特殊的旋转曲面图形演示
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
solidworks2020旋转曲面实例讲解
solidworks2020旋转曲面实例讲解SolidWorks 2020是一款三维CAD建模软件，它能够帮助工程师和设计师创建和修改复杂的设计。
在SolidWorks中，旋转曲面是一种常用的建模技术，可以通过旋转一个截面曲线来创建一个立体物体，下面我将为您讲解一些SolidWorks 2020旋转曲面的实例。
首先，我们先打开SolidWorks 2020软件，并创建一个新的零件文件。
然后，我们选择“曲线”工具栏上的“曲线”命令，然后选择“正交线”命令。
在图形窗口中，我们先画一个矩形作为截面曲线的起始线段。
选择矩形命令，点击图形窗口中心点，然后拖动鼠标创建一个矩形。
在矩形命令选项中，我们可以设置矩形的长宽尺寸，也可以选择不同的起点位置。
创建好矩形后，我们可以选择“曲面”工具栏上的“旋转”命令来生成旋转曲面。
选择旋转命令后，点击图形窗口中的矩形线段作为截面曲线，然后点击鼠标右键结束选择。
接下来，弹出一个对话框，我们可以设置旋转轴、旋转角度、旋转端点等参数。
我们可以选择一个轴作为旋转轴，然后设置旋转角度来确定旋转的起始位置和旋转的方向。
完成了旋转曲面的设置后，点击确定按钮。
此时，我们就可以看到在图形窗口中生成了一个旋转曲面。
接下来，我们可以进一步修改旋转曲面。
我们可以选择“实体编辑”工具栏上的“编辑”命令来修改旋转曲面的形状。
选择此命令，点击旋转曲面，然后选择需要修改的特定参数。
通过修改曲面的高度、半径、角度等参数，我们可以改变旋转曲面的形状。
我们还可以选择其他编辑工具，比如“变分形状”和“裁剪”，来进一步修改旋转曲面。
在SolidWorks 2020中，我们还可以为旋转曲面添加其他特征。
比如，我们可以选择“实体”工具栏上的“修剪”命令来修剪旋转曲面，或者选择“实体”工具栏上的“镜像”命令来创建一个旋转曲面的镜像。
在建模过程中，我们还可以使用SolidWorks 2020的草图工具来创建其他复杂的截面曲线，然后通过旋转命令来生成相应的旋转曲面。
柱面锥面和旋转曲面ppt课件
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线 与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S
创建NURBS曲面旋转课件
制作一个最简单的旋转效果
旋转参数
• 轴预设：用来设置曲线旋转的轴向 • 枢轴：用来设置旋转轴心点的位置 • 开始/结束扫描角度：用来设置扫描的角度 • 分段：用来设置生成曲线的段数，段数越
多，精度越高 • 曲线范围：设置参与旋转成面的曲线范围 当设置成部分后，可以用于一些动画的制作 • 输出几何体：用来选择输出几何体的类型Fra bibliotek制作酒杯
1、出现洞的原因（即封闭/不封闭）： 要想封闭必须把需封闭的一端绘制的点放置
在旋转轴上
制作酒杯
2、解决厚度的方法： 要想使制作的模型有厚度要绘制双线
制作好曲面模型后修改的方法
• 可以修改的内容： 1、移动曲线CV点位置改变曲线形状 2、修改曲线轴心点位置 3、修改扫描度数
删除历史记录的作用及必要性
学习目标：1、了解旋转命令 2、理解旋转的重要参数
能力目标：1、掌握旋转出封闭/不封闭曲面的方法 2、掌握旋转出有/无厚度曲面的方法 3、掌握绘制好曲面后的修改方法
学习重点：旋转重要参数的学习 学习难点：轮廓线的绘制 德育渗透：培养学生养成节俭生活的态度
复习
1、绘制NURBS曲线的工具有哪些？
CV曲线工具、EP曲线工具、BEZIER曲线工具、铅笔工具
练习
观察后，必须完成图1、图9，然后寻找 自己喜欢的图形，尽量多的做，进一步 体会本课学过的知识点。
小结
1、旋转命令 2、旋转出封闭/不封闭曲面的方法 3、旋转出有/无厚度曲面的方法 4、掌握绘制好曲面后的修改方法 5、删除历史记录的方法
作业
分析小号中哪部分是可以用旋转命令制 作的，并制作模型。
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
4.3旋转曲面 4.4椭球面
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
旋转曲面_精品文档
旋转曲面引言旋转曲面是3维几何中常见的一类曲面形式，它由一个曲线绕着一个轴进行旋转所生成。
旋转曲面在数学、几何学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍旋转曲面的定义、性质和应用，并举例说明其在现实生活中的实际应用。
定义旋转曲面是由一个曲线绕着一个轴旋转一周所形成的曲面。
具体地说，给定一个曲线 C 和一个轴线 L，如果将 C 绕着 L 旋转一周，相当于将曲线 C 中的每个点沿着一条与 L 垂直的直线移动，然后将所有移动后的点连接起来，就得到了旋转曲面。
旋转曲面的方程可以用参数方程或者隐式方程表示。
如果使用参数方程来表示旋转曲面，可以将旋转曲面上的点表示为 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中 (u, v) 是某个参数的取值。
常见的参数方程包括球坐标系和柱坐标系等。
性质旋转曲面具有许多有趣的性质。
首先，旋转曲面是一个连续的曲面，没有任何突变或断裂。
其次，旋转曲面具有对称性，即对于曲面上的每个点，如果对应于某一参数值的点旋转180度，那么这两个点关于轴线对称。
此外，旋转曲面也具有轴对称性，即曲面上的每个点关于轴线对称。
旋转曲面的形状取决于曲线和轴线的选择。
如果曲线是一个闭合曲线，如一个圆，那么旋转曲面将是一个闭合曲面，如一个球体。
如果曲线是一个直线段，那么旋转曲面将是一个圆柱体。
而如果曲线是一个非闭合曲线，如一个抛物线，那么旋转曲面将是一个卷曲曲面。
应用旋转曲面在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：旋转曲面是几何学研究中的重要工具。
它可以用来描述和分析平面几何、立体几何和曲线几何等问题。
通过研究旋转曲面的性质和变化，可以推导出许多几何学定理和结论。
2. 工程学：旋转曲面在工程学中有广泛的应用。
例如，工程师可以使用旋转曲面来描述和分析机械零件的形状和运动。
另外，在产品设计中，旋转曲面也常用于建模和制造。
3. 计算机图形学：旋转曲面是计算机图形学中常用的建模技术之一。
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
高等数学第七章第六部分
一、旋转曲面 二、二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2
2
pz
1
y2 2qz1
1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
z
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x2
2 pz
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p （由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
z
x a
2 2
z c
2 2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
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返回
5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
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( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
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返回
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
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返回
3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
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返回
y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
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x y z 2 1 2 a c
圆柱和圆锥面的旋转课件ppt
圆锥的优美曲线和顶点，常常被用于建筑物的装饰，如檐口、门 楣等。
圆柱和圆锥在工业设计中的应用
机器部件
圆柱和圆锥形状的机器部件广泛 应用于各种机械设备中。
工具把手
圆柱和圆锥形状的工具把手更加 符合人体工程学，提高使用舒适 度。
外观设计
圆柱和圆锥的形状和线条在工业 产品的外观设计中也经常被应用 ，如汽车、飞机等交通工具的外 形设计等。
圆柱具有优美的曲线和对称性，常用于建筑的装 饰，如罗马柱、爱奥尼克柱等。
空间构成
圆柱在建筑空间构成中也有着广泛的应用，如圆 柱廊、圆柱厅等。
圆锥在建筑中的应用
标志性建筑
圆锥形状的建筑常常被用作标志性建筑，如埃菲尔铁塔、比萨斜 塔等。
结构支撑
圆锥的几何形状可以用于建筑的结构支撑，如桥梁的悬索结构等 。
圆柱和圆锥体积的比较分析
圆柱和圆锥的体积都与底面积和高密切相关
圆柱的体积是底面积A与高的乘积，而圆锥的体积是底面积A 与高的乘积的1/3，因此圆柱的体积总是大于相同底面积和高 的圆锥的体积
05
圆柱和圆锥的应用
圆柱在建筑中的应用
支撑结构
圆柱作为支撑结构，可以承受较大的重力，为建 筑提供稳定性。
装饰效果
圆柱和圆锥面的旋转课件 ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 圆柱体的旋转 • 圆锥体的旋转 • 圆柱和圆锥的展开图 • 圆柱和圆锥的体积 • 圆柱和圆锥的应用 • 课程总结与回顾
01
圆柱体的旋转
圆柱体的定义和性质
1
圆柱体是由一个矩形或直角三角形以其一条边 为旋转轴旋转一周而成的三维几何体。
当圆柱体的素线绕着它的一个底面圆心旋转时，其结果是 一个圆锥面。
4.3 旋转曲面
z
这样的曲面叫做环面
o x y
• 一般旋转曲面的方程
F1 x, y, z 0 设旋转曲面的母线 C : F2 x, y, z 0 旋转轴为直线 l : x x0 y y0 z z0 X Y Z
l
M1
C
平面 分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 纬圆 ＝
球
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 1 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 F1 x1 , y1 , z1 0 (3) 母线： F2 x1 , y1 , z1 0 (4)
4.3
旋转曲面
定义 一条空间曲线C 绕一条定直线旋转一周所 产成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为该曲面的旋转轴，曲线C 称为该 曲面的母线.
• 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称
为旋转面的纬圆或纬线. • 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为 旋转面的经线. 注： ⅰ 纬圆也可看作垂直于旋转 轴 l 的平面与旋转面的交线.
作业：
习题4.3 1
即 x1 2 y1 , z1 1.
因为旋转轴通过原点，所以过 M 1 的纬圆是
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 5 2 2 2 x y z 1 ( x y z 1)2 9
x 不变
z y2 z2
所以，旋转曲面方程为
43旋转曲面
《解析几何》－Chapter 4§3 旋转曲面surface of revolution1、理解旋转曲面及母线和纬圆等概念；2、掌握求旋转曲面方程的一般方法及步骤；3、能熟练写出一类特殊旋转曲面的方程。
Contents一、旋转曲面的有关概念二、旋转曲面的方程（直角坐标系）三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）l.Sl定义1在空间，一条曲线Γ绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面S 称为旋转曲面（或回转曲面）（surface of revolution ）Γ称为旋转曲面的母线（generating curve ）l 称为旋转曲面的旋转轴（axis of rotation ）纬圆Ⅱ以旋转轴l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线说明：ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴l 的平面与旋转面的交线SΓ一、旋转曲面的有关概念Ⅰ母线上任意一点绕旋转轴l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线ⅱ任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
经线和母线一样吗？lM经线π例1求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程1210x y z -Γ==：:l x y z ==母线不是经线单叶旋转双曲面xyzo经线轴xyzol l纬圆轴旋转曲面可看成经线绕旋转轴旋转一周.旋转曲面也可看成由纬圆族生成.设旋转曲面的母线，()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩()1111 ,,M x y z ∀∈母线(),,0F x y z ⇒=1 旋转曲面的一般方程⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩纬圆：约束方程：000:x x y y z z l X Y Z ---==旋转轴为直线当M 1 遍历整个母线Γ时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面⎧⎨⎩平面球＝分析：1M ⇔∈纬圆1M S ⇒∈旋转曲面又可看作以轴l 为连心线的一族纬圆生成的曲面yzoP 1M ()()()()X x x Y y y Z z z -+-+-⎧⎪⎨=⎪⎩11110()(),,,,()()F x y z F x y z ==⎧⎪⎨⎪⎩111121114030()()()()()()()x x y y z z x x y y z z -+-+-=-+-+-2222220001010102消参:设旋转曲面的母线，()()12,,0:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩1 旋转曲面的一般方程000:x x y y z z l X Y Z ---==旋转轴为直线z1M 普通方法设M 1(x 1, y 1, z 1)为母线上任意一点,①写出纬圆族方程:②写出参数x 1, y 1, z 1的约束条件:③消去参数x 1, y 1, z 1得一个三元方程:()()()()()()()()()()()X x x Y y y Z z x x y y z z x x y y z z z -+-+-=-+-+--+-+-=⎧⎪⎨⎪⎩222222000101011101120()(),,,,()()F x y z F x y z ==⎧⎪⎨⎪⎩111121114030(),,.F x y z =0例1求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程x y z l -==11210：:l x y z ==2母线轴(0,0,0)解设M 1(x 1, y 1, z 1)为母线l 1上任意一点,则过点M 1的纬圆方程为:()()(),-+-+-=⎧⎨⎩1110x x y y z z ++=222x y z 且有-==1111210x y z ,t 则,,===11121x t y t z 代入上式消去t 得++222111x y z 所求旋转球面方程:()++=++--22225119x y z x y z 即:()()()++-+++++-=22225570x y z xy xz yz x y z 另:,.==11121x y z 代入方程组消参得旋转球面方程.消参中可令1M (,,)0000P {1,1,1}=v l 2xyzo三、旋转曲面的方程特征Γ解则过点M 1纬圆为:(,)F y z =110且y y -=⎧⎨⎩10x y z y z ++=+2222211故旋转曲面方程为22(,)0F y x z ±+=绕y 轴旋转所成曲面的方程.例:给定yoz 面上曲线Γ: (,)F y z x =⎧⎨=⎩0当旋转曲面的母线为坐标面上的曲线,且旋转轴为坐标轴时, 它的方程具有特殊形式.{0,1,0}=v 设M 1(0, y 1, z 1)为母线Г上任意点,{0,1,0}=且v (0,0,0)O y 轴上定点(,,)M y z 1110例2设母线，(),:F y z x =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩00规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的正负平方根代替方程中的另一个坐标xozy⑴绕z 轴旋转所得的旋转面方程；⑵绕y 轴旋转所得的旋转面方程(),F x y z ±+=220(),F y x z±+=2222221:,0x ya b z ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩()a b >例2.将椭圆o xyz长形旋转椭球面1.绕长轴（即x 轴）旋转的旋转曲面的方程为:2.绕短轴（即y 轴）旋转的旋转曲面的方程为:222222 1.++=x y za b b2222221++=x y za b aoxyzbaab ba 222221++=⇒x y za b222221++=⇒x z y a b例3将双曲线 , ():. y z a b bc x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪=⎩2222101.绕虚轴（即z 轴）旋转的旋转曲面的2.绕实轴（即y 轴）旋转的旋转曲面的2222221; +-=x y zb b c2222221; --=y x z b c c 方程为:方程为:单叶旋转双曲面222221+-=⇒x y zb c222221 +-=⇒y x z b c yzoxbxzyo例4将抛物线22 ,:0.⎧=Γ⎨=⎩y pz x 1.绕它的对称轴旋转的旋转曲面的方程为:222+=x y pz旋转抛物面xyzoxyzo>p 生活中见过这个曲面吗？.例5将圆则所得旋转曲面的方程:222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x -4-224-1-0.500.51-4-224zyOa b绕z 轴旋转,22222(),x y b z a ±+-+=22222222x y z b a b x y+++-=±+即:即:()()2222222224x y z b ab x y+++-=+环面zyoab例5将圆222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x 绕z 轴旋转,yxo.环面例5将圆222() , (b a 0):0.⎧-+=>>Γ⎨=⎩y b z a x 绕z 轴旋转,zy xo .生活中见过这个曲面吗？环面救生圈.。
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面
引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交图2图1Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
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o
r
R
x
返回
8.5环面 8.5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
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z 返回
8.5环面 8.5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
生活中见过这个曲面吗？ 生活中见过这个曲面吗？
x
z
绕 x 轴一周 得旋转锥面
.
o
y
x2 y2 + z2 − =0 2 2 a b
.
返回
8.4 旋转抛物面
y 2 = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
z
o
y
返回
8.4 旋转抛物面
y 2 = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
z
.
o
y
x
返回
8 环面方程
(± x 2 + z 2 − R) 2 . + y 2 = r 2
.
或 ( x 2 + y 2 + z 2 + R 2 − r 2 )2 = 4R 2 ( x 2 + z 2 )
返回
8.5 环面
.
救生圈
返回
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
返回
8.1 双叶旋转双曲面
x2 y2 − =1 双曲线 a 2 b 2 z = 0
x
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
z
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a b
.
0
y
.
返回
8.2 单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周 o
x2 y2 2 − 2 =1 b a z = 0
2 2 2
a
x
z
.
返回
8.3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 − 2 =0 a b z = 0
x
绕 x 轴一周
o
y
返回
8.3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 − 2 =0 a b z = 0
x
z
绕 x 轴一周
o
y
.
返回
8.3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 − 2 =0 a b z = 0
y 2 = az 抛物线 x = 0 绕 z 轴一周
z
得旋转抛物面
x +y z= a
2
2
.
.
o 生活中见过这个曲面吗？ 生活中见过这个曲面吗？
y
x
返回
返回 8.4 例 卫星接收装置
.
8.5环面 8.5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
8. 特殊旋转曲面
• • • • • 8.1 双叶旋转曲面 8.2 单叶旋转曲面 8.3 旋转锥面 8.4 旋转抛物面 8.5 环面
8.1 双叶旋转双曲面
x2 y2 − =1 双曲线 a 2 b 2 z = 0
x
绕 x 轴一周
0
y
返回
8.1 双叶旋转双曲面
x2 y2 − =1 双曲线 a 2 b 2 z = 0
y
a
x
返回
8.2 单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周 o
.
x2 y2 2 − 2 =1 b a z = 0
y
a
x
z
返回
8.2 单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2 2 − 2 =1 b a z = 0
y
得单叶旋转双曲面
. .
o
x +z y − 2 =1 2 a b