优选第六章弹性波波动方程及其解
基础物理学上册习题解答和分析第六章习题解答和分析
习题六6-1频率为Hz 41025.1⨯=ν的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量211/1090.1m N E ⨯=，棒的密度33/106.7m Kg ⨯=ρ.求该纵波的波长. 分析 纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。
解：波速ρ/E u =,波长νλ/u = 2/0.4E m λρν==6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：))(5.2cos(04.0SI x t y ππ-=(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出t=1s 和t=2s 的波形，并指出波峰和波谷.画出x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解：（1）用比较法，由)2cos()5.2cos(04.0x t A x t y λπϕωππ-+=-=得0.04A m = ； /2 2.5/2 1.25Hz νωπππ===；2, 2.0m ππλλ== 2.5/u m s λν==（2）0.314/m A m s νω==（3）t=1(s)时波形方程为：)5.2cos(04.01x y ππ-= t=2(s)时波形方程为：)5cos(04.02x y ππ-=x=1(m)处的振动方程为：)5.2cos(04.0ππ-=t y6-3 一简谐波沿x 轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6－3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-π，π].求各点的初相.分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。
依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。
解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知 质点1的初相为π; 质点2的初相为π/2; 质点3的初相为0; 质点4的初相为-π/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6－4所示.已知A 点的振动规律为)t cos(A y ϕ+ω=，就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况，只需求出任意点x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于题图题图6-3t=坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
第六章无限弹性介质中的波
C
x
经过时间间隔
t
x V p t 将成为 x Vp (t t ) x Vpt V p t u1 也将改变数值
如果将坐标x增大
x Vp t
u1 的数值将不改变
说明瞬时t所作的曲线ABC只要把它沿x方向移动一个 距离，如图中的A’B’C’，就适用于下个瞬时
分析弹性介质内以ox轴为法线的一系列平面：
这些平面都沿着ox轴移动，相互接近或远离，原来间隔 相等的平面，移动时间隔就不相等，这样发生了疏密相间的现 象。 波的传播方向与质点位移的方向平行，即质点振动所沿 的直线与振动传播所沿的直线平行，称此波为平面纵波。
传播条件就是要满足拉梅方程，不计体力的影响。
◆弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。
无限弹性介质中的弹性波
地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近 的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而 岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受 力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震源 作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这 就是地震波。
w1 f1 ( x VS t )
它的传播速度就是 表示一个沿x方向传播的横波。
x VS t
应用几何方程求出相对应的应变分量：
x y z 0, xy yz 0
w1 u df1 ( x VS t ) ( x VS t ) d xz f1 ( ) x z d ( x VS t ) x d
第六章 无限弹性介质中的弹性波
6.0 波、弹性波、地震波
6.1 无限弹性介质中的平面波:纵波和横波
6.2 无限弹性介质中的波：无旋波和等容波 6.3 弹性介质中波的传播速度 6.4 无限弹性介质中的球面波 6.5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波 6.6 能量密度和能流密度
弹性动力学波动解与振动解
弹性动力学主要目标是在给定扰动源及边界条件、初始条件下求解弹性物体的动力响应。
解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。
前者描述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。
为了说明两者的联系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。
一个原来处于静止状态的物体，当期局部受到突然的扰动，并不能立即引起物体各部分的运动。
如图1.2所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受到这个信号。
这是动力问题和静力问题最根本的区别。
实际上由于连续介质中的各个指点由某种约束力而彼此联系起来，在未受到扰动之前，质点之间的相互作用力处于平衡状态。
当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离原来的平衡位置而进入运动状态。
由于质点间相对位置的变化，使得受扰动质点痛其周围质点之间增加了附加的弹性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进入运动状态。
这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动源开始的波动现象。
这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传播的过程，称为弹性波。
如果介质是无限的，扰动将会随时间的发展一直传播出去。
然而一个实际的物体总是有边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而产生反射。
对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的一种周期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。
弹性波和弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。
这两种现象的形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和惯性两个基本性质所决定。
弹性性质有使发生了位移的质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能的要素，惯性是维持动能的表征。
正由于这两种特性的存在，系统的能量才得以保持和传递，外部的扰动才能激发起弹性波和弹性体的振动。
弹性波的传播和弹性体的振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。
弹性波动理论详解
图1.6 波前、波后和射线
菲涅尔补充：由波前面上各点所产生的子波，在观测点上相互干涉叠加，其叠加 结果就是我们在该点观测到的总振动。 惠更斯—菲涅尔原理（又称波前原理）：既可用于均匀介质，也可用于非均匀介 质，利用这个原理可以构制反射界面、折射界面等。 2.费马原理 弹性波的传播，除了可用波前来描述外，还可用射线来描述： 射线：波从空间一点到另一点的传播路径。在任一点上，射线总是垂直于波前。
垂直面内分量：称SV波
从波动方程知：纵、横波传播速度为
Vp
1 (1 )(1 2 ) E 1 Vs 2 (1 ) E
( 2 )
(1.15)
则纵、横波速度之比为
Vp Vs 1 0 .5
(1.16) 表1.2 Vp/Vs值与介质泊松比的关系
(2) 泊松比（σ） 在拉伸形变中，直杆的横切面会减小。反之，在轴向挤压时，横截面将增大。 也就是说，在拉伸或压缩形变中，纵向增量 L和横向增量 d的符号总是相 反的。 泊松比: 介质的横向应变与纵向应变的比值
σ =- L / L
(3) 体变模量
d / d
(1.6)
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正 截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比 P (1.7) K=-
解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
体波：纵、横波，在整个空间 面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转） 天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向， SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
第六章 弹性介质中的波动
A cost
x u
由于 P为波传播方向上任一点，因此上述方
程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意
义，即为沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波函数，
又称波动方程.
探究二 ------- 沿x轴方向传播的平面简谐波的波
动方程其他形式
想一想 沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间 的振动相位差如何？
波动是振动 相位的传播
沿波的传播方向,各质元 的振动相位依次落后。
u 传播方向
a
L
b
x
u 传播方向
a
L
b
x
图中b点比a点的相位落后
a点的振动传到b点需时间 ： 在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量
又转过的角度）为：
沿波线上相距为一个波长的两点，振动的相位 差为2。
问题1 是否可以利用O，P点之间的相位差来推导 波线上某点P点的振动方程？
二、 横波与纵波 1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方向与波传播 方向垂直 (峰或谷的移动)
2 纵波（又称疏密波）
特点：质点的振动方向与波传播方向一致 (疏或密状态的移动)
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成
简谐波
特点：波源及介质中各点均作简谐振动 （本章研究对象）
波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质 点间的距离（一完整波的长度）.波源振动一个周 期波动向前推进的距离。或振动状态在一个周期 内传播的距离
Ay
u
O
x
A
横波：相邻 波峰——波峰 波谷—— 波谷
纵波：相邻 波疏——波疏 波密——波密
第六章弹性波波动方程及其解ppt课件
又 • u • uS 0
2
代入纳维方程 ( )( • u ) u f u
uS f uS
2 2
VS uS f uS
2
vs
结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向
(4)
(5)
式u j , ji (ui , jj u j ,ij ) f i ui即为位移在弹性体
内传播时所满足的方程 .称为纳维 ( Navier)方程.
纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中
的弹性波最基本方程。
指标表示的纳维方程 ( )u j , ji ui , jj f i ui
§6.1 线性弹性动力学的基本方程
1.
基本方程
➢
➢
运动微分方程 ji , j
几何方程
1
eij (ui , j u j ,i )
2
2 ui
f i 2
t
u1
e11
x1
u2
e22
x2
u
e33 3
x3
1 u1 u2
e12 (
)
2 x2 x1
v p t
上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。
转动矢量表示的横波方程
2
( )( • u ) u f u两边取旋度
2
(
u
)
( )( ( • u )) 2 ( u ) ( f )
弹性波
2 E 1 e ( 2w) 2 t 2 (1 ) 1 2 z
一、无旋波 所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转， 即 弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。 假定弹性体的位移 u,v,w 可以表示成为：
纵波波动方程的通解是：
u( x, t ) f1 ( x c1t ) f 2 ( x c1t )
二、横波 [定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
横波的传播形式
由于横波的体积应变 e=0，故横波为等容波。
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程， 也称为拉密 （Lame) 方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量 还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简 化为：
2u E 1 e ( 2u ) 2 t 2 (1 ) 1 2 x
z
1 [ z ( x y )] E
1 E
xy
2 (1 ) xy E
由于位移分量很难用应力及其导数来表示， 所以弹性力学动力问 题通常要按位移求解。 将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运 动微分方程，并令：
e
得到：
u w x y z
弹性波
概述： 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时， 并不是在弹性体的 所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作 用处较远的部分仍保持不受干扰。 在作用开始后， 荷载所引起的位移、 形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动 就称为弹性波。 本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程， 然后介绍弹性 波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后 给出波在无限大弹性体中传播速度公式。 本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此， 在 静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量 表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅 仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以 外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上 的惯性力在空间直角坐标系的 x,y,z 方向的分量分别为:
波动方程ppt课件
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播， 画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各 点的运动方向和四分之
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：
1波动方程及其解一维简谐波
1） 每个质元振动的 A 相同
波速ｕ
2)
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 a
b·
波长 : 两相邻同相点间的距离
k 2
相位落后 a b
o
k（ x b
xa
x
） kx
x
3）波速u : 任一位相的速度——相速度
u
kT
4）原点初相为
5）波型曲线
2
求原点下一时刻振动方向
o
u
t
x
例：简谐波如图，波速 u =100cm/s，求：1）O、P、Q各点
F1 S
x
虎克 定律
Fi S
Y ( x )i
i 1,2
2
t2
Y
(
/
x)2 ( x
/
x )1
x0
2
t2
Y
2
x2
u2
2
x2
波动方程
u2 Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解 若 d2 f 存在，则 dy2
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
( x, t) f (u t x) f ( y) 是方程的解——称为波函数
= 0 的时空点( x, t )
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
若 (x,t) f (ut x) 0
要求 ut x 常 数
位移（取定值）的运动表达式
位移运动的速度： v dx u dt
4 波函数的物理意义
物理量（位移）以速度u运动（传播）——行波 某一质元（波源）率先以某种方式运动时，这一 运动方式将以速度u传播
3）P 点的初相 p 2 3 2 o p 3 4 x p x k 3 4 cm
第六章_波动方程
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
14第六章波动方程的特征线法.pdf
u = u ( x, ϕ ( x, t ) )
一阶线性偏微分方程
∂u
∂u
( x, t ) f ( x, t ) , x ∈ R , t > 0
+ ϕ1 ( x, t ) + ϕ2 ( x, t ) u=
∂x
∂t
u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ R
=
dx
= ϕ1 ( x ( t ) , t )
Ψ (α )dα (6)
∫
2
2a x − at
显然，(6)满足方程(1)。为使其满足初始条件，只要 ≥ 时，
( x) ϕ ( x),
Φ=
( x) ψ ( x)
Ψ=
(7)
即可。最后，还要求(, )满足边界条件 , = ,于是得到
1
1 at
u= [ Φ (at ) + Φ (−at ) ] +
∫ ψ (α )dα =
0
从上述式子中解出()和()，有
1
1 x
1
ψ (α )dα + ( f (0) − g(0) )
f ( x) = ϕ ( x) −
∫
2
2a 0
2
1
1 x
1
g ( x) = ϕ ( x) +
ψ (α )dα − ( f (0) − g(0) )
∫
2
2a 0
2
1
Φ ( x) , ut ( x, 0) =
Ψ ( x)
u ( x, 0) =
(4)
(5)
其中 , ()为待定函数。
适当选取 , ()使(4)-(5)的解在 ≥ 范围内是(1)-(3)的
1波动方程
t x y = A cos2π + T λ
x y = A cos 2π ν t + λ 2π x y = A cos[ 2πν t +]
Tu = λ
1 ν= T
y
λ
ut
0 x X
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2π 2πx π y = Acos( t + ) λ 2 T
F
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
= 4 ×10 2 cos(100πt + 5πx π 2)m 17
因为: 因为: = y = y( x, t ) = Aω sin[ω (t + x ) + 0 ] v u t 所以 v = y = y ( x, t ) = 12.6 cos(100πt + 5πx)(m / s ) t 显然与波速u=20m/s 不同. 不同. 显然与波速 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程 时刻的波动方程. 上例中条件是已知 时刻的波动方程. 如果t=0时 波源 波源x=0点的振动方程为: 点的振动方程为: 如果 时,波源 点的振动方程为
19
三,波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别 振动方程与波动方程的区别
x = A cos(ωt + )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数, 的函数,表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移. 刻的振动位移.
x o
x = f (t )
t
y = f ( x ,t )
播放动画
5
6
四,波阵面,波射线,波前 波阵面,波射线,
弹性动力学中的基本波
弹性介质中的传播，称为拉梅方程。
§2－1 弹性波控制方程
一、弹性波方程的导出
弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量u所决定。
作为质点位置坐标和时间的函数，位移向量u满足弹性介质运动
平衡微分方程式。根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理，任何一个向 量场可以表示为一个无源向量场及一个无旋向量场之和，所以位 移向量u可以写作：
为弹性介质旋转角位移量，前者表 其中 为相对体变，
示介质的胀缩应变，后者表示介质的旋转运动。
divu curlu 2
不难看出， divu div(u p u s ) divu p 2 (2-10) curlu p curl ( grad ) 0
1
t 0
(2-25)
f ' f1 ( x, y, z, t ) n s2
t 0
这样的边界条件称为混合边界条件。
使用非零的边界条件，或称为非齐次边界条件，求 解齐次波动方程式(2-12)、(2-13)或(2-16)，可以代
替求解带震源项的非齐次波动方程式(2-8)、(2-9)，
以研究震源的作用。这时，位于波函数求解区域V以外 的震源作用由V区域边界面S上给出的边界条件所代替。
z＝0时的应力连续条件可以写作：
( zx )1 ( zx )2 ( zy )1 ( zy )2
( zz )1 ( zz )2
(226)
经过分界面z＝0由介质1过渡到介质2时位移和它的分量 应是连续变化的。这样的条件称为位移连续条件。当 z ＝0时，可以写作：u1=u2
或者 u1=u2
(228) 作为波动方程的解必须满足（2－26）、（2－28）
弹性波动力学复习提纲课件
04 弹性波的散射和干涉
弹性波的散射
弹性波散射的定义
弹性波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向和能量分布发生变化的现象。
弹性波散射的分类
瑞利散射、米氏散射、共振散射等。
弹性波散射的物理机制
波动与障碍物相互作用，产生反射、折射、吸收等现象。
弹性波散射的数学模型
散射波函数、散射系数等。
弹性波的干涉
三维波动方程
总结词
三维弹性波的波动方程是描述弹性波在三维空间介质中传播的基本方程。
详细描述
三维波动方程适用于描述任意方向传播的波，适用于各种复杂的三维介质结构。该方程全面考虑了波 在三维空间中的传播特性，包括波的传播方向、速度以及介质中质点的位移、速度和加速度。
边界条件和初始条件
总结词
边界条件和初始条件是确定弹性波波动方程解的重要约束条件。
随着入射角的增大，反射系数会发生变化。
弹性波的折射
1 2
折射系数
描述入射波与折射波之间振幅关系的系数。
斯涅尔定律
入射角等于折射角。
3
折射系数与入射角的关系
随着入射角的增大，折射系数也会发生变化。
全反射和透射
要点一
全反射
当入射角达到某一临界值时，折射波消失，只剩下反射波 。
要点二
透射
当入射角小于某一临界值时，折射波存在，且其振幅与入 射波相似。
详细描述
通过向物体内部发射弹性波并检测反射回来的波，可 以判断物体内部的缺陷、损伤等，如飞机、高铁等大 型机械的检测，确保其安全运行。
声呐探测
总结词
利用弹性波在水中传播的特性进行水下探测和通信。
详细描述
声呐系统通过向水下发送声波并接收回波，可以探测水 下目标的位置、大小、形状等信息，广泛应用于海洋科 学研究、水下考古等领域。同时，声呐技术还可用于水 下通信，实现水下设备之间的信息传递。
波动方程求解法2
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相 交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同 样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。
《物理场论》弹性波的波动方程求解
1[ 2
f1(x Vt)
f1(x Vt)]
1 2V
xVt
xVt f2 (x ')dx '
此为无限大介质中，一维波动方程在满足给定初始条
件时的定解。
均匀介质弹性波
2. 平面正弦波、波矢量的定义及波的分解
波矢量：k N 2 N
V
弹性波传播方向上的单位矢量：N lex mey nez
— 代表标位 ; 或代表矢量位 的一个分量； — 和体力场分布有关的函数，又称源函数。
在波源不存在的地方，位函数满足波动方程：
2
1 V2
2
t 2
0
（齐次方程）
为二阶常系数线性微分方程。
第2节 无限大均匀各向同性介质中的弹性波
1. 一维波动方程求解
（1）波动方程的简化
《物理场论》第2篇：弹性波场
第3章 弹性波的波动方程求解
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
第1节 波动方程总体描述 第2节 无限大均匀各向同性介质中 的弹性波
第1节 波动方程总体描述
弹性波场的达郎贝尔方程为：
2 1 2 （非齐次方程）
V 2 t2
此为一维波动方程的通解，前一项为正向平面波，后 一项为反向平面波。
（3）一维波动方程的定解
由初始条件：
(x, 0)
f1( x)
( t ) |t0 f2 ( x)
则 (x,0) 1(x) 2(x) f1(x)
（1）
均匀介质弹性波
t
|t0
2 (x)