全国初中数学竞赛决赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( ).

（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).

（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）

3．若1x >，0y >，且满足3y y x

xy x x y

==，，则x y +的值为( ).

（A ）1 （B ）2 （C ）

92 （D ）112

4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为

( ).

（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定

5．设333

3

1111

12399S =

++++

，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .

8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1

y x

=

（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .

9．若1

12

y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .

10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.

（第8题）

（第10题）

12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.

13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2

23

y x =

于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.

14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且

352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．

（第13题）

（第12题）

（第14题）

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题 1．A

解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以

3223126123621262612

61260

662126024.

a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）

2．B

解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0

u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，

对任何实数

u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得

（x y ，）=（1，0）．

3．C

解：由题设可知1

y y x -=，于是

341y y x yx x -==，

所以 411y -=，

故1

2

y =，从而4x =．于是92x y +=．

4．C

解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则

14

23

S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．

5．A

解：当2 3 99k =，，，时，因为

()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤

<=-⎢⎥-+-⎣⎦

， （第4题）