高三数学考前热身试题理新人教A版

2013深圳外国语学校综合测试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考数据：锥体的体积公式V 锥体13Sh=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设全集{xN x U *∈=＜}6，集合{}{}1,3,3,5A B ==，则()U C A B 等于A ．{}4,1B ．{}5,1C ．{}5,2D ．{}4,22. i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z等于A ．1B ．22C ．23D ． 213．若()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有()()88f t f t ππ+=-，且()38f π=-，则实数m 的值等于A ．1- ；B ．5±；C ．5-或1-D ．5或14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则m =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．125．实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值4，则实数a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．236．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．533B ．433C ．36 D ．38．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|},0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=．给出如下四个结论：①2011[1]∈； ②3[3]-∈； ③[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃； ④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．其中，正确结论的是 ( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④第II 卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题 (9～13题)9．已知向量a 、b 的夹角为0120，且6a =，5b ==+b a ________.10. 运行如右图所示的程序框图,则输出S 的值为________.11.直线2y x =与抛物线2y x =围成的图形的面积等于______.12.已知双曲线12222=-b y a x （0,0a b >>）的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.13. 已知函数1lg(1),1()(),1x x f x g x x +->⎧=⎨<⎩的图象关于点P 对称，且函数(1)1y f x =+-为奇函数，则下列结论：①点P 的坐标为(1,1)；②当(,0)x ∈-∞时，()0g x >恒成立；③关于x 的方程(),f x a a R =∈有且只有两个实根。

其中正确结论的题号为 。

A ．①② B ．②③ C ． D ．①②③（二）选做题 (14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为为参数）ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x ；在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为cos()24πρθ+=， 则1C 与2C 两交点的距离为________.15．（几何证明选讲选做题）如图, AB 是两圆的交点,AC 是小圆的一条直径,D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点,已知4,10AC BE ==,且BC AD =,则DE =________________．三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知函数1()3sin cos cos 22f x x x x=-，x R ∈(I) 求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；(Ⅱ)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，又4()235A f π+=，2b =，ABC∆的面积等于3，求边长a 的值．17．（本小题满分l2分）如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人D ACBE（第15题）先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.18．（本小题满分l4分）如图，在矩形ABCD中，212AB BC==，E为CD的中点，将DAE∆沿AE折起，使DAE ABCE⊥面面；再过点D作//DQ AB，且12DQ AB=．(Ⅰ)求证：DAE BEQ⊥面面；(Ⅱ)求直线BD与DAE面所成角的正弦值；(Ⅲ)求点Q到DAE面的距离．19．（本小题满分l4分）已知等差数列{}n a的首项为a，公差为b，等比数列{}n b的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且1123,a b b a<<．（1）求a的值；（2）若对于任意的n+∈N，总存在m+∈N，使得3m na b+=成立，求b的值；（3）令1n n nC a b+=+，问数列{}nC中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分l4分)如图，已知抛物线C：pxy22=和⊙M：1)4(22=+-yx，过抛物线C上一点)1)(,(≥yyxH作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417．（1）求抛物线C 的方程；（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．(本小题满分l4分)设()f x 是定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为'()f x .如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()0h x >，使得2'()()(1)f x h x x ax =-+，则称函数()f x 具有性质()P a .（I ）设函数2()ln 1b f x x x +=++，（1x >），其中b 为实数①求证：函数()f x 具有性质()P b ； ②求函数()f x 的单调区间；(II)已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定12,(1,)x x ∈+∞，12x x <，设m 为实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1α>，1β>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围。

数 学(理科)参考答案 一、选择题D B C C A B A C 二、填空题910．2- 11．43 12．y = 13．①③14． 15．三、解答题16、解：（1）因为1()2cos 2sin(2)226f x x x x π=-=- ………2分故()f x 的最小正周期为π ………3分222262k x k k zπππππ-≤-≤+∈即63k x k k zππππ-≤≤+∈ ………5分所以，函数的增区间为,63k k k zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ………6分（2）4()235A f π+= ()0,A π∈ 43cos ,sin 55A A ∴== ………8分13sin 3,2,sin 25S bc A b A ====5c ∴= ………10分由余弦定理2222cos 13a b c bc A =+-=a ∴=………12分17、 解：(Ⅰ)记事件A ：某个家庭得分情况为（5，3）.111().339P A =⨯=所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为19.……………2分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况. 所以1111111().3333333P B =⨯+⨯+⨯=所以某个家庭获奖的概率为13. ……………4分(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是11,~(4,).33X B 所以 ……5分00441216(0)()(),3381P X C ===1341232(1)()(),3381P X C === 22241224(2)()(),3381P X C ===334128(3)()().3381P X C ===4404121(4)()()3381P X C ===…………………………10分所以X 分布列为： X 01234P1681 32812481881 18143EX np ==期望…………………………12分18、（1）证明：折叠前，矩形ABCD 中，连接BE ，ABE ∆中，62AE BE ==，12AB =222AE BE AB ∴+=，即AE BE ⊥， ………1分 DAE ABCE ⊥面面，交线为AE ，∴ DAE BE ⊥面， ………3分而BE BEQ ⊂面∴ DAE BEQ ⊥面面 ………4分（2） 由（1）知，DAE BE ⊥面∴ BDE ∠是直线与DAE 面所成的角，………6分 在Rt BDE ∆中，62BE =，6DE = 63BD =∴BE 626sin BDE=BD 363∠== ………8分故直线BD 与DAE 面所成角的正弦值为63。

………9分（3）设点Q 到DAE 面的距离为h ，DQ//EC 且DQ=EC ，∴四边形DQCE 为平行四边形， QC//DE ∴，从而QC//DAE 面，故点Q 到DAE 面的距离等于点C 到DAE 面的距离， ………11分ADE 1S AD DE=182∆=⋅⋅，AEC 1S EC AD=182∆=⋅⋅作DH AE H ⊥于，DAE ABCE ⊥面面，交线为AE ，∴ AH ABCE ⊥面，则AH 是D 到面ABCE 的距离，而 ………12分由Q-ADE C-ADE D-AECV V V ==ADE AEC 11S h S DH 33∆∆⋅⋅=⋅⋅∴ h = ………13分∴ 点Q 到DAE 面的距离为………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．因a ，b 都为大于1的正整数，故a≥2．又b a >，故b≥3．…………………1分 再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<． 由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．由b≥3，故30a -<，解得3a <．…………………………………………3分 于是23a <≤，根据a ∈N ，可得2a =．……………………………………4分（2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则1(21)5n b m --+=．又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数．故1211n m --+=，b=5．所以b=5时，存在正自然数12n m -=满足题意．……………………………8分（3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………10分当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立．…………………11分 当2n =时，4b =时，等式（※）成立．………………………………………12分当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b≥3矛盾．这时等式（※）不成立．………………………………………………………13分综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………14分20、解（1）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417，∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2．（2）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ，∴1212H HH H y y y y x x x x --=---， ∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---，∴1224H y y y +=-=-．212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+．法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ．同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． （3）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=，可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=，令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ①⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ②①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥，∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．21、（1）(i)'()f x 222121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=-=-+++ ………………1分∵1x >时，21()0(1)h x x x =>+恒成立，∴函数)(x f 具有性质)(b P ；……………2分(ii)（方法一）设222()1()124b b x x bx x ϕ=-+=-+-，()x ϕ与)('x f 的符号相同。