一元二次函数知识点汇总

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一元二次函数

一元二次函数一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。

在本文中，我将介绍一元二次函数的特点、图像和应用，并且探讨一些与之相关的数学概念。

特点：1. 定义域和值域：一元二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都存在函数值。

值域则取决于函数的开口方向和导数的正负性。

2. 对称性：一元二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴的横坐标可以通过满足函数为0的x解出，即x = -b / (2a)。

这一点在求解函数的最值时有重要作用。

3. 零点：一元二次函数的零点即为使函数值等于零的横坐标。

零点可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来获得，其中根的个数取决于判别式的值。

图像：一元二次函数的图像是一个抛物线。

抛物线的开口方向由二次项系数a的正负性决定。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中f(-b/ (2a))表示在对称轴上的函数值。

应用：1. 物理学：一元二次函数可以用来描述抛体运动、自由落体等物理现象。

例如，抛出物体的高度与时间的关系就可以建模为一元二次函数。

2. 经济学：一元二次函数可以用来建立成本、收益、利润等经济指标之间的关系模型，帮助决策者做出更准确的经济预测和决策。

3. 工程学：一元二次函数在工程领域中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用一元二次函数来确定柱状物体的最佳高度；在电路设计中，可以利用一元二次函数来描述电流、电压等变量之间的关系。

数学概念：1. 判别式：一元二次函数的判别式决定了根的情况。

判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ大于零时，方程有两个不等的实根；Δ等于零时，方程有两个相等的实根；Δ小于零时，方程没有实根。

2. 最值：由于一元二次函数的图像是一个抛物线，它在对称轴上有一个极值点。

高中数学一元二次函数方程和不等式知识点汇总

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点汇总单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√x⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞).故选：A.4、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立. 由x >0,y >0,z >0可知x +y ≥2√xy >0（当且仅当x =y 时等号成立） y +z ≥2√yz >0（当且仅当y =z 时等号成立） x +z ≥2√xz >0（当且仅当x =z 时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x +y )(y +z )(z +x )≥8√x 2y 2z 2=8（当且仅当x =y =z =1时等号成立）故选：D5、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca>cbB ．ab <b 2C ．a −b +1a−b≥2D ．1a−1<1b−1答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b>0，所以a −b +1a−b≥2√(a −b )×1a−b=2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.6、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√yx 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2=mm 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.7、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件，故选：C ．8、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A9、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞，1]B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. |x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a >0，|x −1|<a ⇒1−a <x <1+a ，所以{1−a ≤01+a ≥4⇒a ≥3.故选：D10、若正实数a,b ，满足a +b =1，则b3a+3b的最小值为（）A ．2B ．2√6C ．5D ．4√3 答案：C分析：化简b3a +3b =b3a +3a+3b b=b 3a +3a b+3，然后利用基本不等式求解即可根据题意，若正实数a,b ，满足a +b =1，则b 3a+3b=b 3a+3a+3b b=b 3a+3a b+3≥2√b 3a⋅3a b+3=5，当且仅当b =3a =34时等号成立，即b 3a+3b的最小值为5；故选：C小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题填空题11、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______.答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.12、设a >0，b >0，且5ab +b 2=1，则a +b 的最小值为___________. 答案：45分析：由5ab +b 2=1得到a ，再将a +b 化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果. 因为5ab +b 2=1，所以a =1−b 25b=15b −b5，所以a +b =15b −b 5+b =15b +4b5 ≥2√15b ⋅4b 5=45，当且仅当a =310，b =12时，等号成立，所以a +b 的最小值为45. 所以答案是：45小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13、已知正数a,b,c ，则ab+bc2a 2+b 2+c 2的最大值为_________．答案：√64分析：将分母变为(2a 2+13b 2)+(23b 2+c 2)，分别利用基本不等式即可求得最大值.∵ab+bc2a 2+b 2+c 2=ab+bc(2a 2+13b 2)+(23b 2+c 2)≤2√23ab+2√23bc=2√23=√64（当且仅当√2a =√33b ，√63b =c 时取等号），∴ab+bc 2a 2+b 2+c 2的最大值为√64. 所以答案是：√64.14、已知a >b >0，那么当代数式a 2+4b (a−b )取最小值时，点P (a,b )的坐标为______ 答案：(2,1)分析：根据题意有b(a −b)≤(b+a−b 2)2，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，结合a >b >0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b 的值，从而可求得答案解：由a >b >0，得a −b >0，所以b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b)≥a 2+16a 2≥16，其中第一个不等式等号成立的条件为a =2b ，第二个不等式等号成立的条件为a 2=16a 2，所以当a 2+4b (a−b )取最小值时，{a 2=16a 2a =2b a >b >0 ，解得{a =2b =1所以点P (a,b )的坐标为(2,1)，所以答案是：(2,1)小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、设x >0，y >0，x +2y =4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.答案：92.分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．由x +2y =4，得x +2y =4≥2√2xy ，得xy ≤2(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy ≥2+52=92，等号当且仅当x =2y ，即x =2,y =1时成立．故所求的最小值为92．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 17、已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是_______．答案：45分析：根据题设条件可得x 2=1−y 45y 2，可得x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.∵5x2y2+y4=1∴y≠0且x2=1−y45y2∴x2+y2=1−y45y2+y2=15y2+4y25≥2√15y2⋅4y25=45，当且仅当15y2=4y25，即x2=310,y2=12时取等号.∴x2+y2的最小值为45.所以答案是：45.小提示：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.18、若实数a>b，则下列说法正确的是__________．（1）a+c>b+c；（2）ac<bc；（3）1a <1b；（4）a2>b2答案：（1）分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果c≥0时不成立，故错误；（3）若a=1,b=−1时，1a <1b不成立，故错误；（4）若a=1,b=−1，a2>b2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.19、不等式x2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞)分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案. 原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ，所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)20、若不等式x 2−2>mx 对满足|m |≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________答案：x <−2或x >2分析：令f (m )=mx −x 2+2，依题意可得−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，则{f (1)<0f (−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x 2−2>mx ，所以mx −x 2+2<0令f (m )=mx −x 2+2，即f (m )<0在|m |≤1恒成立，即−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，所以{f (1)<0f (−1)<0，即{x −x 2+2<0−x −x 2+2<0，解x −x 2+2<0得x >2或x <−1；解−x −x 2+2<0得x >1或x <−2，所以原不等式组的解集为x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)解答题21、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值．答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．22、设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3.（1）若不等式f (x )>0的解集为(−1,1)，求实数a,b 的值；（2）若f (1)=0，且存在x ∈R ，使f (x )>4成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{a =−3b =2；（2）(−∞,−9)∪(−1,+∞). 解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得a,b ；（2）由f (1)=0得b =−a −1，问题可转化为存在x ∈R ，使得ax 2−(a +3)x −1>0成立.，a ≥0不等式可以成立，a <0时由二次不等式有解可得a 的范围．解：（1）由题意可知：方程ax 2+(b −2)x +3=0的两根是−1，1所以{−b−2a =−1+1=03a =(−1)×1=−1解得{a =−3b =2（2）由f (1)=0得b =−a −1存在x ∈R ，f (x )>4成立，即使ax 2+(b −2)x −1>0成立，又因为b =−a −1，代入上式可得ax 2−(a +3)x −1>0成立.当a≥0时，显然存在x∈R使得上式成立；当a<0时，需使方程ax2−(a+3)x−1=0有两个不相等的实根所以Δ=(a+3)2+4a>0即a2+10a+9>0解得a<−9或−1<a<0综上可知a的取值范围是(−∞,−9)∪(−1,+∞)．小提示：关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x轴交点横坐标．。

全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归纳总结(精华版)单选题1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.2、若对任意x >0,a ≥2x x 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1] 答案：C分析：依题意a ≥(2x x 2+x+1)max ，利用基本不等式求出2x x 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x +1≤2√x⋅1x +1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A5、下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥−2abC．a+b≥−2√|ab|D．a+b≤2√|ab|答案：B分析：由基本不等式，可判定A 不正确；由a 2+b 2+2ab =(a +b)2≥0，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；由基本不等式可知a 2+b 2≥2ab ，故A 不正确；由a 2+b 2≥−2ab ，可得a 2+b 2+2ab ≥0，即(a +b )2≥0恒成立，故B 正确；当a =−1,b =−1时，不等式不成立，故C 不正确；当a =0,b =1时，不等式不成立，故D 不正确.故选：B.6、不等式3x 2−x −2≥0的解集是（）A ．{x |−23≤x ≤1 }B ．{x |−1≤x ≤23} C ．{x |x ≤−23 或x ≥1}D ．{x |x ≤−1 或x ≥23}答案：C分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．解：3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)≥0解得：x ≤−23或x ≥1. 故选：C.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集.由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2b a ，2×6=−c a ，得b =−4a ，c =−12a ， ∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.8、关于x 的方程x 2+(m −2)x +2m −1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m 的取值范围是（）A ．[12,32]B ．(12,23]C ．[12,2)D ．(12,23]∪{6−2√7} 答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x 2+(m -2)x +2m -1=0对应的二次函数设为：f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1因为方程x 2+(m -2)x +2m -1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f (0)⋅f (1)<0，(2m -1)(3m -2)<0，解得：12<m <23；②函数f (x )刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =12，此时方程为x 2-32x =0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =23，此时方程为3x 2-4x +1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，Δ=(m -2)2-8m +4=0，解得m =6±2√7，经检验，当m =6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m 的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D9、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b 2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b 2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t =2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52.故选：A.10、设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．32答案：B分析：因为C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，可得双曲线的渐近线方程是y =±b a x ，与直线x =a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c =2√a 2+b 2，结合均值不等式，即可求得答案.∵ C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)∴双曲线的渐近线方程是y =±b a x∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 11、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a =b 时取等号；所以选项A 不正确；对于选项B ：若a >0，b >0，12×(1a +4b )=1， a +b =12×(1a +4b )(a +b )=12(5+b a +4a b ) ≥12(5+2√b a ⋅4a b )=92，当且仅当1a +4b =2且b a =4a b ，即a =32,b =3时取等号，所以选项B 正确；对于选项C ：由a >0，b >0，ab +b 2=b (a +b )=2，即a +b =2b ，如b =2时，a +b =22=1<4，所以选项C 不正确；对于选项D ：ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B12、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（）A ．−2B ．0C ．1D ．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2，故选：D填空题13、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0，g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0，因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0，所以4a 2−4b a −1=0①，−b >−2a ②，由①得b =1a −a 4，代入②得a 4−1a >−2a，因为a >0，此式显然成立． a +b =1a +3a 4≥2√1a ×3a 4=√3，当且仅当1a =3a 4，即a =2√33时等号成立，所以a +b 的最小值是√3．所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而可求得a +b 的最小值．14、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)，因为−2≤x+2y≤3，−2≤2x−y≤0，所以−3≤−(x+2y)≤2，−4≤2(2x−y)≤0，所以−7≤3x−4y≤2，所以答案是：[−7,2].15、若函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1)，则a+b的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b](b>1)，列出相应方程组，求出a，b的值即可.解：由函数f(x)=12x2−x+a，可得对称轴为x=1，故函数在[1,b]上是增函数.∵函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1)，∴{f(1)=1f(b)=b，即{12−1+a=112b2−b+a=b.解得a=32，b=1或b=3.∵b>1，∴b=3.∴a+b=32+3=92.所以答案是：92.16、a>b>c，n∈N∗，且1a−b +1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a−c=a−b+b−c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b +1b−c≥na−c恒成立，且a>c即n≤a−ca−b +a−cb−c恒成立只要n≤a−ca−b +a−cb−c的最小值即可∵ a−c a−b +a−c b−c =a−b+b−c a−b +a−b+b−c b−c=2+b −c a −b +a −b b −c ∵a >b >c∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−c b−c )≥4，因此n ≤4所以答案是：4．17、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12 ，所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.解答题18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0).（1）若不等式的解集是{x |x <−3 或x >−2}，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值；（2）由题意得出{k <0Δ<0 ，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k>0Δ≤0，由此可解得实数k的取值范围.（1）因为不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集是{x|x<−3或x>−2}，所以，−3和−2是方程kx2−2x+6k=0的两个实数根，且k<0，由韦达定理得(−3)+(−2)=2k ，所以k=−25；（2）由于不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集是R，所以{k<0Δ=4−24k2<0，解得k<−√66，因此，实数k的取值范围是(−∞,−√66)；（3）由于不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集为∅，则不等式kx2−2x+6k≥0(k≠0)对任意的x∈R恒成立，所以{k>0Δ=4−24k2≤0，解得k≥√6 6 .因此，实数k的取值范围是[√66,+∞).小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.19、设f(x)=x2−(a−1)x+a−2.（1）若不等式f(x)≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f(x)<0(a∈R).答案：（1）3−2√2≤a≤3+2√2；（2）答案见解析.解析：（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[x−(a−2)](x−1)<0，根据a−2和1的大小分类讨论得解集．解：（1）由题意，不等式f(x)≥−2对于一切实数x恒成立，等价于x2−(a−1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ≤0⇔(a−1)2−4a≤0⇔3−2√2≤a≤3+2√2.（2）不等式f(x)<0等价于x2−(a−1)x+a−2<0⇔[x−(a−2)](x−1)<0.当a−2>1即a>3时，不等式可化为1<x<a−2，不等式的解集为{x|1<x<a−2}；当a−2=1即a=3时，不等式可化为(x−1)2<0，不等式的解集为∅；当a−2<1即a<3时，不等式可化为a−2<x<1，此时{x|a−2<x<1}.综上所述：当a<3时，不等式的解集为{x|a−2<x<1}；当a=3时，不等式的解集为∅；当a>3时，不等式的解集为{x|1<x<a−2}.小提示：本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．20、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。

高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】

一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

(完整)一元二次函数知识点汇总,推荐文档

姓名二次函数总复习（知识点）1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

一元二次函数知识点

一元二次函数知识点一元二次函数是数学中的重要概念，能够描述很多实际问题，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍一元二次函数的基本定义、图像特征、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

首先，我们来看一元二次函数的定义。

一元二次函数是指形如y =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不为0。

其中，x为自变量，y为因变量，a、b、c是函数的系数。

一元二次函数的图像呈现出抛物线的形状，称为抛物线函数。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像特征。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c而言，首先我们可以根据a的正负来确定抛物线的开口方向。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

此外，通过对x的取值范围的分析，可以确定抛物线的轴对称线在y轴左（右）侧，进而确定抛物线的对称中心。

对称中心的横坐标为-x轴系数b/2a。

图像的顶点就是抛物线的最高（最低）点，其纵坐标为函数的值，在对称中心对应的自变量下代入函数表达式即可求得。

一元二次函数还有一些重要的性质。

首先是零点的性质。

一元二次函数的零点是指函数的值为0的自变量取值。

对于一元二次函数y =ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/2a来求解。

其中，b^2-4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断一元二次函数的零点情况。

当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有一个重根零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。

除了零点，一元二次函数还有极值的性质。

当抛物线开口朝上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口朝下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

通过求导数，可以求得函数的导函数，进而求得函数的最值点和最值。

最后，我们来了解一元二次函数的应用。

一元二次函数广泛应用于许多实际问题的建模过程中。

例如，在物理领域中，一元二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹、飞行物体的抛体运动等；在经济领域中，一元二次函数可以用来分析成本、利润、收益等与输出量的关系；在工程领域中，一元二次函数可以用来研究材料的强度、力学结构等。

一元二次函数方程和不等式知识点

一元二次函数方程和不等式知识点
一元二次函数方程是指在椭圆坐标系中，形如ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)的一元二次方程，它是数学分析中一个重要的内容。

一元二次函数方程有3个常数参数a,b,c，其中a,b,c都是实数，a不能为0，而b,c可以任意取值。

还有两个根的值，这两个根的取值范围受a,b,c 参数的影响。

推导出结果的方法有三种：一是直接求解，利用公式求出解；二是先把方程转换成一元一次方程形式，再应用一元一次方程求解；三是利用卡方法。

一元二次不等式是指根据一元二次函数，把函数两边分成大于、小于或不等于，来描述函数画图特征上下边界等情况的式子表达，不等式中，参数a,b,c也是实数，a,b,c都不能为0。

一元二次函数的应用范围很广泛，它可以用来求解许多实际问题，例如，在物理学中它可以用来模型弹性力学中的弹簧定律；在热学中，它可以用来模拟体积块的变形。

在经济学中，它可以用来模拟企业的投资回报率；在力学中，它可以模拟示性运动的轨迹等等。

回到一元二次不等式上来，必须要对参数a,b,c有详细的把握，只有这样才能准确地把握函数变化特征，才能够解决实际问题，再配合一元二次函数方程，可以精确地求出具体的解，并且也能发现其中的函数关系。

总之，一元二次函数方程和不等式具有广泛的应用前景，只要把握正确的参数，不断结合深刻的思考，就可以更好地解决各种实际问题。

一元二次方程知识点总结与易错题

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于ac，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=ac。

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一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2
ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.
(2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系：
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a
b a
c k a b h 4422-=-
=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2
的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-
=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<a
b 时,对称轴在y 轴右侧. (3)
c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b .
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2
ax y =；②k ax y +=2
；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(c ,0)
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y n
kx y 2
的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于
1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：a
c x x a b
x x =⋅-=+2121, ()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121 11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax ++=2
0就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02
=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程
02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴没有交点时，则一元
二次方程02
=++c bx ax 没有实数根 12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。

一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．。