1 中保留坐标 x 不变，用 y 2 z 2 代 y ，便得到将椭圆绕其长轴旋转