高一数学值域的求法1
求值域的六种方法(高一)
求值域的六种方法(高一)
朱凤元
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】函数是高中数学的基础知识,值域又是函数三要素之一,下面介绍六种求值域的方法,请看七例:
【总页数】1页(P)
【作者】朱凤元
【作者单位】上海市敬业中学;200010
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.利用向量求两类无理函数的值域——兼谈一对“姐妹函数”值域的探求
2.浅谈函数值域的求法——两题看高一新生求函数值域
3.怎样求函数值域？——略谈用对立统一观点求值域
4.方法得当事半功倍——浅谈求三角函数值域的几种方法
5.解析几何法在求函数值域与最值中的研究——用斜率法求一类函数的值域与最值
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高一数学三角函数值域的求法
小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没
高一数学求值域的方法
高一数学求值域的方法
求值域，又称对偶值域或解析域，是指在一个表达式中，所有可以使得表达式有意义的值的集合。
通常，一个表达式的求值域不仅取决于其事先被给定的变量的值，而且还取决于表达式中的运算的有效性（如分母非零等）。
求值域的方法有许多种，比如：
1. 分别检查表达式中出现运算的条件，确定哪些值可以使得表达式有意义；
2. 对于给定的变量，考虑它可能取到的有效值；
3. 通过求得表达式的分母且不等于零来求值域；
4. 如果表达式中存在除数，就要检查分母是否为0；
5. 将表达式和设置的初始值代入原数学模型中，研究计算过程，实现求值域。
高一数学值域的求法1
,
故y
-,
65 12
.
[-1, 1]
[4, +∞)
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域: (1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0. 依题意 mm+nn-1＝6=11+×9,9, 解得 m=5, n=5.
二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数
函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的
方法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
[
3 4
,
+∞)
(2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2]
三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函
高一数学值域的求法1
高一数学例析求函数值域的方法
例析求函数值域的方法曲靖市民族中学 张小琼求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。
注意：求值域要先求定义域。
虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
例1：求函数1y =+的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。
例2：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。
例3：求函数2211x y x -=+的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，（特殊情况优先原则）∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<例4：求y=525+-x x（1≤X ≤3）的值域。
解：y ＝525+-x x⇒ x ＝1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 （怎么求解？）⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数125xy x -=+的值域。
解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
高一数学分段法求值域
高一数学分段法求值域分段函数是函数中非常重要的概念，它将整个函数定义域分为若干个部分，并在不同的部分上采用不同的函数表达式。
这种对函数定义域的划分，为我们研究函数的性质和求解问题提供了很好的方法。
本文将介绍在分段函数中使用的求值域的方法，希望对高中数学学生的学习有所帮助。
首先，我们来回顾一下函数的定义及其符号表示。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
一般地，函数的定义域为 x 轴上的一段连续区间，记作 D。
值域为 y 轴上所有满足函数值的实数集合，记作 R。
下面通过一个例子详细介绍分段函数求值域的方法。
假设有一个分段函数：⎧⎧ x (x≤0)f(x)= ⎧⎧ x^2+x (0<x<1)⎧⎧√x-1 (x≥1)我们需要求出函数 f(x) 的值域。
首先，我们需要分别求出每个部分上的值域。
当x ≤ 0 时，f(x) = x。
因此，值域为 R。
当 0 < x < 1 时，f(x) = x^2 + x。
这是一个二次函数，它的开口向上。
当x → 0 或x → 1 时，函数值无穷大。
因此，值域为[0, +∞)。
将上述结果合并可以得出整个函数的值域为[0, +∞)。
在求分段函数的值域时，需要注意以下两点：（1）分段函数的定义域必须划分为若干个部分，并在每个部分上采用不同的函数表达式。
我们需要分别求出每个部分上的值域。
（2）每个部分的值域都必须考虑到函数表达式的特点，如开口方向、定义域等。
最后，我们需要注意，求分段函数的值域是数学中的一个重要问题，它在数学应用中具有重要意义。
希望本文对高中数学学生的学习有所帮助。
高一数学值域的求法1
高一数学求函数值域的方法
高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。
在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。
在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。
所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。
本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。
具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。
方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。
一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。
对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。
需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。
另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。
总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。
高一数学 函数的值域(1)教案
江苏省泰州市第二中学 高一数学教案 函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。
教学重点：二次函数值域的求法。
教学过程:一． 问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。
(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。
并求这些函数值构成的集合C 。
(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。
如x ∈R 呢？二． 数学建构用自己的语言说值域的定义。
三． 数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。
问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3： 已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。
（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。
2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。
3．写解。
思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。
四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高一函数定义域和值域讲解
函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d 或2++=+ax bx e y cx d（a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
高一数学函数值域解题技巧
一．观察法通过对、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．法当函数的存在时，则其的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．当所给函数是或可化为的时,可以利用求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成，利用的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．法若可化为关于某变量的的函数或无理函数,可用法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。
本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。
因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。
2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。
当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。
因此，所求值域为$[-4,12]$。
3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。
由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。
5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。
例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法《新形势下教育管理理论与实践指导全书》函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。
（1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围；（2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；（3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；（4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；（5）单调性法——利用函数的单调性求值域；（6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例1、求下列函数的值域：（直接法）（1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1}解：当x=－1时,y=0当x=0时,y=－3当x=1时,y=－4∴所求值域{0,－3,－4}（2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］解：y=(x－1)2－4当y=－3时,y max=12当x=1时,y min=－4所求值域为［－4，12］（3）y=x2－2x－3，x∈R解：y=(x－1)2－4≥－4∴所求值域为［－4,+∞)可改变x的范围，求函数的值域。
如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞)（4）y=4解：要使原函数有意义,则3+2x－x2≥0－1≤x≤3y=4当x=1时,y min=0当x=－1或3时,y max=4∴所求值域为［0,4］（5）y=25243 x x-+解：y=252(2)3 x x-+=252(1)1x -+ ∵2(x －1)2≥0∴2(x －1)2+1≥1∴0＜212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。
例2、求下列的值域：（1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x+，x ∈［1,3］ （4）y=22436x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞)解：（2）≥0)则x=212t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54当t=12时,y max =54∴所求值域为（－∞, 54］ 解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2当x=3时，y max =103∴所求值域为［2，103］ 解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}方法1：（先化简函数）y=(3)(1)131(3)(2)22x x x x x x x +++==++--- ∵x ≠2 ∴y ≠1 又x ≠3 ∴y ≠312x +--即y ≠25所求值域为{y R ∈|y ≠1且y ≠25} 方法2：（判别式法）由y=22436x x x x +++-得 (y －1)x 2+(y －4)x －3(2y+1)=01°当y=1时，x=－3与定义域中x ≠=－3矛盾，∴y ≠12°当y ≠1时，由△=(5y －2)2≥0得y ∈R ，但y ≠1而当y=25时，求得x=－3不合题意∴y ≠25故所求值域为{y ∈R|y ≠1,且y ≠25} 解：(5)(判别式法)：由y=234x x +得 y ·x 2－3x+4y=01°当y=0时,x=02°当y ≠0时，∵x ∈R ∴△=32－4y ·y ≥0 －34≤y ≤34且y ≠0 综合以上知所求值域为［－34，34］ 注：利用判别式求形如：y=22ax bx c dx ex f++++的值域当化为m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0后，要注意： ①分m(y)=0，及m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才能利用判别式；②在求出y 的取值范围后；要注意“=”能否取到，即检验间断点以及△=0时，y 对应x 是否属于定义域。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1、 已知，试求。
解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。
故得:。
说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。
(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。
（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。
(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。
(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。
【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。
故所求函数得解析式为。
（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。
（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。
（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。
【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。
若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。
高一数学求函数值域的方法仅限高一
仅限高一求函数值域的方法：1、 直接法直接根据函数表达式来求值域，例：y = x 2 , x ∈(2,3)2、 单调性法利用函数的单调性来求值域例：y=x-x 21-;解：定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯-- ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. 3、 图象法利用函数图象来求值域例：y = x 3 x ∈(-2,5)4、 配方法把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求， 例： y=12+-x x 解：∵y=412+-x x 能构成完全平方而y=412+-x x +43 ∴4321y 2+-=）（x ∵x R ∈ ∴值域为y ≥435、 判别式法把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求，例：y=;122+--x x x x解：由y=,122+--x x x x 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 6、 换元法把带根号或者带分式等不容易看出来的式子用一个新元代替了，换完元后，一定要注意新元的范围，根据新元的范围来求值域。
例1：y=x-x 21-;解：令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t - ∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）, ∴y∈（-∞，21］. 例2：y=|x|21x -. 解：∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|, 故函数值域为［0，21］.７、分离常数法适用于分子与分母同样的次幂，最终化成只有分母有x 。
例：y=521+-x x ;解：y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21. 故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}. ８、反求法用ｙ来表达ｘ，适用于ｘ的范围知道，且能用ｙ来表示ｘ。
高一数学函数值域方法汇总
解法2（线性规划）
∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直 线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线 y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C 相切时，z-4有最大值和最小值。
高一数学函数值域方法汇总
求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法 、图像法（数形结合法）、函数的单调 性法以及均值不等式法等。这些方法分 别具有极强的针对性，每一种方法又不 是万能的。要顺利解答求函数值域的问 题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据 特点选择求值域的方法，下面就常见问 题进行总结。
将上式可看成为x轴上点P(x,0)与
A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x
轴上求作一点P与两定点A,B的距离
y
之和的最值，利用解析几何的方法
可求其最小值。
B(-
A(1,3)
如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，
例1 求函数
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题 ，可用配方法或图像法求解。
y
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
3/2
o 1/2
-1
1x
-3/4
例2 求函数
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
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