高中数学必修四平面向量知识点与题型总结

高中数学必修四平面向量复习

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB u u u r 或a r

。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB uuu r 或||a r 。

3.单位向量：长度为1的向量。若e r 是单位向量，则||1e =r

。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0r 。【0r

方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-u u u r u u u r

。

8.三角形法则：

AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r

（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b r r

为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +r r ，a b -r r 。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔r r r r 。当0λ>时，a b r r 与同向；当0λ<时，a b r r

与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =r

，则||a =r ，22

||a a =r r

，||a b +=r r 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ； cos ||||

a b

a b θ⋅=⋅r r

r

r 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=r r r r ；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =u u u r u u u r

。 （5）若AB CD =u u u r u u u r

，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r 共线。 （7）若ma mb =r r ，则a b =r r

。 （8）若ma na =r r ，则m n =。 （9）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r

都不是零向量。 （10）若||||a b a b ⋅=⋅r r r r ，则//a b r r 。 （11）若||||a b a b +=-r r r r

，则a b ⊥r r 。

题型2.向量的加减运算

1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b +=r r

。 2.化简()()AB MB BO BC OM ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r

。

3.已知||5OA =u u u r ,||3OB =u u u r ,则||AB uuu r

的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b ==u u u r r u u u r r ，则AB =u u u r ，AD =u u u r

。

5.已知点C 在线段AB 上，且35

AC AB =u u u r u u u r ,则AC =u u u r BC uuu r ，AB =u u u r

BC uuu r 。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：2(253)3(232)a b c a b c +---+-=r r r r r r

2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-r r ，则132

a b -=r

r 。

题型4根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，

表示AD u u u r

。

2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==u u u r u u u r r

r ，求AB AD u u u r u u u r 和。

题型5.向量的坐标运算

1.已知(4,5)AB =u u u r

，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。 2.已知

(3,5)PQ =--u u u r ，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。 3.若物体受三个力1(1

,2)F =r ,2(2,3)F =-r ,3(1,4)F =--r ,则合力的坐标为 。 4.已知(3,4)a =-r

，(5,2)b =r ，求a b +r r ，a b -r r ，32a b -r r 。

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--r

与AB u u u r 相等，求,x y 的值。 6.已知(2,3)AB =u u u r ，(,)BC m n =u u u r ，(1,4)CD =-u u u r ，则DA =u u u r

。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=u u u r u u u r r ，求OC u u u r

的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e u r u u r

是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212e e e e +-u r u u r u r u u r

和 B.1221326e e e e --u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e +-u r u u r u u r u r 和 D.221e e e -u u r u u r u r

和 2.已知(3,4)a =r

，能与a r

构成基底的是（ ）

A.34(,)55

B.43(,)55

C.34(,)55--

D.4(1,)3

-- 题型7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =u u u r ，150xOA ∠=o

，求OA u u u r 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA =u u u r ，60xOA ∠=o

，求OA u u u r 的坐标。

题型8.求数量积

1.已知||3,||4a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为60o

，求（1）a b ⋅r r ，（2）()a a b ⋅+r r r ， （3）1()2

a b b -⋅r r r ，（4）(2)(3)a b a b -⋅+r r r r 。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b ⋅r r ，（3）(2)a a b ⋅+r

r r ， （4）(2)(3)a b a b -⋅+r r r r

。