第八章 塑性本构关系
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如果屈服面不是外凸的, 如左图所示,夹 角有可能是钝角, Drucker公设不成立.
ij
O
A
0 ij
T
A0
n
T
O
A
A0
d ijp 是在屈服面的 A 点的外法线方向上. 这称为 • 上面提到 塑性应变增量的法向性. 我们知道如果屈服函数为势函数, 屈服 面即为等势面, 它的外法线方向和它的梯度方向一致, 则 d ijp 和梯度矢量的分量成正比,即
因为 d 0 , 所以
f d ij 0 ij
这就是加载准则.
二、Ilyushin共设
Drucker共设是在应力空间中进行讨论的，只适 用于稳定材料。 对应变软化材料（非稳定材料）---岩土材料---不 能完全适用。 Ilyushin在应变空间中提出的塑性共设可适用于 稳定材料和非稳定材料。 将加载面中的应力由应变表示，得到应变空间表 示的加载面。 Ilyushin共设认为：在一个应变循环中，只要产 生塑性变形，外力所做的功不小于零。
Lijkl＝Lijkl ( mn , )
Lijkl 与 ij 有关 非线弹性 Lijkl 与 有关 加载塑性引起弹性性质改变 Lijkl 与 ij , 无关 为常张量，可由弹性本构方程确定
1 Lijkl＝- ij kl E 2E
( ik jl il jk )
Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但 总变形中不考虑弹性变形。 Il’yushin (伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材 料硬化。
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状 态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随 动关系.增量理论能够反映应力历史的相关性， 但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论 有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和PrandtlReuss(普朗特-罗伊斯)理论. 20世纪50年代，随着Drucker公设和稳定材料 的定义，正交流动法则概念的提出，塑性力学有 了很大的发展。 这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性 应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供 了统一方法。
§8-4 全量理论及本构方程（p:278)
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 Sij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m 2G E E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.
因为等效应力和等效应变的公式为: 3 2 Sij Sij eij eij 2 3 1 1 3 eij Sij代入上面右式并考虑上面左式得到 把 2Gs 2Gs 2 (3)等效应力是等效应变的函数 , 实验证明：当材料为不可压缩时，按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线相近，在工 程计算中视为相同。即单一曲线假定.可用单轴拉伸曲线确 定 Gs 。 ( )
O 0 O 0
O
0
a 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这
一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料 被称为稳定材料或硬化材料. b 所示,应力应变曲线在过D点 以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材 料被称为材料不稳定或软化材料. c 所示,与能量守恒矛盾,所 以不可能.
p
ij
Sij
1 Sij 总的偏应变张量：eij 2Gs
1 1 2Gs 2G
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. • 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是 一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 数等于什么?
为这两个矢量的夹角, 必定为锐角. p 在这种情况下, d ij 一定在屈服面 A 点的外法线方向 n上, 因为 A0 点在屈服 面内, A0 A 的活动范围是 A 点的切线 o ), d ijp 要 方向到反切线方向( 与它夹角是锐角就一定在法线方向上, 并且屈服面一定是外凸的.
这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入等效应力的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G / 3 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 • 所以也可写成如下形式 eij Sij 3G 2 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
2. Drucker公设
• 从右边的单向拉伸应力应变 d 曲线看, 对于稳定材料, 如果 B 0 从 开始加载到 再到 0 d , 然后卸载,此时弹性 A 应变可以恢复, 相应的弹性 应变能完成释放, 但塑性变 形不能恢复被保留下来, 消 p d p 耗的塑性应变能是图上的红 框包围的两块面积A,B被保 • Drucker把它引伸到复杂应力 留下来.它们是恒大于零的: 情况,这就是Drucker公设. 0 d p 0 0 d p 0
3 Sij Sij 2
2 eij eij 3
一、全量理论
Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 ii ii (1) 体积变形是弹性的, 即 E (2) 塑性应变张量和应力偏张量成比例
中性变载 加载
卸载 加,卸载准则为: 加载; 后继屈服面 中性变载; 卸载. 中性变载是指不产 生新的塑性变形.
§8-3 Drucker公设和Ilyushin公设
一、Drucker公设 1. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有: a c b D 0 0 0
e ij
p ij
Lijkl kl
p ij
d 得：
e ij
Lijkl d kl kl d Lijkl
d ijp ijp (0, d ) ijp (0, ) 由： (0, ) 得：
p ij
§8-2 加卸载判别准则
ijp Sij
Sij Sij
p ij p ij 2
p
ijp ijp
Sij Sij
3 2
p
1 1 Es ( ) E
p
1 1 Es ( ) E
1 1 1 3 1 1 2Gs 2G 2G 2 Es ( ) E
弹性本构方程
卸载过程中 保持不变，
卸载完成，应力状态为零， ij＝0
对应的残余变形即塑性应变：
ijp ijp (0, )
从 ij 和 的当前状态，施加应力增量d ij 应力为 ij +d ij，内变量为 ＋d ，
对应的塑性增量 由：
e ij
d ij d d
其中 d 为一个大于零的比例系数.称为与屈服条件相关联的 塑性流动法则.也称为塑性应变增量的正交流动法则 对研究塑性力学的本构关系有重要意义.
f d d ij
p ij
d ijp • Drucker公设的第二式是加载准则. 它的几何意义是当 不为零时, d ij 的方向必须指向加载面外法线一侧, 即 f d d ij 0 ij
1 3 3 1 2Gs 2 2 Es ( )
Es ( )
( )
综上所述, 全量型塑性本构方程为
1 2 ii ii E
3 1 eij Sij 2 Es ( )
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是等效应力 成单调增长. 下降时为卸载过 程, 它服从增量Hooke定律.
ij ij ( ij， )
材料从当前状态卸载后，恢复的应变为弹性应变，保 留的应变为塑性应变。即在某一状态下的应变可分解 为：
ij
e ij
p ij
• 假设卸载过程为弹性
Lijkl kl
e ij
Lijkl为弹性系数，称为弹性柔度张量
Lijkl 与开始卸载时的应力 ij 和内变量 有关
1 2 d ii d ii E
1 deij dSij 2G
对可压缩材料，按照不同应力路径所得出的 曲线 与单轴拉伸时的 曲线不一致，不能用单轴拉伸曲线 确定 Gs 。
对单一曲线假定做修改，表述为：按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 p 曲线一致。
第八章 塑形本构关系
引言:
塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本 构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关 系的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下 仍有应力和应变全量之间的关系. 包括：
Hencky(亨奇)理论（1924）：不考虑弹性ຫໍສະໝຸດ Baidu形和材 料硬化。 （理想刚塑形模型）
(1)理想塑性材料的加载和卸载准则.
理论塑性材料是无硬化的, 屈服条件与加载历史无关,, 初始屈服 面和后继屈服面是重合的. 即 如图所示
弹性状态; 加载
加载;
卸载 卸载. 法线方向 的梯度方向 屈服面
(2)硬化材料的加,卸载准则. 对于硬化材料,后继屈服面和 初始屈服面不同, 与塑性变 形的大小和历史有关.
Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个 基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1) 在第六章已经解决, 本章要解决第(2) ;(3)点. yy
§8-1 塑性应变增量
进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态 ij ，而且 还取决于达到该应力状态的历史，描述历史引入一个 内变量 。
d d p 0
ij
ij
ij
d ij d ijp 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
Drucker公设在塑性力学中有 重要意义.
3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 •我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 0 0 n ij ij d ijp ij ij d ijp cos 0 C d p ij 0 A0 A AC cos 0 图示即 ij ij
ij
O
A
0 ij
T
A0
n
T
O
A
A0
d ijp 是在屈服面的 A 点的外法线方向上. 这称为 • 上面提到 塑性应变增量的法向性. 我们知道如果屈服函数为势函数, 屈服 面即为等势面, 它的外法线方向和它的梯度方向一致, 则 d ijp 和梯度矢量的分量成正比,即
因为 d 0 , 所以
f d ij 0 ij
这就是加载准则.
二、Ilyushin共设
Drucker共设是在应力空间中进行讨论的，只适 用于稳定材料。 对应变软化材料（非稳定材料）---岩土材料---不 能完全适用。 Ilyushin在应变空间中提出的塑性共设可适用于 稳定材料和非稳定材料。 将加载面中的应力由应变表示，得到应变空间表 示的加载面。 Ilyushin共设认为：在一个应变循环中，只要产 生塑性变形，外力所做的功不小于零。
Lijkl＝Lijkl ( mn , )
Lijkl 与 ij 有关 非线弹性 Lijkl 与 有关 加载塑性引起弹性性质改变 Lijkl 与 ij , 无关 为常张量，可由弹性本构方程确定
1 Lijkl＝- ij kl E 2E
( ik jl il jk )
Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但 总变形中不考虑弹性变形。 Il’yushin (伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材 料硬化。
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状 态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随 动关系.增量理论能够反映应力历史的相关性， 但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论 有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和PrandtlReuss(普朗特-罗伊斯)理论. 20世纪50年代，随着Drucker公设和稳定材料 的定义，正交流动法则概念的提出，塑性力学有 了很大的发展。 这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性 应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供 了统一方法。
§8-4 全量理论及本构方程（p:278)
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 Sij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m 2G E E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.
因为等效应力和等效应变的公式为: 3 2 Sij Sij eij eij 2 3 1 1 3 eij Sij代入上面右式并考虑上面左式得到 把 2Gs 2Gs 2 (3)等效应力是等效应变的函数 , 实验证明：当材料为不可压缩时，按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线相近，在工 程计算中视为相同。即单一曲线假定.可用单轴拉伸曲线确 定 Gs 。 ( )
O 0 O 0
O
0
a 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这
一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料 被称为稳定材料或硬化材料. b 所示,应力应变曲线在过D点 以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材 料被称为材料不稳定或软化材料. c 所示,与能量守恒矛盾,所 以不可能.
p
ij
Sij
1 Sij 总的偏应变张量：eij 2Gs
1 1 2Gs 2G
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. • 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是 一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 数等于什么?
为这两个矢量的夹角, 必定为锐角. p 在这种情况下, d ij 一定在屈服面 A 点的外法线方向 n上, 因为 A0 点在屈服 面内, A0 A 的活动范围是 A 点的切线 o ), d ijp 要 方向到反切线方向( 与它夹角是锐角就一定在法线方向上, 并且屈服面一定是外凸的.
这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入等效应力的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G / 3 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 • 所以也可写成如下形式 eij Sij 3G 2 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
2. Drucker公设
• 从右边的单向拉伸应力应变 d 曲线看, 对于稳定材料, 如果 B 0 从 开始加载到 再到 0 d , 然后卸载,此时弹性 A 应变可以恢复, 相应的弹性 应变能完成释放, 但塑性变 形不能恢复被保留下来, 消 p d p 耗的塑性应变能是图上的红 框包围的两块面积A,B被保 • Drucker把它引伸到复杂应力 留下来.它们是恒大于零的: 情况,这就是Drucker公设. 0 d p 0 0 d p 0
3 Sij Sij 2
2 eij eij 3
一、全量理论
Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 ii ii (1) 体积变形是弹性的, 即 E (2) 塑性应变张量和应力偏张量成比例
中性变载 加载
卸载 加,卸载准则为: 加载; 后继屈服面 中性变载; 卸载. 中性变载是指不产 生新的塑性变形.
§8-3 Drucker公设和Ilyushin公设
一、Drucker公设 1. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有: a c b D 0 0 0
e ij
p ij
Lijkl kl
p ij
d 得：
e ij
Lijkl d kl kl d Lijkl
d ijp ijp (0, d ) ijp (0, ) 由： (0, ) 得：
p ij
§8-2 加卸载判别准则
ijp Sij
Sij Sij
p ij p ij 2
p
ijp ijp
Sij Sij
3 2
p
1 1 Es ( ) E
p
1 1 Es ( ) E
1 1 1 3 1 1 2Gs 2G 2G 2 Es ( ) E
弹性本构方程
卸载过程中 保持不变，
卸载完成，应力状态为零， ij＝0
对应的残余变形即塑性应变：
ijp ijp (0, )
从 ij 和 的当前状态，施加应力增量d ij 应力为 ij +d ij，内变量为 ＋d ，
对应的塑性增量 由：
e ij
d ij d d
其中 d 为一个大于零的比例系数.称为与屈服条件相关联的 塑性流动法则.也称为塑性应变增量的正交流动法则 对研究塑性力学的本构关系有重要意义.
f d d ij
p ij
d ijp • Drucker公设的第二式是加载准则. 它的几何意义是当 不为零时, d ij 的方向必须指向加载面外法线一侧, 即 f d d ij 0 ij
1 3 3 1 2Gs 2 2 Es ( )
Es ( )
( )
综上所述, 全量型塑性本构方程为
1 2 ii ii E
3 1 eij Sij 2 Es ( )
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是等效应力 成单调增长. 下降时为卸载过 程, 它服从增量Hooke定律.
ij ij ( ij， )
材料从当前状态卸载后，恢复的应变为弹性应变，保 留的应变为塑性应变。即在某一状态下的应变可分解 为：
ij
e ij
p ij
• 假设卸载过程为弹性
Lijkl kl
e ij
Lijkl为弹性系数，称为弹性柔度张量
Lijkl 与开始卸载时的应力 ij 和内变量 有关
1 2 d ii d ii E
1 deij dSij 2G
对可压缩材料，按照不同应力路径所得出的 曲线 与单轴拉伸时的 曲线不一致，不能用单轴拉伸曲线 确定 Gs 。
对单一曲线假定做修改，表述为：按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 p 曲线一致。
第八章 塑形本构关系
引言:
塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本 构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关 系的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下 仍有应力和应变全量之间的关系. 包括：
Hencky(亨奇)理论（1924）：不考虑弹性ຫໍສະໝຸດ Baidu形和材 料硬化。 （理想刚塑形模型）
(1)理想塑性材料的加载和卸载准则.
理论塑性材料是无硬化的, 屈服条件与加载历史无关,, 初始屈服 面和后继屈服面是重合的. 即 如图所示
弹性状态; 加载
加载;
卸载 卸载. 法线方向 的梯度方向 屈服面
(2)硬化材料的加,卸载准则. 对于硬化材料,后继屈服面和 初始屈服面不同, 与塑性变 形的大小和历史有关.
Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个 基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1) 在第六章已经解决, 本章要解决第(2) ;(3)点. yy
§8-1 塑性应变增量
进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态 ij ，而且 还取决于达到该应力状态的历史，描述历史引入一个 内变量 。
d d p 0
ij
ij
ij
d ij d ijp 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
Drucker公设在塑性力学中有 重要意义.
3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 •我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 0 0 n ij ij d ijp ij ij d ijp cos 0 C d p ij 0 A0 A AC cos 0 图示即 ij ij