2018届高三数学学业水平考试试卷 理

揭阳市2017-2018学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.答案第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}2=1,2,1,0,1,2M x x N >=--，则MN =（A ） {}0 （B ） {}2 （C ）{}2,1,1,2-- （D ）{}2,2- 2.复数112i i i -+的实部与虚部的和为 （A ）12- （B ） 1 （C ）12 （D ）323.在等差数列{}n a 中，已知35710132,9a a a a a +=++=，则此数列的公差为 （A ）13 （B ）3 （C ）12 （D ）164.如果双曲线经过点p ，且它的一条渐近线方程为y x =，那么该双曲线的方程式（A ）22312y x -= （B ） 22122x y -= （C ）22136x y -= （D ）22122y x -= 5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数a,则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 （A ）13 （B ）23 （C ）12 （D ）146.设,a b 是两个非零向量，则“222()a b a b +=+”是 “a b ⊥”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件7.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =， 则(4)f m -的值为（A ）3 （B ）0 （C ）-3 （D ）138.函数24()cos cos f x x x =-的最大值和最小正周期分别为 （A ）1,4π （B ）1,42π （C ）1,2π （D ）1,22π 9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度 折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4时， 最后输出的S 的值为 （A ）9.6 （B ）7.68 （C ）6.144 （D ）4.915210.如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方 体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）54 （B ）162（C ）54+（D ）162+11.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆2270x y ++-+=相交于A ，B 两点，且4AC BC ⋅=，则实数a 的值为（A （B（C （D ）12.若函数32()21f x x ax =-++存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为 （A ）[0,)+∞ （B ）[0,3] （C ）(3,0]- （D ）(3,)-+∞第Ⅱ卷本卷包括必答题和选考题两部分，第13题～第21题为必答题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：（本大概题共4小题，每小题5分,共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）13已知实数x ，y 满足2403000x y x y x y -+≥⎧⎪-+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，则目标函数32z y x =-的最大值为14.在261(1)()x x x++的展开式中，3x 的系数是15.已知正方形1111ABCD A BC D -的一个面1111A B C DA 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体1111ABCD A BC D -的体积为 16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则数列{}n a 的通项公式n a = 三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知a,b,c 分别是△ABC 内角A ，B ，Csin cos A a C = （Ⅰ）求C 的值（Ⅱ）若2,c a b ==ABC 的面积 18. （本小题满分12分）某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n N ∈）的函数解析式()f n ；（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n （单位：台），整理得下表：以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望。

19. （本小题满分12分）如图3，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1BC //平面1ACD（Ⅱ）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D =，求直线1A D 与平面11CBBC 所成角的正弦值。

20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴的长为2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若12,MA AF MB BF λλ==，求证：12λλ+为定值。

21. （本小题满分12分） 已知函数(1)()ln b x f x a x x+=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当1x >时，不等式()ln ()1x k xf x x ->-恒成立，求实数k 的取值范围。

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图4，四边形ABCD 内接于O ，过点A 作O 的切线EP交CB 的延长线于P ，已知025PAB ∠=。

（Ⅰ）若BC 是O 的直径，求D ∠的大小； （Ⅱ）若025DAE ∠=,求证：2DA DC BP =⋅23. （本题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ= （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值。

24. （本题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-。

（I ）解不等式：()(1)2f x f x ++≤（II ）若0a <，求证：()()(2)f ax af x f a -≥揭阳市2017-2018学年度高中三年级学业水平考试 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：D D A B A C C B C D C D解析：7.由函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称得(2)(2)f x f x -=+，则(4)(4)[2(2)]f m f m f m -=--=-+-[2(2)]()3f m f m =---=-=-. 8.222111cos 4()cos sin (sin 2)242x f x x x x -===⋅1(1cos 4)8x =-， 故max 1(),42f x T π==． 9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)x S =-，结合程序 框图易得当4n =时，415(120%) 6.144S =-=． 10.依题意知该几何体如右图示：故其表面积为22233661622⨯+⨯=+11.圆2270x y ++-+=即222((x y +-=，所以(C ，||||22AC BC ==由4A C B C ⋅=得41cos 2||||ACB AC BC ∠==⋅,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离6d π===，故a =.12. 函数32()21f x x ax =-++存在唯一的零点，即方程32210x ax --=有唯一的实根⇔直线y a =与函数3221()x g x x -=的图象有唯一的交点，由332(1)'()x g x x+=，可得()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当1x =-时，x=-2y 2=8xyxO F 'Q 'F (2,0)QP()g x 有极小值，()(1)3g x g =-=-极小，故当3a >-时，直线y a =与函数3221()x g x x -=的图象有唯一的交点.[或因2()62,f x x ax '=-+由()0f x '=得0x =或3ax =，若0a =显然()f x 存在唯一的零点，若0a >，()f x 在(,0)-∞和(,)3a +∞上单调递减，在(0,)3a上单调递增，且(0)10,f =>故()f x 存在唯一的零点，若0a <，要使()f x 存在唯一的零点，则有()0,3af >解得3a >-，综上得3a >-.] 二、填空题：13. 9；14. 20；15.16.1,(1)1.(2)(1)n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩．解析：15．设正方体的棱长为x ，把半球补成全球，则问题为长、宽、高分别为x 、x 、2x的长方体内接于球，2222(2)x x x ∴++=，解得x =所以正方体的体积为 16.由11n n n a S S ++=111111(1)(1)n n nn n S S S +⇒-=-⇒=-+-⨯-=-， 1,(1)11.(2)(1)n n n S a n n n n -=⎧⎪=-⇒=⎨≥⎪-⎩. 三、解答题：17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin sin a Ac C==------------------------------------------------------------3分⇒tan 3C =,-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵2c a =，b =由余弦定理得：22412a a =+-，----------------------------------------7分 整理得： 2240a a +-=解得：212a -±==-±--------------------------------9分∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得 ABC∆的面积11351)222ABC S ∆=⨯⨯=．-------------------------12分 【解法2：由2c a =结合正弦定理得：11sin sin 24A C ==，--------------------------6分 ∵a c<， ∴A C<, ∴cos A ==,------------------------------7分 ∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+=1142=,--------------------------9分由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，---------------------------------------------10分 ∴ABC∆的面积111sin 1)222ABC S ab C ∆==⨯⨯=．-----------12分】18.解：（I ）当20n ≥时，()50020200(20)2006000f n n n =⨯+⨯-=+--------------2EB 1C 1A 1DCB A分 当19n ≤时，()f n n n=⨯-⨯--------------------------4分所以2()60n n f n n N n n +≥⎧=∈⎨-≤⎩----------------------------------------5分（II ）由（1）得(18)8800,(19)9400,f f ==---------------------------------------6分(20)10000,(21)10200,(22)10400,f f f ===-------------------------------------7分(8800)0.1,(9400)0.2,P X P X ∴====(10000)0.3,(10200)0.3,(10400)0.1,P X P X P X ======-----------------------9分X 的分布列为88000.194000.2100000.3102000.3104000.19860.EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------12分19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，-------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . ------------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，------1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD-----------------------------------------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD1H B 1C 1A 1DCBAD 1B 1C 1A 1DCBA∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. ------------------------------6分】 (II)222115AD +A A =A D =1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又AD BC B=1A A \^面ABC -------------------------------------------8分法一：设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z-.------------------9分 则1A (02,，D 122骣ççç÷ç桫,,0.∴1122A D =--(,,--------------------10分平面11CBBC 的一个法向量(0,0,1),=n11115A D n A D n A D n ⋅<>==⋅|||cos,|.||||所以直线A 1D .-------------------------------12分 【法二：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H B C ⊥-------------------------------7分∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥1111B C BB B ⋂=,1A H ∴⊥面11BCC B ------9分延长1A D 、1B B 相交于点F ，连结FH ，N MHB 1C 1A 1DCBA则1A FH∠为直线1A D与平面11BCC B 所成的角.------------------------------------10分 因为D 为AB的中点，故1AF =，又1A H =1sin A FH ∴∠==即直线1A D 与平面11BCC B 所成的角的正弦值为分】 【法三：取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H B C ⊥-------------------------------7分∵1AA ⊥面111A B C ，故11AA A H ⊥,11BB A H ∴⊥1111B C BB B ⋂=,1A H ∴⊥平面11BCC B ------------------------------------------9分取11A B 中点M ，连结BM ，过点M 作1//MN A H ，则MN ⊥平面11BCC B ， 连结BN ，∵1//A D BM ,∴MBN ∠为直线1A D 与平面11BCC B 所成的角，---10分∵1112sin 10A HMN MBN BM A D ∠====, 即直线1A D与平面11BCC B 所成的角的正弦值为10.------------------------------12分】 20.解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则由题意知22, 1.b b =\=-------------------------------------------------------2分=5⇒= 解得25a =，--------------------------------------------------------------------4分 ∴椭圆C的方程为.1522=+y x ---------------------------------------------------5分（II ）证法1：设A 、B 、M 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，易知F 点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-，-----------7分将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得2222(15)202050k x k x k +-+-=------------------------------------------------9分.51520,512022212221kk x x k k x x +-=+=+∴-------------------------------------------10分 又.2,2,,22211121x x x x -=-===λλλλ将各点坐标代入得 22221212121222121212224040102()2151510.402052242()41515k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λλ--+-++∴+=+===-----++-+++-------12分【证法二：设点A 、B 、M 的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A易知F 点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分).,2(),(,1110111y x y y x --=-∴=λλ ∴21,λλ.1,12101111λλλ+=+=y y x ------------7分 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211=+++λλλy 去分母整理得.0551020121=-++y λλ--------------------------------------------------------9分 同理，由2λ=可得0551020222=-++y λλ---------------------------------10分即 是方程 的两个根，.1021-=+∴λλ-------------------12分】21．解：（I ）∵2(),a bf x x x'=-且直线2y =的斜率为0，又过点(1,2)， ∴(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩-------------------------------------------------------------------2分 即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩解得1a b ==-----------------------------------------------------3分（II ）当1x >时，不等式22()ln 11()(1)ln ()ln (1)ln 0.1x k x x x f x x x x k x k x x xx--->⇔-+>-⇔-+>-----------------5分 令2222111(1)1()(1)ln ,()1x k x k x g x k x g x x x x x --+-+'=-+=++=，----------------7分 令2()(1)1m x x k x =+-+， ①当11,2k-≤即1k ≥-时，()m x 在(1,)+∞单调递增且(1)0m ≥，所以当1x >时，0 5 5 10 2 0 2 = - + + y λ λ()0g x '>，()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0.g x g ∴>=即()ln ()1x k xf x x ->-恒成立．------------9分 ②当11,2k ->即1k <-时，()m x 在上1(1,)2k -上单调递减，且(1)0m <，故当1(1,)2kx -∈时，()0m x <即()0,g x '< 所以函数()g x 在1(1,)2k-单调递减，----------------------------------------------10分 当1(1,)2kx -∈时，()0,g x <与题设矛盾, 综上可得k 的取值范围为[1-+∞------------------------------------------------12分22.解：（I ）EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分又BC是⊙O的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分四边形ABCD 内接一于⊙O，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分（II ）025,DAE ∠=,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADCPBA ∴∆∆--------------------------------------------------------------7分.DA DC BP BA∴=------------------------------------------------------------------8分又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分 曲线C的直角坐标系方程为2216.x y +=-------------------------------------------4分（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分 ∴121cos ,242AOB ∠==--------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠< 1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式|1|x x -+-≤---------------------------------------------1分 当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；-----------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.-------------------------------------4分 综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.-----------------------------------------5 分 （II）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分=2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分 所以()f a x -≥成立．------------------------------------------------10分。