初二数学难题30道

1 已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 的

延长线交 MN 于 E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

B 如图，分别以△AB

C 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与 CD 相交于 F ． 求证：CE ＝

CF ．（初二）

E

5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 EC 交DA 延长线于 F ． 求

证：AE ＝AF ．（初二） 求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、

4、 D

C

F

6、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP，

求证：PA＝PF．（初二）

PC＝5．

7、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，

求：∠APB 的度数．（初二）

C 8、设P 是平行四边形ABC

D 内部的一点，且∠ PBA ＝∠ PDA ．求

证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

9、已知：P是边长为1的正方形ABCD 内的一点，

10、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a 正方形的边

长．

1.如图 1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以 AB、BC 为边向外作△ABD 与且DA=DB ， BE=EC ，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接 DE 交 AB 于点 F ，试探究

线段 DF 与EF 的数量关系，并加以证明。

B

3：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边

形；

（2） 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有

哪

4：如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边 BC 、AC CD=CE ，连结 DE 并延长至点 F ，使 EF=AE ，连结AF 、BE B 和 CF 。

1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以 证明。

2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

3）若 AB=6，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。

5：如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点 D ，

（1） 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋ 3 PQ ；

2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三 角形面积为 y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值 范围）；

几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件. 于点E ，D ∥BC 交 AC 于点F ． D

F

ABE ＝30°， P 作 PQ∥BD

1）点 D 是△ABC 的

心；

（3）在②的条件下，当点 P 运动到线段 ED的中点时，连接QC，

过点P 作 PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线

7：如图,矩形纸片 ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的

E 点上,BG =10.

(1) 当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积. (2) 当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图(2).证明四边形BGEF 为菱

形,并求出折痕GF 的长.

8：如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A 、

C 不重合)，点 E 在射线 BC 上，且PE=PB .

1)求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； 2)设 AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

BG

图(1)

C

② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值

9：如图 1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G 与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图 1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图 4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，

CG=kb（a b，k0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

20

（3）在第（2）题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k = 1 ，求

BE 2+DG 2 的值．

10．如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交 BC 、CD 于点 P 、Q ，分别交 AB 、AD 的延长线于点 E 、F ．已知 BE=BP ． 求证：（1）∠E=∠F ．

2）□ABCD 是菱形．

11．如图 10，分别以△ABC 的边 AB ，AC 向外作等边三角形 ABD 和等 边三角形 ACE ，

线段 BE 与 CD 相交于点 O ， 1）求证：BE = DC ； 2）求∠BOD 的度数； 3）求证：OA 平分∠DOE ．

12．如图，点P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A ，B 重合），连

接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转 90°得到线段PE ，PE 交边

BC 于点F ，连接BE ，DF ．

1）求证： ADP =EPB ； 2）求CBE 的度数；

（3）当 AP 的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由 AB

13．某天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨 4 点，只打开进气阀,在以后 的 16

小时 （4：00— 20 ：00）, 同时打开进气阀和供气阀, 20 ：00 — 24：00 只打开供气阀．已

知气站每小时的进气量和供气量是一定的，图 11 反映了气站某天的储气量 y （米3 ）与 x （小时）之间的关系．

1）①0：00—4：00之间气站每小时增加的储气量为 _________ 米3 ，

②4：00—20：00 之间气站每小时增加的储气 y （米3） 量为 ___________ 米3 ；

连结 E