函数误差与误差合成
误差理论与大数据处理实验报告材料
标准文档误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1nii v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
函数误差与误差合成
2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
误差理论 作业及参考答案
第一章1、熟悉误差、精度、有效数字的基本概念和相关计算方法。
答案：略2、用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。
测得值各为50.004mm，80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004-50＝0.004（mm）；δ2＝80.006-80＝0.006（mm）；两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008%；和δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %；显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。
3、若某一量值Q用乘积ab表示，而a与b是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q的相对误差。
解：∵相对误差=绝对误差/真值=(测得值-真值)/真值∴ a = a0(1+f a)；b = b0(1+f b)；式中a0、b0分别为a、b的真值。
则Q =ab = a0(1+f a) b0(1+f b)≈a0 b0(1+f a+ f b)因此，Q的相对误差约为（f a+ f b)第二章1、在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
解：①求算术平均值②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。
③求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：用别捷尔斯公式计算：④求算术平均值的标准差⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1 正态分布积分表，得置信系数t=2.6。
故：单次测量的极限误差：算术平均值的极限误差：⑥求得测量结果为：2、甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量 5 次，测得值如下：α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；试求其测量结果。
误差与理论分析实验报告
误差与理论分析实验报告实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。
二、实验原理 （1）正态分布设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)正态分布的分布密度: ()()222f δσδ-=正态分布的分布函数: ()()222F ed δδσδδ--∞=,式中σ-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞-∞==⎰它的方差为:()22f d σδδδ+∞-∞=⎰（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11nni i i i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有:1ni i v ==∑01）残余误差代数和应符合：当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1ni i v =∑为零；当1ni i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1ni i l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1ni i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
《电子测量技术基础》教学大纲
《电子测量技术基础》教学大纲一、说明1、课程的性质、地位和任务本课程为两专业的重要技术基础课，是电子信息工程和通信工程各专业课的必需先行课，为学生学习工作所需的专业知识做好准备。
2、教学的基本要求使学生了解和掌握电子测量仪器的工作原理和结构特点、能自己设计和应用测量电路。
基本内容包括模拟和数字的测量仪器、示波器、信号源、频率计、频谱分析仪、失真度测量仪、网络分析仪、逻辑分析仪、虚拟仪器、测量用电路等。
3、本课程的重点与难点重点：本课程的有关基本理论和基本概念；测量方法和数据处理的过程，减小测量误差的措施；常用测量仪器的原理、结构、操作和应用；对于各种被测电量和被测系统采用的不同测量原则和测量电路，及测量结果的表达。
难点：理解数据处理的根据，减小测量误差的方法的依据；理解各种仪器的原理与功能；对于不同测量对象和对测量速度与测量准确度的不同要求采用的不同测量配置与测量方法的掌握。
二、课堂教学时数及课后作业题型分配三、本文第一章绪论【教学目的】通过本章教学，使学生明确本课程的学科性质、基本内容和学习意义，掌握电子测量仪器与应用技术中一些常用术语的涵义及其相互区别，了解本门课程的教学要求和学习方法。
【重点难点】电子测量技术的研究对象及基本内容，测量、计量和电子测量仪器的概念，以及测量方法的意义。
第一节电子测量一、测量二、电子测量第二节电子测量的内容和特点一、电子测量的内容二、电子测量的特点第三节电子测量的一般方法一、按测量手续分类二、按测量方式分类三、按被测量的性质分类四、测量方法的选择原则第四节电子测量仪器概述一、测量仪器的功能二、测量仪器的主要性能指标三、电子测量仪器的分类第五节计量的基本概念一、计量二、单位制三、计量基准四、量值的传递与跟踪，检定与比对【思考题】1．叙述电子测量的主要内容。
2．选择测量方法时主要考虑的因素有哪些？3．叙述直接测量、间接测量、组合测量的特点，各举一两个测量实例。
4．解释偏差式、零位式和微差式测量法的含义，并列举测量实例。
误差理论
2．指定值 As 国家设立各种尽可能维持不变的实物标准 (或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作 为计量单位的指定值。 国际间通过互相比对保持一定程度的一致。 指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。 最初规定在4℃时1立方分米纯水的质量为1 千克。 后来用铂铱合金制成一个高度和直径都是39 毫米的圆柱体。
2 ≈0.1 mV。 19 999
如果用该表测量某电压时的测量值是1.5000 V， 则仅由仪器误差造
成的测量相对误差为
Δx 0.025% 1.5 1104 x 0.032% x 1.5
1.2 测量误差的来源
1.2.1 仪器误差 概念：“设备误差”，是由于设计、 制造、装配、检定等的不完善以及仪器 使用过程中元器件老化、机械部件磨损、 疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误 差。 分类 减小途径
U o 6000 Au 5000 Ui 1.2
电压分贝增益：
Gx 20lg Au 20lg 5000 74dB
输出电压绝对误差：
U o 6000 (3%) 180mV
因忽略Ui误差，所以电压增益绝对误差：
U o 180 A 150 Ui 1.2
1.1.2 误差的表示方法 1．绝对误差 绝对误差定义为 x x A0
(2.1-1)
式中△x为绝对误差，x为测得值， A0为被测量真值。真值A0一般无法 得到，所以用实际值A代替A0 ，因而绝对误差更有实际意义的定义是
△x = x – A
(2.1-2)
对于绝对误差，应注意下面几个特 点： ①绝对误差是有单位的量，其单位 与测得值和实际值相同。 ②绝对误差是有符号的量，其符号 表示出测量值与实际值的大小关系，若 测得值较实际值大，则绝对误差为正值， 反之为负值。 ③测得值与被测量实际值间的偏离 程度和方向通过绝对误差来体现。
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
1,2, ,q
其相应的误差传递系数为： a1,a2, ,aq
f
f
f
y N x 1 x 1 N x 2 x 2 N ... x n x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将上面方程组中的每个方程平方得到：
y 1 2 x f 1 2
2
x 1 1 2 ... x f n
x n 1 2 2 1 n i j x fi x fj x i1j1
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
h50mm,limh0.05mm
s500mm,lims 0.1mm求测量Leabharlann 果。s2 D= +h
4h
一、函数误差 ➢误差间的相关
各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随 机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关 联对函数总误差的影响大小。
n
ya 1 2 x 2 1 a 2 2 x 2 2 ... a n 2 x 2 n 2 aa ij i j x i x j 1 ij
误差的合成与分解1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2,与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 及其其他非测量值，又称输入量 ▪间接测量值，又称输出量
函数误差与误差合 成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
2
教学重点和难点
▪ 函数系统误差 ▪ 函数随机误差 ▪ 函数误差分布的模拟计算 ▪ 随机误差的合成 ▪ 未定系统误差和随机误差的合成 ▪ 误差分配 ▪ 微小误差取舍准则 ▪ 最佳测量方案的确定
x2 2 a n 2
2 xn
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ya 12x 2 1a22x 2 2 an2x 2 n
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
16
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sinf(x1,x2,...,xn)
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
2
y2 x f1
x1 2 x f2
x2 2 x fn
2 xn
或
y x f1 2
x12 x f2 2
2
x22 x fn
2 xn
令f xiaiya 1 2x1 2 a 2 2
x i x j
▪ x第i i个直接测得量 的x i标准差
▪ i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
▪
f
x第i i个直接测得量
对x 间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1,x2, ,xn)
14
相互独立的函数标准差计算
得到
y x f1x1 x f2x2 x fnxn
13
1、 函数标准差计算
y 2 x f1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fjD ij
或 y 2 x f 1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fj ij
18
2、 相关系数估计
19
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
y 2 x f 1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fj ij
7
函数系统误差公式
函数系统误差 y 的计算公式
y x f1 x1 x f2 x2... x fn xn
▪ f xi(i1,2 为, 各,n个) 输入量在该测量点 处的(x1误,x2差, 传,x播n)系数 ▪ x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用 ▪ x i 和 y 的量纲或单位不相同，则f xi 起到误差单位换算的作用
误差，并求修正后的测量结果。
h
l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 D l 2 h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h50mml500mm
处的直径测量值
l2
D0
h1300mm 4h
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 .1 0 .1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
1
cos
n i1
f xi
xi
cosfx1,x2,...,xn
1
sin
n i1
xfixi
9
【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。
如图所示，车间工人用一把卡尺量
得弓高 h5，0m 弦m长
，工
厂检l验50部0m 门m又用高准确度等级的卡
尺量得弓高
，弦长 试
问车h间50工.1m 人m 测量该l工4件99直mm 径的系统
人测量该工件弓高的标准差 h0.005mm，弦长的标准 差 l 0.01mm，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的
测量结果。
【解】
D2( fl)2l2( fh)2h2
520.0122420.0052169104m m
有
D0.13mm
故修正后的测量结果
D D 0 D 1 2 9 2 .6 m mD0.13mm
8
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 ya 1 x 1 a 2x2 ... a nxn
系统误差公式 y a 1 x 1 a 2 x 2 ... a n x n
当ai 1
y x 1 x2 ... xn
▪当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinfx1,x2,...,xn
误差传播系数为
fh4lh 22145 05 00 22124
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差 Dflfh7.4m m
l h
故修正后的测量结果
D D 0 D 1 3 0 0 7 .4 1 2 9 2 .6 m m
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
yf(x1,x2,...,xn)
变量中有随机误差，即
y y f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 ,,x n x n )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
y y f( x 1 ,x 2 ,...,x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
函数随机误差公式为
2
2
2
co 1 s
f x1
x1 2 x f2
x22 x fn
2 xn
17
【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量
得弓高h50mm，弦长 l500mm，工厂检验部门又用高准确度
等级的卡尺量得弓高 h50.1mm，弦长l499mm。已知车间工