优选Ch随机变量序列的极限
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得
E
X
i
0,
D
X
i
1 12
,
i 1,2, ,1200.
E
1200 i1
X
i
1200
0
0,
D
1200 i1
X
i
1200
1 12
=1ห้องสมุดไป่ตู้0
由独立同分布的中心极限定理:
n
.
Xi ~ N 0,100
i 1
1200
P Xi
20
1
P
20
1200
X
i
20
i1
i 1
1
20 10
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
P 0.
特别地, 若E Xi ,i 1, 2, , 则上式表明
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
注意 该定理的条件为方差有界.
定理 （独立同分布情形下的大数定律） 设 X1, X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则 X P .
X np
np1 p
.
近似服从标准正态分布.即 X ~ N np,np1 p .
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。
设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
A, A, 引进随机变
量
1 第i次试验A发生
Xi 0 第i次试验A发生
Xi ~ B1, p, E Xi p,i 1,2. ,n,
X1, X 2 , , X n 相互独立，则在n次试验中A发生的
频率
布的随机变量序列, 且 Xi B1, p, 令
n
Yn Xi , i 1
则对任意的 x x , 有
lim P
Yn np
x
1
x t2
e 2 dt,
n np 1 p 2π
即当 n充分大时, Yn np 近似服从标准正态分布. np1 p
该定理的实际意义是: 若 X Bn, p, 则
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相
当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N 0, 2 的密
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,18221911) 英国人类 学家和气象学家
共16层小钉
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8
例 （高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验, 图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的 距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下 一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
以0.5的概率向左或向右滚下, 于是
解 令X 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则
X B400,0.75.
时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
Xi B1, p, 则
n
Xi B n, p,
i 1
进一步地有
X Bm, p,Y Bn, p,
则
X Y Bm n, p.
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
有这个必要.
人们在长期实践中n 发现, 在相当一般的条件下, 只要
n充分大, 总认为 Xi 近似服从正态分布. i1 下面这个例子说明了这个情况.
lim P i1
x x.
n
n
其中 x 为标准正态分布的分布函数.
该定理的实际意义是,
若随机变量序列
n
X1,
X
2
,
满足定理条件, 记 Yn X i , 则
i 1
Yn E Yn
D Yn
近似服从标准正态分布.
n
.
即 Yn Xi ~ N E Yn , D Yn .
i 1
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他
优选Ch随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 X1, X 2 , 是一个随机变量序列, 如果存在常
数c, 使得对于任意常数 0, 总有
lim P
n
Xn c
1,
则称随机变量序列 X1, X 2 , 依概率收敛于c, 记作
X n P c.
若随机变量序列 X1, X 2 , 依概率收敛于c, 则
分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解 设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为 X i , i 1
又 X1, X 2 , , X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi R0.5,0.5
0
20 10
0
1 2 2
21 2 0.0456.
作为上面定理的特例, 如果 Xi B1, p,i 1, 2, , 则 E Xi p, D Xi pq 0, 即随机变量序列
满足上面定理的条件. 从而有下面的定理.
定理 （中心极限定理 ）设 X1, X 2 , 是一个独立同分
lim P
n
Xn c
0.
定理 如果 X n P a,Yn P b, 且函数 g x, y 在点
a,b 处连续, 则 g Xn,Yn P a,b.
定理 设 X1, X 2 , 是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D Xi c,i 1, 2, , 则
1
fn
A
1 n
n i 1
Xi
X
p
P A
p
例1 设 X1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2.
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2, , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有 i 1
Xk
1,
1,
小球碰第 k层钉后向右落下 小球碰第 k层钉后向左落下
(k 1, 2,,16)
程序如下
输出图形
定理 （独立同分布的中心极限定理）设 X1, X 2 , 是
独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi ,D Xi 2 0 则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
n
Xi n
E
X
i
0,
D
X
i
1 12
,
i 1,2, ,1200.
E
1200 i1
X
i
1200
0
0,
D
1200 i1
X
i
1200
1 12
=1ห้องสมุดไป่ตู้0
由独立同分布的中心极限定理:
n
.
Xi ~ N 0,100
i 1
1200
P Xi
20
1
P
20
1200
X
i
20
i1
i 1
1
20 10
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
P 0.
特别地, 若E Xi ,i 1, 2, , 则上式表明
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
注意 该定理的条件为方差有界.
定理 （独立同分布情形下的大数定律） 设 X1, X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则 X P .
X np
np1 p
.
近似服从标准正态分布.即 X ~ N np,np1 p .
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。
设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
A, A, 引进随机变
量
1 第i次试验A发生
Xi 0 第i次试验A发生
Xi ~ B1, p, E Xi p,i 1,2. ,n,
X1, X 2 , , X n 相互独立，则在n次试验中A发生的
频率
布的随机变量序列, 且 Xi B1, p, 令
n
Yn Xi , i 1
则对任意的 x x , 有
lim P
Yn np
x
1
x t2
e 2 dt,
n np 1 p 2π
即当 n充分大时, Yn np 近似服从标准正态分布. np1 p
该定理的实际意义是: 若 X Bn, p, 则
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相
当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N 0, 2 的密
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,18221911) 英国人类 学家和气象学家
共16层小钉
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8
例 （高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验, 图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的 距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下 一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
以0.5的概率向左或向右滚下, 于是
解 令X 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则
X B400,0.75.
时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
Xi B1, p, 则
n
Xi B n, p,
i 1
进一步地有
X Bm, p,Y Bn, p,
则
X Y Bm n, p.
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
有这个必要.
人们在长期实践中n 发现, 在相当一般的条件下, 只要
n充分大, 总认为 Xi 近似服从正态分布. i1 下面这个例子说明了这个情况.
lim P i1
x x.
n
n
其中 x 为标准正态分布的分布函数.
该定理的实际意义是,
若随机变量序列
n
X1,
X
2
,
满足定理条件, 记 Yn X i , 则
i 1
Yn E Yn
D Yn
近似服从标准正态分布.
n
.
即 Yn Xi ~ N E Yn , D Yn .
i 1
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他
优选Ch随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 X1, X 2 , 是一个随机变量序列, 如果存在常
数c, 使得对于任意常数 0, 总有
lim P
n
Xn c
1,
则称随机变量序列 X1, X 2 , 依概率收敛于c, 记作
X n P c.
若随机变量序列 X1, X 2 , 依概率收敛于c, 则
分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解 设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为 X i , i 1
又 X1, X 2 , , X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi R0.5,0.5
0
20 10
0
1 2 2
21 2 0.0456.
作为上面定理的特例, 如果 Xi B1, p,i 1, 2, , 则 E Xi p, D Xi pq 0, 即随机变量序列
满足上面定理的条件. 从而有下面的定理.
定理 （中心极限定理 ）设 X1, X 2 , 是一个独立同分
lim P
n
Xn c
0.
定理 如果 X n P a,Yn P b, 且函数 g x, y 在点
a,b 处连续, 则 g Xn,Yn P a,b.
定理 设 X1, X 2 , 是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D Xi c,i 1, 2, , 则
1
fn
A
1 n
n i 1
Xi
X
p
P A
p
例1 设 X1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2.
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2, , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有 i 1
Xk
1,
1,
小球碰第 k层钉后向右落下 小球碰第 k层钉后向左落下
(k 1, 2,,16)
程序如下
输出图形
定理 （独立同分布的中心极限定理）设 X1, X 2 , 是
独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi ,D Xi 2 0 则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
n
Xi n