南通市2014届高三上学期期末检测数学试题

数学试卷

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1.复数i 2i

z =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．

2.某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ．

4.分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的

概率为．

【答案】3

4

6.如图是计算

10

1

1 21

k

k =

-

∑的值的一个流程图，则常数a的取值范围是．

19

n=时，

111

,19221

1319

S n

=+++=+=

，可得a的范围为：(]

1921

，．

考点：算法的循环结构

7.函数y =()π

sin2

3

x-的图象可由函数y = sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：

A. 图象上所有点向右平移π

6

个单位；

B. 图象上所有点向右平移π

3

个单位；

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D. 图象上所有点的横坐标变为原来的1

2

倍（纵坐标不变）.

请按顺序写出两次变换的代表字母：．

9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ． 【答案】221x y += 【解析】

10.给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若

③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围 ．

11.设π02βα<<<，且113cos cos()714

ααβ=-=，

，则tan β的值为 ．

12.设平面向量a ，b 满足3-a b a ·b 的最小值为 ． 【答案】16

-

14.设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，

，

． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，

内公共点的个数为 ．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或

15.设向量a (cos sin )αα=，

，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．

（1）若⊥a b ，求+a 的值；

（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．

16.如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =．

求证：（1）//EF 平面PBC ；

（2）平面DEF 平面PAC．

二、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60 的方向，且在港口A北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30 的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；

（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间

能和科考船相遇？

18.设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足

23

71574

a a S a =-=，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得

+12

m m m

a a a +为数列{}n a 中的项．

【答案】（1）311n a n =-;（2）m 的值为3和4． 【解析】

19.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭

圆C 1． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2

AOB ∠=．

①求证：原点O到直线AB的距离为定值；

②求AB的最小值．

20.设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．

（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；

（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，

2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）

．