函数误差与误差合成

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第一节 函数误差
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基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
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一、函数系统误差计算
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间接测量数学模型
间接测量的数学模型
yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2,与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 及其其他非测量值，又称输入量 ▪间接测量值，又称输出量
函数误差与误差合 成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
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教学重点和难点
▪ 函数系统误差 ▪ 函数随机误差 ▪ 函数误差分布的模拟计算 ▪ 随机误差的合成 ▪ 未定系统误差和随机误差的合成 ▪ 误差分配 ▪ 微小误差取舍准则 ▪ 最佳测量方案的确定
x2 2 a n 2
2 xn
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函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ya 12x 2 1a22x 2 2 an2x 2 n
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
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三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sinf(x1,x2,...,xn)
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
2
y2 x f1
x1 2 x f2
x2 2 x fn
2 xn
或
y x f1 2
x12 x f2 2
2
x22 x fn
2 xn
令f xiaiya 1 2x1 2 a 2 2
x i x j
▪ x第i i个直接测得量 的x i标准差
▪ i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
▪
f
x第i i个直接测得量
对x 间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1,x2, ,xn)
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相互独立的函数标准差计算
得到
y x f1x1 x f2x2 x fnxn
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1、 函数标准差计算
y 2 x f1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fjD ij
或 y 2 x f 1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fj ij
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2、 相关系数估计
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相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
y 2 x f 1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fj ij
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函数系统误差公式
函数系统误差 y 的计算公式
y x f1 x1 x f2 x2... x fn xn
▪ f xi(i1,2 为, 各,n个) 输入量在该测量点 处的(x1误,x2差, 传,x播n)系数 ▪ x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用 ▪ x i 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi 起到误差单位换算的作用
误差，并求修正后的测量结果。
h
l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 D l 2 h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h50mml500mm
处的直径测量值
l2
D0
h1300mm 4h
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计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 .1 0 .1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
1
cos
n i1
f xi
xi
cosfx1,x2,...,xn
1
sin
n i1
xfixi
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【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。
如图所示，车间工人用一把卡尺量
得弓高 h5，0m 弦m长
，工
厂检l验50部0m 门m又用高准确度等级的卡
尺量得弓高
，弦长 试
问车h间50工.1m 人m 测量该l工4件99直mm 径的系统
人测量该工件弓高的标准差 h0.005mm，弦长的标准 差 l 0.01mm，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的
测量结果。
【解】
D2( fl)2l2( fh)2h2
520.0122420.0052169104m m
有
D0.13mm
故修正后的测量结果
D D 0 D 1 2 9 2 .6 m mD0.13mm
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几种简单函数的系统误差
1、线性函数 ya 1 x 1 a 2x2 ... a nxn
系统误差公式 y a 1 x 1 a 2 x 2 ... a n x n
当ai 1
y x 1 x2 ... xn
▪当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinfx1,x2,...,xn
误差传播系数为
fh4lh 22145 05 00 22124
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差 Dflfh7.4m m
l h
故修正后的测量结果
D D 0 D 1 3 0 0 7 .4 1 2 9 2 .6 m m
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二、函数随机误差计算
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数学模型
函数的一般形式
yf(x1,x2,...,xn)
变量中有随机误差，即
y y f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 ,,x n x n )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
y y f( x 1 ,x 2 ,...,x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
函数随机误差公式为
2
2
2
co 1 s
f x1
x1 2 x f2
x22 x fn
2 xn
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【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量
得弓高h50mm，弦长 l500mm，工厂检验部门又用高准确度
等级的卡尺量得弓高 h50.1mm，弦长l499mm。已知车间工