备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题26应用ADxAByAC解题探秘

专题26 应用AD x AB y AC =+ 解题探秘

【热点聚焦与扩展】

高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．要特别注意基底的不唯一性-----只要两个向量不共线，就可以作为平面

的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a

都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确

定后，这样的表示是唯一的．

1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+.其中12,e e 称为平面向量的一组基底. （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量

（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则11

22

λμλμ=⎧⎨=⎩

2、“爪”字型图及性质：

B

（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD x AB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=

当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧

1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上

（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m

AD AB AC m n m n

=+++ 3、AD x AB y AC =+中,x y 确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解

【经典例题】

例1.在梯形ABCD 中，AD∥BC，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD mBA nBC =+ (m ，n∈R)，则m

n

＝( ) A. －3 B. －13 C. 1

3

D. 3

【答案】A

【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量

例2.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ

AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）

A ．3

B ．22

C ．5

D ．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系

【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

例3.【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知是的重心，过点作直线

与

，

交于

点

，且

，

，

，则

的最小值是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

如图

三点共线，

∵是

的重心，

故

当且仅当等号成立

故选D

例4.【2018届北京市朝阳区一模】在平面直角坐标系xOy 中,已知点(

)

3,0A

, ()1,2B ,动点P 满足OP =

OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 23 【答案】C

【解析】设(),P x y ,则(

)

()3,2,OP OA OB x y λμλμμ=+=

+=,

3

{

2

x

y

λμ

μ

+=

∴

=

2

{

3

32

y

y

x

μ

λ

=

∴

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

,

01

2

3

{01

32

3

12

232

y

y

x

y y

x

≤≤

⎛⎫

∴≤-≤

⎪

⎝⎭

⎛⎫

≤+-≤

⎪

⎝⎭

()

02

{0223

2323143

y

x y

x y

≤≤

∴≤-≤

≤+-≤

,所有点P构成图形如图所示（阴影部分）,

1

323

2

S=⨯⨯=,故选C.

【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.

例5.【2018年4月湖南G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD中，3

AB=，2

AD=，120

BAD

∠=︒，P是平行四边形ABCD内一点，且1

AP=，如AP x AB y AD

=+，则32

x y

+的最大值为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B

【解析】∵AP x AB y AD

=+，

∴

2

AP=()2

xAB y AD

+22

1

94232

2

x y xy

=++⨯⨯⨯（﹣）

222

3

323?3?23232

4

x y x y x y x y

=+≥+⨯+

（）﹣（）﹣（）=

1

4

2

32

x y

+）；