高中数学总复习练习题---任意角和弧度制(解析版)
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．5.满足cos α≤－的角α的集合为________．【答案】【解析】作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.6.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.7.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．8.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选A．【考点】弧长公式．9.已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).10.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为() A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由已知式，解出的值，再把欲求式的分子分母都除以（需说明），变形为，代入的值，即可求得的值；（Ⅱ）先利用诱导公式将欲求式化为：，将这个式子变形为，分子分母都除以，变形为，代入的值，即可求得的值．试题解析：由已知得tanα＝. 3分(1)原式＝＝＝－. 8分(2)原式=sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)＝＝＝＝. 13分．【考点】三角函数給值求值．14.求值：= ．【答案】【解析】由题意得:【考点】三角求值15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.已知角的终边经过点,且,则的值为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】因为,故为二三象限，故，且，解得．【考点】三角函数定义．17.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值18.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.19.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.20.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.21.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.22.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)【答案】n (3n+1)π【解析】设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度【考点】本题主要考查倒靫收莲的概念，求和公式。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知点（）在第三象限，则角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于点是第三象限角，，在第二象限.【考点】三角函数在各个象限的符号.2.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号3.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义4.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程5.已知是第二象限的角，，则．【答案】【解析】设的终边有上一点P(x,y)(x<0,y>0),则，不妨令,由三角函数的定义得：.【考点】三角函数的定义.6.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.7.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.8.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.9.=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.10.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．11.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．12.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故【考点】特殊角的三角函数13.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.14.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．15.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -,求cosθ的值.【答案】【解析】因为,横坐标为负数，所以余弦值是负数，根据同角基本关系式：，所以.试题解析：∵sinθ= -，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（,-）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= -.【考点】1.三角函数的定义；2.同角基本关系式.16.与角终边相同的最小正角是．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为与角终边相同的角为,所以与角终边相同的角是,其中最小正角是,化为弧度为.【考点】弧度制,终边相同的角.17.的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数中正弦两角差公式及特殊角的三角函数值。
2023高考数学复习专项训练《任意角和弧度制》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《任意角和弧度制》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC ，分别记射线AC ，BA ，CB 为l 1，l 2，l 3，以C 为圆心、CB 为半径作劣弧BC 1⏜交l 1于点C 1；以A 为圆心、AC 1为半径作劣弧C 1 A 1⏜交l 2于点A 1；以B 为圆心、BA 1为半径作劣弧A 1 B 1⏜交l 3于点B 1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC 1⏜的长，劣弧C 1 A 1⏜的长，劣弧A 1 B 1⏜的长，…依次为a 1，a 2，a 3，…，则a 1+a 2+…+a 9=( )A. 30πB. 45πC. 60πD. 65π2.（5分）tanθ<0，且cosθ>0，则θ是( )A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角3.（5分）手表时针走过2小时，时针转过的角度为（ ）A. 60°B. -60°C. 30°D. -30°4.（5分）若sinθ.cosθ>0，则角θ所在的的象限是 ( )A. 二、四B. 一、二C. 一、三D. 一、四5.（5分）若角α=−4，则α的终边在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限6.（5分）已知圆心角为135∘的扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为( )A. 3πB. 32√2π C. 3√2π D. 6π7.（5分）若角α终边在第二象限，则π−α所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.（5分）下列与−5π4终边相同的角是( )A. π4B. 3π4C. 5π4D. 7π49.（5分）若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为()A. π3B. √3 C. 2π3D. 210.（5分）写出终边在直线y=x上的角的集合，下列表示中不正确的是（）A. {β|β=±45°+k•360°，k∈Z}B. {β|β=225°+k•180°，k∈Z}C. {β|β=45°-k•180°，k∈Z}D. {β|β=-135°+k•180°，k∈Z}11.（5分）已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是()A. 1B. 2C. 4D. 1或412.（5分）若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知扇形的圆心角为2，周长为6.则这个扇形的面积为______．14.（5分）已知某扇形的面积为4c m2，周长为8cm，则此扇形圆心角的弧度数是______ ；若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则不等式sinax⩾√32的解集为 ______ ．15.（5分）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且AD=1，则扇形OAD的面积是 ______.16.（5分）已知扇形的面积为4c m2，该扇形圆心角的弧度数是12，则扇形的周长为______cm．17.（5分）在区间[–4π,–2π]上，与角7π6终边相同的角为__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧⌢AB、⌢CD所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为θ(弧度).(1)若θ=2π3，r1=3，r2=6，求花坛的面积；(2)根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．19.（12分）写出与α=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β＜360°的元素β写出来．20.（12分）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R．(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及扇形面积；(2)若扇形的周长为8cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大的面积？21.（12分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°.(1)求半径PB的长度；(2)现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V柱=S底⋅ℎ.22.（12分）在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）-720°到-360°的角．23.（12分）如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π，A是半径OP上的3动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA=OD.(1)若∠BOP=α，求线段AB的长；(2)求矩形ABCD 面积的最大值.四 、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）如图A(2,0)，B(1,1)，C(−1,1)，D(−2,0)，CD ⏜是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB ⏜是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA ⏜是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A. 曲线Ω与x 轴围成的面积等于32πB. CB ⏜与BA ⏜的公切线方程为：x +y −1−√2=0 C. AB ⏜所在圆与CB ⏜所在圆的交点弦方程为：x −y =0 D. 用直线y =x 截CD ⏜所在的圆，所得的弦长为√2225.（5分）若2014=2a 1+2a 2+…+2a n ，其中a 1，a 2，a n 为两两不等的非负整数，设x =sin S n ，y =cos S n ，z =tan S n (其中S n =(a 1+a 2+⋯+a n )π3)，则下列大小关系正确的是( )A. y <0<xB. z <x <0C. x <z <yD. z <y <026.（5分）已知角α是锐角，则( )A. 2α是小于180°的正角B. 180°+α是第三象限角C. α2是锐角D. 2α是第一或第二象限角27.（5分）θ是第一象限角，则θ3可能是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角28.（5分）下列说法不正确的是()A. 三角形的内角必是第一、二象限角B. 第一象限角必是锐角C. 不相等的角终边一定不相同D. 若角α，β满足β=α+k·360∘(k∈Z),则α和β终边相同答案和解析1.【答案】A;【解析】解：由题意可知，第n个劣弧的半径为n，圆心角为2π3，所以第n个劣弧的弧长a n=2π3.n=2nπ3，所以a1+a2+…+a9=2π3×(1+2+⋯+9)=2π3×9×102=30π.故选：A.根据题意分析求出第n个劣弧的半径为n，圆心角为2π3，由弧长公式求出第n个劣弧的弧长，然后利用等差数列求和即可．此题主要考查额弧长公式的应用，等差数列求和公式的应用，解答该题的关键是归纳出第n个劣弧的弧长，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．2.【答案】D;【解析】解：∵tanθ<0，∴θ为第二或第四象限的角，又cosθ>0，∴θ为第四象限的角．故选：D.由tanθ<0得θ为第二或第四象限的角，再由cosθ>0可得θ为第四象限的角．此题主要考查了象限角，属于基础题.3.【答案】B;【解析】解：由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数．×，故选 B．4.【答案】C;【解析】本题的考点是三角函数值得符号判断，需要利用题中三角函数的不等式和“一全正二正弦三正切四余弦”对角的终边位置进行判断．根据题中条件：“sinθ⋅cosθ>0”得出三角函数sinθ，cosθ值的正负，结合三角函数值的符号规律，对角所在的象限进行判断．由sinθ⋅cosθ>0知，角θ的正弦值和余弦值同号，即θ是第一或第三象限．故选C.5.【答案】C;【解析】该题考查象限角与轴线角的概念，是基础的概念题．直接由−3π2<−4<−π可知α=−4的终边在第二象限．解：∵−3π2<−4<−π，∴角α=−4的终边在第二象限．故选：C．6.【答案】A;【解析】此题主要考查角度制和弧度制的互化、扇形的面积公式，属于基础题. 将角度转化为弧度，利用扇形的面积公式即可求出弧长.解：设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.因为扇形的圆心角为135°，所以弧度数为α=34π，又因为扇形的面积为6π，面积公式S=12αR2，即6π=1234πR2，所以R=4.又因为l=αR=34π.4=3π，故选A.7.【答案】A;【解析】解：∵α终边在第二象限，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈Z，则−2kπ−π<−α<−2kπ−π2，k∈Z，则−2kπ<π−α<−2kπ+π2，k∈Z，为第一象限，故选：A根据角的象限之间的关系进行判断即可．此题主要考查角的象限的判断，比较基础．8.【答案】B;【解析】此题主要考查了终边相同角的概念，是基础的计算题．解：∵与−5π4角终边相同的角的集合为A=\left{ α|α=−5π4+2kπ,k∈Z}，取k=1，得α=3π4，∴与−5π4角终边相同的角是3π4，故选B.9.【答案】B;【解析】解：如图所示，ΔABC是半径为r的⊙O的内接正三角形，则BC=2CD=2rsinπ3=√3，设圆弧所对圆心角的弧度数为α，则rα=√3，解得α=√3．故选：B．如图所示，ΔABC是半径为r的⊙O的内接正三角形，可得BC=2CD=2rsinπ3=√3，设圆弧所对圆心角的弧度数为α，可得rα=√3，即可得出．该题考查了圆的内接正三角形的性质、弧长公式、直角三角形的边角关系，属于基础题．10.【答案】A;【解析】解：终边在直线y=x上的角的集合：{β|β=45°+n•180°，n∈Z}；当n=k+1时{β|β=225°+k•180°，k∈Z}，B正确；当n=k-1时{β|β=-135°+k•180°，k∈Z} D正确；当n=-k时{β|β=45°-k•180°，k∈Z} C正确；所以A不正确，A表示终边在±45°相同的角度集合．故选A11.【答案】C;【解析】此题主要考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后求出扇形的圆心角，从而可得．【解析】解：因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的半径为：12×4×r =2，解得：r =1， 则扇形的圆心角的弧度数为41=4. 故扇形的圆心角的弧度数的绝对值是4 故选：C.12.【答案】D; 【解析】该题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题． 根据二倍角公式即可判断．解：α为第四象限角， 则sinα<0，cosα>0， 则sin2α=2sinαcosα<0， 故选：D ．13.【答案】94; 【解析】该题考查扇形的面积公式，属基础题．设扇形的弧长为l ，半径为r ，由题意可求它们的值，代入扇形的面积公式可得．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则可得{l +2r =6l r=2，解得：{r =32l =3， 则扇形的面积S =12lr =94．故答案为：94．14.【答案】2；{ x |π6+kπ⩽x ⩽π3+kπ,k ∈Z}; 【解析】该题考查弧度的定义、扇形的面积公式，考查三角不等式，属于基础题．设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，由面积公式和周长可得到关于l 和r 的方程组，求出l 和r ，由弧度的定义求α即可；求出a ，利用正弦函数的性质，可得结论．解：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S=12(8−2r)r=4，即r2−4r+4=0，解得r=2，则l=4，|α|=lr=2；若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则3a=9，可得a=2，不等式sin2x⩾√32，则π3+2kπ⩽2x⩽2π3+2kπ，k∈Z，∴π6+kπ⩽x⩽π3+kπ，k∈Z，∴不等式sin2x⩾√32的解集为{ x|π6+kπ⩽x⩽π3+kπ,k∈Z}．故答案为：2；{ x|π6+kπ⩽x⩽π3+kπ,k∈Z}．15.【答案】π6;【解析】解：∵圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且AD=1，∴∠DOA=π3，∴扇形OAD的面积是：12r2⋅α=π6，故答案为：π6.求出扇形的圆心角，再代入扇形的面积计算公式即可．此题主要考查扇形面积的计算，属于基础题．16.【答案】10;【解析】该题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是12，∴l=12r，∵S扇=12lr=4，∴12⋅12r⋅r=4，∴r2=16，r=4．∴其周长c=l+2r=2+8=10．故答案为10．17.【答案】−17π6;【解析】此题主要考查任意角的基本概念，属于基础题． 利用终边相同角的概念即可求解．解：因为：7π6−4π=−17π6∈[−4π,−2π]，所以：与角7π6终边相同的角为−17π6.故答案为−17π6.18.【答案】解：(1)设花坛的面积为S 平方米， 则S =12r 22θ−12r 12θ=12×36×2π3−12×9×2π3=9π，所以花坛的面积为9π(m 2).(2)AB 的长为r 1θ米，CD ⏜的长为r 2θ米，线段AD 的长为(r 2−r 1)米， 由题意知： S =12r 22θ−12r 12θ=12(r 2θ+r 1θ)(r 2−r 1)=32，则r 2θ+r 1θ=64r2−r 1，设r 2−r 1=x ，其中x >0，设装饰总费用为y.则y =45×2(r 2−r 1)+90(r 2θ+r 1θ) =90(x +64x)(0<x <10)，由对勾函数的性质(或由函数的单调性定义)知函数在区间(0,8]上单调递减，在[8,+∞)上单调递增，所以，当x =8时，y 有最小值为1440， 故当线段AD 长为8米时，花坛的装饰费用最小.;【解析】此题主要考查的是弧长公式及扇形面积公式的应用，属于中档题. (1)结合扇形面积公式求解即可；(2)先求出费用y =45×2(r 2−r 1)+90(r 2θ+r 1θ)，再换元r 2−r 1=x ， 转化为函数y =90(x +64x)(0<x <10)的最值问题求解即可.19.【答案】解：与α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=-1910°+k•360°，k ∈Z}． 取k=4时，β=-470°；取k=5，β=-110°；取k=6，β=250°．;【解析】把α=-1910°加上k•360°可得与α=-1910°终边相同的角的集合，分别取k=4，5，6求得适合不等式-720°≤β＜360°的元素β．20.【答案】解：（1）根据题意得：α=60°=π3，∴l=αR=10π3(cm)S扇形=nπR2360=60π×102360=50π3（c m2）．（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=8，即l=8-2r（0＜r＜4）．扇形的面积S=12lr，将上式代入，得S=12（8-2r）r=-r2+4r=-（r-2）2+4，∴当且仅当r=2时，S有最大值4，此时l=8-2×2=4，α=lr=2rad．∴当α=2rad时，扇形的面积取最大值，最大值为4c m2．;【解析】该题考查了扇形面积的计算，考查扇形的周长，半径、圆心角，面积之间的关系，考查计算能力，属于基础题．(1)直接利用扇的形面积公式S扇形=nπR2360直接计算．(2)设扇形的半径为r，弧长为l，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．21.【答案】解：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R，∠BAC=60°.AP=88−R，∴在ΔABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP2−2AB⋅AP⋅cos∠BAC，可得：R2=552+(88−R)2−2×55×(88−R)×cos60°，∴解得：R=49mm.(2)在ΔABP中，AP=88−49=39mm，AB=55，BP=49，cos∠BPA=392+492−5522×39×49=8973822≈0.2347，∴sin∠BPA≈0.972.∴∠BPA=arcsin0.972.V柱=S底⋅ℎ=(SΔABP+S扇形BPC)⋅ℎ=(12×55×39×√32+(arcsin0.972)π.492360)⋅3该零件的重量=(12×55×39×√32+(arcsin0.972)π.492360)⋅3÷1000×8.9≈82.7.;【解析】(1)在ΔABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB的长度；(2)求出V柱=S底⋅ℎ，即可求该零件的重量.此题主要考查余弦定理的运用，考查面积的计算，属于中档题．22.【答案】解：∵与530°终边相同的角为：170°+k•360°，k∈Z，∴（1）当k=-1时，得到最大的负角为：170°-360°=-190°，（2）当k=0时，得到最小的正角为170°，（3）当k=-2时，得到-720°到-360°的角为：170°-2×360°=-550°．;【解析】与530°终边相同的角为：170°+k•360°，k∈Z，由此能求出最大的负角、最小的正角和-720°到-360°的角．23.【答案】解：（1）∵∠POQ=π3且OA=OD，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=π3，又四边形ABCD为矩形，∠DAB=π2，∴∠BAP=π6在扇形OPQ中，半径OP=1．过B作OP的垂线，垂足为N，∴BN=OBsinα=sinα，在△ABN中，AB=BNsin∠BAP =BNsinπ6=2sinα（2）矩形ABCD面积S=|AB∥AD|，设∠BOP=α，由（1）可知|AB|=2sinα，|BN|=sinα，|ON|=|OB|cosα=cosα，|AN|=|AB|cosπ6=√3sinα，∴|OA|=|ON|−|AN|=cosα−√3sinα，S扇ABCD=|AB|⋅|AD|=|AB|⋅|OA|=2sinα(cosα−√3sinα)=sin2α+√3cos2α−√3，=2sin(2α+π3)−√3，∵α∈(0，π3)，∴2α+π3∈(π3，π)，∴当2α+π3=π2，即α=π12时，矩形ABCD面积取最大值，最大值为2−√3．;【解析】(1)直接利用三角函数的关系的应用求出AB的长；(2)利用矩形的面积和三角函数关系式的变换的和正弦型函数的性质的应用求出结果．此题主要考查的知识要点：解三角形知识的应用，矩形的面积公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．24.【答案】BC;【解析】解：根据题意：圆弧AB 表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆的周长的14． 圆弧BC 表示为以(0,1)为圆心，1为半径的圆的周长的12． 圆弧CD 是以(−1,0)为圆心，1为半径的圆的周长的14． 所以把图形进行分割，如图所示：①所以曲线Ω与x 轴围成的图形的面积为S =12.π.12+14.π.12+14.π.12+1×2=π+2，故选项A 错误．②由于圆弧AB 表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆． 圆弧BC 表示为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．所以AB ⏜和BC ⏜所在的圆的公切线平行于经过(1,0)和(0,1)的直线， 所以设直线的斜率k =−1， 设直线的方程为x +y +b =0， 所以(0,1)到直线x +y +b =0的距离d =|1+b|√2=1，解得b =−√2−1或√2−1，根据图象得：公切线的方程为x +y −√2−1=0，故选项B 正确．③以AB ⏜和所在的圆的方程为(x −1)2+y 2=1．BC ⏜所在的圆的方程为x 2+(y −1)2=1，两圆相减得：x −y =0．④CD 所在的圆的方程为(x +1)2+y 2=1， 所以圆心(−1,0)到直线x −y =0的距离d =1√2=√22， 所以所截的弦长为l =2√1−(√22)2=√2，故选项D 错误． 故选：BC ．首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x 轴围成的曲变形的面积，进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程，最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．该题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．25.【答案】DA;【解析】该题考查三角函数值的大小比较，关键是把2014=2a1+2a2+…+2a n变形为2014= 210+29+28+27+26+24+23+22+21，综合性较强，有一定技巧．解：∵2014=2a1+2a2+…+2a n，且a1，a2，…，a n为两两不等的非负整数，∴2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21，S n=(a1+a2+⋯+a n)π3=50π3=16π+2π3，x=sin S n=sin(16π+2π3)=√32，y=cos S n=cos(16π+2π3)=−12，z=tan S n=tan(16π+2π3)=−√3，∴z<y<0<x.故选：AD.26.【答案】ABC;【解析】此题主要考查了任意角的概念、象限角、终边相同的角的定义，是一个基础题. 对所给的选项逐个分析即可求解此题.解：0<α<π2，0<2α<π，所以A正确；π+α终边在第三象限，故B正确；0<α2<π4故α2是锐角，C正确；2α终边可以在y轴的正半轴上，故D不正确.故选ABC.27.【答案】ABC;【解析】【试题解析】此题主要考查象限角的概念与表示，属于基础题.根据θ为第一象限角得到θ的范围，然后分类讨论即可.解：因为θ是第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ+π2，k∈Z，∴2kπ3<θ3<2kπ3+π6，k∈Z，当k=3m,m∈Z时，θ3为第一象限角，当k=3m+1,m∈Z时，θ为第二象限角，3为第三象限角，当k=3m+2,m∈Z时，θ3所以θ可能是第一象限角，第二象限角，第三象限角.3故选ABC.28.【答案】ABC;【解析】略。
高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
新高考数学复习考点知识与题型专题练习18---任意角 弧度制(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题练习18 任意角 弧度制一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ）A ．2παβ=-B ．12()2k k Z απβ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭ C ．2απβ=-D ．(21)()k k Z απβ=+-∈【答案】D【解析】由题意，角α和β的终边关于y 轴对称，可得2,k k Z αβππ+=+∈， 即(21)()k k Z απβ=+-∈.故选：D.2．若α是第三象限的角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第二象限D ．第二象限或第四象限【答案】D【解析】因为α是第三象限的角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，所以2α所在象限是第二象限或第四象限. 故选：D.3．若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π. 故选：D4．下列命题中，正确的是（ ）A ．终边在第二象限的角是钝角B ．终边相同的角必相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同【答案】C【解析】-240°在第二象限但不是钝角，A 错误；60°和420°终边相同，但不相等，B 错误；由定义可知，C 正确；60°和420°不相等，但终边相同，D 错误故选：C.5．终边在坐标轴上的角的集合是（ ）A ．{}|2π,k k αα=∈ZB ．{}π,k k αα=∈ZC ．ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZD ．1π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D【解析】解：任取一个角使其终边落在坐标轴上，不妨设为0，则该角每增加2π后终点依然落在坐标轴上， 故终边落在坐标轴上的角的集合为1π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．6．若α＝－2，则α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.7．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈，所以5557.3=286.5rad ≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.8．下列选项中，满足αβ<的是（ ）A ．1α=，2β=︒B ．1α=，60β=-︒C ．225α=︒，4β=D ．180α=︒，πβ=【答案】C【解析】解：对于选项B ，有αβ>，对于D ，有αβ=；对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈【答案】BE【解析】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.10．下列与412︒角的终边相同的角是（ ）A ．52︒B ．778︒C ．308-︒D ．1132︒【答案】ACD【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈，当1k =-时，308β=-︒，当0k =时，52β=︒，当2k =时，772β=︒，当3k =时，1132β=︒，当4k =时，1492β=︒，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.11．(多选)下列与94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245(k k Z π+︒∈)B ．·360k ︒+94π( k Z ∈) C ．·360315k ︒-︒(k Z ∈)D ．2k π+4π( k Z ∈) 【答案】CD 【解析】A ，B 中弧度与角度混用，不正确；9244πππ=+，所以94π与4π终边相同. 31536045-︒=-︒+︒，所以315-︒也与45︒终边相同，即与94π终边相同. 故选：CD .12．关于角度，下列说法正确的是（ ）A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角【答案】BD【解析】对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是60-︒，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90︒，是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，角α的终边在第二象限，π2π2ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ， ππππ422k k α∴+<<+， 当k 为偶数时，ππ2π2π422n n α+<<+，n ∈Z ，得2α是第一象限角； 当k 为奇数时，()()ππ21π21π422n n α++<<++，n ∈Z ，得2α是第三象限角，故正确． 故选：BD三、填空题：本题共4小题13．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． 【答案】7,,5315A B C πππ=== 【解析】因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以3577,,3575357335715A B C ππππππ======++++++， 故答案为：7,,5315A B C πππ=== 14．已知120︒的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2．【答案】12π 【解析】由题意，21203π︒=，且圆心角所对的弧长为4m π，∴243R ππ=， 解得6R =，∴扇形的面积为214612()2S m ππ=⨯⨯=． 故答案为：12π．15．若α是第四象限，则180α︒-是第__．【答案】三象限角【解析】因为是第四象限的角，所以α-是第一象限角，则由任意角的定义知，180α︒-是第三象限角．故答案为：三象限角．16．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________． 【答案】|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】y 轴对应的角可用2π-，2π表示，所以y 轴右侧角的集合为|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：|22,22k k k Z ππθπθπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭．四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度（1）133π，（2）263π-，（3）67.5︒，（4）103π-，（5）12π，（6）74π． 【答案】（1）780︒；（2）1560-︒；（3）38π；（4）600-︒；（5）15︒；（6）315︒． 【解析】（1）780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， （2）156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度，（3）67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． （4）103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒， （5）12π弧度1801512︒==︒， （6）74π弧度71803154=⨯︒=︒． 18．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）－720°到－360°的角．【答案】（1）－190°；（2）170°；（3）－550°. 【解析】与530°终边相同的角为k ·360°＋530°，k ∈Z.（1）由－360°＜k ·360°＋530°＜0°且k ∈Z ，可得k ＝－2，故所求的最大负角为－190°. （2）由0°＜k ·360°＋530°＜360°且k ∈Z ，可得k ＝－1，故所求的最小正角为170°. （3）由－720°≤k ·360°＋530°≤－360°且k ∈Z ，可得k ＝－3，故所求的角为－550°.19．已知集合ππ,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，π3π2π2π,44B k k k ββ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}|1010C γγ=-. （1）若A θ∈，且角3θ与π2θ-的终边垂直，求θ； （2）求B C ⋂. 【答案】（1）π2-或π4-或π4或0或π2；（2）7π5ππ3π9π11π,,,444444⎛⎤⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦. 【解析】解：（1）由3θ与2θπ-终边垂直， 可得3222k ππθθπ=-++，或3222k ππθθπ-=++，即42k θππ=+，k Z ∈或2k πθ=，k Z ∈． ①由2422k ππππ-≤+≤，得3122k -≤≤， k Z ∈， ∴4πθ=-或4π． ②由222k πππ-≤≤，得11k -≤≤， k Z ∈， ∴2πθ=±或0．∴所有θ的为：π2-或π4-或π4或0或π2； （2）3{|2244B k k ππβπβπ=+<+，}k Z ∈， 当1k =-时，75{|}44B ππββ=-<-， 当0k =时，3{|}44B ππββ=<， 当1k =时，911{|}44B ππββ=<， 又{|1010}C γγ=-．7(4B C π∴=-,5](44ππ-⋃,39](44ππ⋃,11]4π．20．已知角α＝2010°.（1）将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； （2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 【答案】（1）752+6ππ⨯，第三象限的角；（2）答案见解析. 【解析】（1）6772010=2010rad==(52+)rad 18066rad ππππ︒⨯⨯，又73<62πππ<， ∴α与76π终边相同，是第三象限的角． （2）与α终边相同的角可以写成72()6k k Z πγπ=+∈， 又50πγ-≤<，∴当k ＝－3时，296πγ=-；当k ＝－2时，176πγ=-；当k ＝－1时，56πγ=-.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
5.1 任意角与弧度制(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.1任意角与弧度制（精练）1．（2023春·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合的角.①小于90︒的角一定是锐角；②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，60-︒的角是小于90︒的角，但不是锐角，所以①错误，对于②，480︒的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，对于③，480︒的角和120︒的角终边相同，但不相等，所以③错误，对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，所以真命题的个数是1，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）集合ππππ,Z 42k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当2(Z)k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42n n n α+≤≤+∈，此时α表示的范围与ππ42α≤≤表示的范围一样；当21(Z)k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42n n n α++≤≤++∈，此时α表示的范围与ππππ42α+≤≤+表示的范围一样，故选：C ．3（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（）A ．角60o 和角600o 是终边相同的角B ．第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在y 轴上角的集合为ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】600360240︒=︒+︒，与60︒终边不相，故A 错误；第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，故B 错误；终边在y 轴上角的集合为π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，即ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣，即ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故C 正确；120︒是第二象限角，390︒第一象限角，120390︒<︒，故D 错误；故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）已知α为第三象限角，则2α为第（）象限角.A ．二或四B ．三或四C ．一或二D ．二或三【答案】A【解析】因为α为第三象限角，所以360180360270Z,, k k k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以180********Z,2, k k k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈当k 为偶数时，记2,Z k n n =∈,所以36090360135Z 2,,n n n α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以2α为第二象限角，当k 为奇数时，记21,Z k n n =+∈,所以360270360315,Z,2n n n α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以2α为第四象限角，所以2α为第二或第四象限角，故选:A.5（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm ）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点()1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以πrad /s 4的速度爬行，黑蚂蚁以πrad /s 12的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（）A ．1BC ．π3D ．π6【答案】A【解析】如图所示，红蚂蚁以πrad /s 4的速度爬行，黑蚂蚁以πrad /s 12的速度爬行，则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为π2，到达B 处，黑蚂蚁绕圆的角度为π6，到达C 处，此时πππ-263BOC ∠==，即BOC 为正三角形，故1BC OB ==.故选：A6（2023秋·江西）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的面积为16π3，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（）A 1B ．1C ．1D ．1+【答案】D【解析】设该扇形的圆心角为α，由扇形面积公式得2116π423α⨯⨯=，所以2π3α=，取 AB 的中点C ，连接OC ，交AB 于点D ，则OC AB ⊥，则πcos 4cos23OD OA AOD ∠=⨯==，π224sin3AB AD ==⨯=，2CD OC OD =-=，所以扇形的弧长的近似值为22AB l ⨯=+矢弦径222CD AB OA=+2418⨯==+.故选：D7．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（）A ．2280cm B ．2352cm C ．2528cm D ．2704cm 【答案】D【解析】如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由弧长公式可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =，扇形OCD 的面积211486416819.2cm 25S ⎛⎫=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，扇形OAB 的面积2214824115.2cm 25S =⨯⨯=所以扇面的面积212704cm S S S =-=．故选：D ．8．（2023春·安徽·高一校联考期中）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为（）A ．4B ．2π4C ．π2D ．2π4+【答案】C【解析】因为勒洛三角形ABC 的周长为π，所以每段圆弧长为ππ33l r ==，解得1r =，即正三角形的边长为1，由题意可得21π32312123ABC C AB S S S -=-=⨯⋅⋅-⨯=△曲扇形故选：C9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（）A ．第一象限角一定是锐角B ．终边相同角一定相等C ．小于90°的角一定是锐角D ．钝角的终边在第二象限【答案】D【解析】对于A ，第一象限角是{}|36036090Z k k k αα︒︒︒⋅<<⋅+∈，，第一象限角不一定是锐角，故A 错误；对于B ，终边相同角不一定相等，它们可能差360Z k k ︒⋅∈，，故B 错误；对于C ，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C 错误；对于D ，钝角是大于90°且小于180°的角，故D 正确；故选：D.10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点,,A B C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是（）A．π4B．π8C．π8D．π4【答案】C【解析】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长 6πA BC B AC ===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC ====，分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122S =⨯所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯=.故选：C.11．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段,AB AC 和圆的优弧BC 围成，其中,AB AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（）A 2π3B ．2π3C ．π3+D π3+【答案】A【解析】如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接,,OA OB OC ，依题意得,OB AB OC AC ⊥⊥，且1,2OB OC OA ===，则π3AB AC BAC ∠===，所以2π3BOC ∠=，所以该封闭图形的面积为2112π2π212π12233⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭.故选：A.12（2023秋·山东临沂·高一校考期末）设12ππππ,,2π,,2π,222S k k S k k S k k αααααα⎧⎫⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭Z Z Z ∣∣∣，则下列结论错误的是（）A ．1S S ⊆B ．2S S ⊆C ．12S S S⋃=D ．12S S S⋂=【答案】D【解析】因为ππ,2S k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴上角的集合，1π2π,2S k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴正半轴上角的集合，2π2π,2S k k αα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴负半轴上角的集合，所以1S S ⊆，2S S ⊆，12S S S ⋃=正确；12S S S ⋂=∅≠，故错误.故选：D13．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）（多选）下列结论正确的是（）A ．7π6-是第二象限角B ．第三象限角的集合为3π|π2π2π,2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．终边在y 轴上的角的集合为π|π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】AC【解析】对于选项A ：因为7π5π2π66-=-，且5π6为第二象限角，所以7π6-是第二象限角，故A 正确；对于选项B ：第三象限角的集合为3π|π2π2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故B 错误；对于选项C ：终边在y 轴上的角的集合为π|π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故C 正确；对于选项D ：若角α为锐角，即π02α<<，则02πα<<，所以角2α不一定为钝角，例如π4α=，则π22α=为直角，故D 错误；故选：AC.14（2023·全国·高一课堂例题）（多选）与457- 角终边相同的角的集合是（）A ．{}360457,k k αα=⋅-∈ZB ．{}36097,k k αα=⋅+∈ZC ．{}360263,k k αα=⋅+∈ZD ．{}360263,k k αα=⋅-∈Z【答案】AC【解析】与457- 终边相同的角可写为：()360457k k α=⋅-∈Z，()97360457k k ≠⋅-∈Z ，2632360457=⨯- ，()263360457k k -≠⋅-∈Z ，∴与457- 角终边相同的角的集合为：{}360457,k k αα=⋅-∈Z ，A 正确；{}360263,k k αα=⋅+∈Z ，C正确.故选：AC.15．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）下列说法正确的有（）A ．1801πrad ⎛⎫=︒⎪⎝⎭B ．若角α是锐角，则2α是第一或第二象限角C ．若角α是第二象限角，则2a是第一或第三象限角D ．角α是第三或第四象限角的充要条件是sin 0α<【答案】AC【解析】由题意A 项，π1180rad ︒=∴1801πrad ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故A 正确.B 项，若角α是锐角，∴π02α<<∴02πα<<∴2α不仅可能是第一或第二象限角，也可能在y 轴上，故B 错误.C 项，若角α是第二象限角，∴π2π2ππ2k k α+<<+()k ∈Z ∴ππππ422k k α+<<+()k ∈Z 则2a是第一或第三象限角故C 正确.D 项，若角α是第三或第四象限角则()2ππ21πk k α+<<+，且3π2π2k α¹+()k ∈Z ∴sin 0α<，必要性成立若sin 0α<，则()2ππ21πk k α+<<+()k ∈Z ∴角α是第三或第四象限角或在y 轴的负半轴上充分性不成立故D 错误.故选：AC.16．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角α是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（）A ．α-B ．πα-C ．3π2α-D ．2α【答案】AC【解析】因为角α是第二象限角，所以π2π2ππ2k k α+<<+，Z k ∈，对于A ，ππ2π2π2k k α--<-<--，Z k ∈，故α-是第三象限角，故A 正确；对于B ，π2ππ2π+2k k α-<-<-，Z k ∈，故πα-是第一象限角，故B 不正确；对于C ，3πππ2π2π22k k α-+<-<-，Z k ∈，故3π2α-是第三象限角，故C 正确；对于D ，π4π24π2πk k α+<<+,Z k ∈,故2α是第三象限角或y 轴负半轴上的角或第四象限角，故D 不正确.故选：AC17（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A ．6730︒＇化成弧度是3π8B ．10π3-化成角度是600-︒C ．150-︒化成弧度是7π6-D ．π12化成角度是15︒【答案】ABD【解析】对于A,6730︒＇化成弧度是π367.5π1808⨯=,故A 正确，对于B ，1010π=18060033--⨯=- ，故B 正确，对于C ，5π150150π1806︒=︒⨯--=- ，故C 错误，对于D ，π1=180151212⨯= ，故D 正确，故选：ABD18．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为．【答案】{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈．【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为120360k -︒+︒，上侧终边相同的角为135360k ︒+︒且Z k ∈，所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈.故答案为：{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈19．（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是【答案】π{|π,Z}3k k αα=-∈【解析】直线y =的倾斜角是23π，所以终边落在直线y =上的角的取值集合为π{|π,Z}3k k αα=-∈故答案为：π{|π,Z}3k k αα=-∈20．（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为120 ，半径32.则它的弧长为.【答案】π【解析】因为2π1203=o，又扇形的圆心角为120 ，半径为32，所以它的弧长为2π3π32l =⨯=，故答案为：π22．（2023春·江西上饶·高一统考期末）已知ABC 是边长为2的等边三角形.如图，将ABC 的顶点A 与原点重合，AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴正方向滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个点A 之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点A 的路径长度为.【答案】83π/83π【解析】如图，顶点A 先以2为半径绕点B 顺时针旋转2π3弧度，再以2为半径绕点C 顺时针旋转2π3弧度，其路径长度为2π8π2233⨯⨯=.故答案为：8π323．（2023·全国·高一课堂例题）若角α是第二象限角，试确定角2α，3α是第几象限角．【答案】2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角；3α可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【解析】因为α是第二象限角，所以90360180360(Z)k k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈，可得180236023602360,Z k k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．又由1203012060,Z 3k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,Z k n k =∈时，3603036060,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第一象限角；当31,Z k n k =+∈时，360150360180,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第二象限角；当32,Z k n k =+∈时，360270360300,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第四象限角．综上所述，3α可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．24．（2023·全国·高一假期作业）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r ．(1)若150,10r α=︒=，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)25π3(2)max 2,36S α==【解析】（1）设扇形的弧长为l ．因为150α=︒，即5π,106r α==，所以5π2510π63l r α==⨯=．（2）由题设条件，知224l r +=，则242(012)l r r =-<<，所以扇形的面积()()22112421263622S lr r r r r r ==-=-+=--+．当6r =时，S 有最大值36，此时24212,2ll r rα=-===，所以当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是36．25．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧 BC 、弧 AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大?并求出最大值．【答案】(1)22(02)2x x x θ+=<<+；(2)当12x =时，y 的值最大，最大值为94．【解析】（1）根据题意，弧 BC 的长度为x θ米，弧 AD 的长度2AD θ=米，2(2)26x x θθ∴-++=，∴22(02)2x x x θ+=<<+．（2）依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x =-=⨯-扇扇，化简得：22y x x =-++，02x <<，∴当12x =，2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，y 的值最大，且最大值为94．26．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>．(1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】(1)12(2)S 取得最大值25，此时2α=【解析】（1）由题意得2210142R R R αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得18R α=⎧⎨=⎩(舍去)，412R α=⎧⎪⎨=⎪⎩．所以扇形圆心角12．（2）由已知得，220l R +=．所以()2112021022S lR R R R R ==-=-()2525R =--+，所以当5R =时，S 取得最大值25，21252R α⨯⨯=,解得2α=.当扇形的圆心角α为2多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.27．（2023秋·高一课时练习）已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .（1）若45α=︒，10R =，求扇形的弧长l 及面积S ；（2）若扇形的周长是一定值C （0C >），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S （0S >），当α为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案】13.（1）5π2l =，25π2S =；（2）当2α=弧度时，扇形面积最大，为216C ；（3）当2α=弧度时，扇形周长最小，为4S .【解析】（1）若45α=︒，10R =，则451804ππα=︒⨯=︒，所以扇形的弧长25104l R ππα==⨯=，扇形的面积21152510222S lR ππ==⨯⨯=；（2）扇形周长22C R l R R α=+=+，2CR α∴=+，2222111()42222164C C C S R ααααα∴=⋅==⋅+++扇．当且仅当24α=，即2α=时，扇形面积有最大值216C ．（3）扇形的面积212S R α=，所以2S R α=所以()()222222224222C S R l R SS S S ααααααααα+⎛⎫=⋅=⋅+≥⋅⋅= ⎭=+=⎪+⎝=+当且仅当2αα=即2α=时周长取得最小值4S1．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点,A B 为圆心，AF 长为半径画弧，两弧交于点G ，则 ,,AG BGAB 围成的阴影部分的面积为．【答案】43π【解析】如图，连接,GA GB .由题意知，线段,,GA GB AB 的长度都等于半径2，所以，GAB △为正三角形，则π3GBA GAB ∠=∠=，故GAB △的面积为212S =扇形GBA 的面积为2π22π33S =⨯=，由图形的对称性可知，扇形GAB 的面积与扇形GBA 的面积相等，所以阴影部分的面积2142π3S S S =-=-故答案为：4π32．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线m 上取长度为1的线段AB ，并作等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，BA 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ；再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ；再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧，交线段BA 的延长线于点F ；再以点B 为圆心，BF 为半径逆时针画圆弧， ；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线m 有4个交点（不含A 点）时，则螺线长度为（）A ．14πB ．30πC ．100π3D ．110π3【答案】A【解析】第1次画线：以点B 为圆心，扇形半径为1r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π2π133⨯=；第2次画线：以点C 为圆心，扇形半径为2r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π4π233⨯=，交m 累计1次；第3次画线：以点A 为圆心，扇形半径为3r =，旋转2π3，划过的圆弧长为32π6π2π33⨯==，交m 累计2次；第4次画线：以点B 为圆心，扇形半径为4r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π8π433⨯=；第5次画线：以点C 为圆心，扇形半径为=5r ，旋转2π3，划过的圆弧长为2π10π533⨯=，交m 累计3次；前5次累计画线2π4π6π8π10π10π33333++++=；第6次画线：以点A 为圆心，扇形半径为6r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π12π64π33⨯==，交m 累计4次，累计画线10π4π14π+=.故选：A.3．（2023春·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB =（）A ．3sin1B ．3sin 2C ．3sin1︒D ．3sin 2︒【答案】A【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则26l r +=，62l r =-，由0620r l r >⎧⎨=->⎩可得03r <<，所以，扇形的面积为()21393224r r S lr r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+==-≤=，当且仅当3r r -=，即32r =时，扇形的面积S 最大，此时623l r =-=．因为l r α=，则扇形的圆心角3232l r α===，取线段AB 的中点E ，由垂径定理可知OE AB ⊥，因为OA OB =，则112122AOE AOB ∠=∠=⨯=，所以，22sin13sin1AB AE OA ===.故选：A.4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（）（参考数据：2.236≈）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则13πS =C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈︒D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(2003【答案】D【解析】扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，半径为R ，圆面中剩余部分的面积为2S ，选项A ：()212212=12π2π2S R S R θθθθ=--.故A 正确；选项B ：由1212S S =，可得12π2θθ=-，解得2π3θ=，又扇形的半径3R =，则2112π33π23S =⨯⨯=.故B 正确；选项C ：若扇面为“美观扇面”，则1212π2S S θθ-==-，解得(()3π3 2.236180138θ⎡⎤=≈-⨯≈⎣⎦.故C 正确；选项D ：若扇面为“美观扇面”，则(3πθ=，又扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为((213π202003π2⨯⨯=.故D 错误.故选：D5（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）如图放置的边长为1的正PMN 沿x 轴滚动．设顶点(,)P x y 的运动轨迹对应的函数解析式为()y f x =，给出下列结论，其中正确结论的个数为（）①()y f x =的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()y f x =的图象关于直线32x =对称；③()y f x =在其两个相邻零点间的曲线长度为4π3；④()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为2π3．说明：“正PMN 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转，当顶点M 落在x 轴上时，再以顶点M 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正PMN 可以沿x 轴负方向滚动．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】当正PMN 沿x 轴正方向滚动，绕N 旋转P 轨迹是以(1,0)N 为圆心，1为半径，圆心角为2π3的弧上，P 从(0,0)旋转到3(22；绕M 旋转P 轨迹是以(2,0)M 为圆心，1为半径，圆心角为2π3的弧上，P 从3(2旋转到(3,0)；绕P 旋转时P 点不动，后续继续旋转重复上述过程，只是圆心位置改变，同理，正PMN 沿x 轴负方向滚动，先绕P 旋转，然后绕M 旋转，再绕N 旋转，每次旋转角度、半径都相同，只是圆心不同；综上，P 在x 轴上部分轨迹如上图示，由图易知：区间[0,3]图象在x 轴上周期性出现，所以()y f x =的图象关于32x =对称，不关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，①错，②对；()y f x =在其两个相邻零点间的曲线长度为2π4π2133⨯⨯=，③对；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为212π1π2π211sin 232334⨯⨯⨯+⨯⨯=+，④错.故选：B6．（2023秋·河南周口·高一校考开学考试）如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 的长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为.【答案】π3124【解析】过A 作AM BC ⊥于,M EN BC ⊥于N ，∵等边三角形ABC 的边长为2,60,BAC B ACB ∠=∠=∠=2AM ∴===1,AD AE == ,,AD BD AE CE ∴==1,22EN AM ∴==∴图中阴影部分的面积为：ABC CEF ADE S S S 扇形－－－()BCD DCF S S - 扇形160π111130π32223602222360⋅⨯⋅⨯⎛⎫=⨯--⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭π31224=+-.故答案为:π31224+-.。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
2025年高考数学一轮复习课时作业-任意角和弧度制及三角函数的概念【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-任意角和弧度制及三角函数的概念【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)若角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是()A.sin 2B.cos 2C.tan 2D.cos2θ3.(5分)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(1213,513)和(-35,45),那么sinαcosβ=()A.-3665B.-313C.413D.48654.(5分)我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1 738千米,则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14)()A.1069千米B.1119千米C.2138千米D.2238千米5.(5分)(多选题)下列结论正确的是()A.-7π6是第三象限角B.角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z)C.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35D.若角α为锐角,则角2α为钝角6.(5分)(多选题)已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是()A.sinθ=-217B.α为钝角C.cosα=-277D.点(tanθ,sinα)在第一象限7.(5分)终边在直线y=-x上的一个角α可以是.8.(5分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为2π3弧度,则扇形的面积是.9.(5分)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由 及其所对弦AB围成的图形.若弧田的弦AB长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧田的 长为,弧田的面积为.10.(10分)已知1|sin |=-1sin ,且lg(cosα)有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点M(35,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值.11.(10分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A 关于直线y=x对称,求sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ的值.【能力提升练】12.(5分)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A.5+14B.5-12C.3-5D.5-213.(5分)点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6关于y轴对称,写出一个符合题意的θ的值为.14.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0),它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.(1)若点B的横坐标为-12,求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合;(2)若α∈(0,π2],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)2025年高考数学一轮复习课时作业-任意角和弧度制及三角函数的概念【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)若角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.角α满足α=45°+k·360°,k∈Z,则角α的终边落在第一象限.2.(5分)若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是()A.sin 2B.cos 2C.tan 2D.cos2θ【解析】选C.由θ是第二象限角可得 2为第一或第三象限角,2θ为第三或第四象限角,所以tan 2>0.3.(5分)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(1213,513)和(-35,45),那么sinαcosβ=()A.-3665B.-313C.413D.4865【解析】选B.由题意,角α,β的终边与单位圆分别交于点(1213,513)和(-35,45),由三角函数的定义,可得sinα=513,cosβ=-35,所以sinαcosβ=513×(-35)=-313.4.(5分)我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器,顺利将探测器送入预定轨道,经过两次轨道修正,嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行,嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道,若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道,嫦娥五号距离月球表面400千米,已知月球半径约为1738千米,则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为(取π≈3.14)()A.1069千米B.1119千米C.2138千米D.2238千米【解析】选D.嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138(千米),所以嫦娥五号绕月每旋转π3弧度,飞过的路程约为l=αr=π3×2138≈3.143×2138≈2238(千米).5.(5分)(多选题)下列结论正确的是()A.-7π6是第三象限角B.角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z)C.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35D.若角α为锐角,则角2α为钝角【解析】选BC.对于A选项,因为-7π65π6-2π且5π6为第二象限角,故-7π6为第二象限角,A错;对于B选项,根据终边相同角的表示可知角α的终边在直线y=x上,则α=kπ+π4(k∈Z),B对;对于C选项,由三角函数的定义可得cosα=-35,C对;对于D选项,取α=π6,则角α为锐角,但2α=π3,即角2α为锐角,D错.6.(5分)(多选题)已知角θ的终边经过点(-2,-3),且θ与α的终边关于x轴对称,则下列选项正确的是()A.sinθ=-217B.α为钝角C.cosα=-277D.点(tanθ,sinα)在第一象限【解析】选ACD .角θ的终边经过点(-2,-3),sin θ=-217,A 正确;θ与α的终边关于x 轴对称,由题意得α的终边经过点(-2,3),α为第二象限角,不一定为钝角,cos α=-277,B 错误,C 正确;因为tan θ=32>0,sin α=217>0,所以点(tan θ,sin α)在第一象限,D 正确.7.(5分)终边在直线y =-x 上的一个角α可以是.【解析】终边在直线y =-x 上的角的集合为{θ|θ=3π4+k π,k ∈Z },所以终边在直线y =-x 上的一个角α可以是3π4.答案:3π4(答案不唯一)8.(5分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为2π3弧度,则扇形的面积是.【解析】由题意可得Rt △AOD 中∠AOD =π3,AD =1,由=sin π3可得扇形的半径r =OA =1sin π3=233,所以扇形的弧长l =αr =2π3×233=439π,所以扇形的面积S =12lr =12×439π×233=4π9.答案:4π99.(5分)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由及其所对弦AB 围成的图形.若弧田的弦AB 长是2,弧所在圆心角的弧度数也是2,则弧田的长为,弧田的面积为.【解析】由题意可知:BC=AC=1,AO= sin1=1sin1,OC= tan1=1tan1,所以 长=2×1sin1=2sin1,弧田的面积=S扇形AOB-S△AOB=12×2×(1sin1)2-12×2×1tan1=1sin21-1tan1.答案:2sin11sin21-1tan110.(10分)已知1|sin |=-1sin ,且lg(cosα)有意义.(1)试判断角α所在的象限;【解析】(1)由1|sin |=-1sin ,得sinα<0,由lg(cosα)有意义,可知cosα>0,所以α是第四象限角.(2)若角α的终边上一点M(35,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值.【解析】(2)因为|OM|=1,所以(35)2+m2=1,解得m=±45.又α为第四象限角,故m<0,从而m=-45,sinα= = | |=-451=-45.11.(10分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A 关于直线y=x对称,求sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ的值.【解析】由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).所以sinα=2+(-2 )2=-25,cosα= 2+(-2 )2=15,tanα=-2 =-2;sinβ= (2 )2+ 2=15,cosβ=2 (2 )2+ 2=25,tanβ= 2 =12.故有sinα·cosα+sinβ·cosβ+tanα·tanβ=-25×15+15×25+(-2)×12=-1.【能力提升练】12.(5分)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD ,用扇环形ABDC (图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为S 1,扇形OAB 的面积为S 2,当S 1与S 2的比值为5-12时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD 的半径与半圆O 的半径之比为()A .5+14B .5-12C .3-5D .5-2【解析】选B .设∠AOB =θ,半圆的半径为r ,扇形OCD 的半径为r 1,依题意,有12 2-12 12122=5-12,即2- 122=5-12,所以 122=3-52=6-254=(5-12)2,从而得 1 =5-12.13.(5分)点P (cos θ,sin θ)与点Q (cos(θ+π6),sin(θ+π6关于y 轴对称,写出一个符合题意的θ的值为.【解析】因为P (cos θ,sin θ)与Q (cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称,即θ,θ+π6关于y 轴对称,θ+π6+θ=π+2k π,k ∈Z ,则θ=k π+5π12,k ∈Z ,当k =0时,可取θ的一个值为5π12.(满足θ=k π+5π12,k ∈Z 即可)答案:5π12(答案不唯一)14.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A (1,0),它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ,始边不动,终边在运动.(1)若点B的横坐标为-12,求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合;【解析】(1)由题意知,若点B的横坐标为-12,可得B的坐标为(-12,32),所以sinα=32,于是α=2π3+2kπ,k∈Z,与角α终边相同的角β的集合为{β|β=2π3+2kπ,k∈Z}. (2)若α∈(0,π2],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)【解析】(2)△AOB的AB边上的高为1×cos 2,AB=2sin 2,故S△AOB=12×2sin 2×cos 2=sin 2×cos 2,故弓形AB的面积S=12·α·12-sin 2×cos 2=12α-sin 2×cos 2=12α-12sinα,α∈(0,π2].。
(完整版)任意角和弧度制练习题(含答案)
§1.1 任意角和弧度制班级 姓名 学号 得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z} 3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.*10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 .三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31; 10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。
高中试卷-专题5.1 任意角与弧度制(含答案)
专题5.1 任意角与弧度制一、角的相关概念1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：4.相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.二、象限角1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法4.已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．三、终边相同的角1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝□01α＋k ·360°，k ∈Z }．2.对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k ∈Z ，即k 为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．四、角的单位制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.2.长度等于半径长的圆弧所对的□03圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3.弧度数的计算4.角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．五、角度与弧度的换算1.角度制与弧度制的换算2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式1.设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝n πr180＝αr ，扇形的面积：S ＝n πr 2360＝12lr ＝12α·r 2.一、单选题1．与525-o 角的终边相同的角可表示为（ ）A ．525360k k Z -×Îo o（）B ．185360k k Z +×Îo o（）C ．195360k k Z +×Îo o （）D ．195360k k Z -+×Îo o （）【来源】河南省南阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】C【解析】解：525=1952360--´o o o ，所以525-o 角的终边与195o 角的终边相同，所以与525-o 角的终边相同的角可表示为195360k k Z +×Îo o（）.故选：C 2．下列与角23p的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．()43k k Z pp -ÎC ．()223k k Z pp +ÎD ．()()2213k k Z pp ++Î【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷【答案】C 【解析】对于选项C ：与角23p的终边相同的角为()223k k Z p p +Î，C 满足.对于选项B ：当()2k n n Z =Î时， ()442,33k n k Z n Z p pp p -=-ÎÎ成立；当()21k n n Z =+Î时，()()44212,333k n n k Z n Z p p pp p p -=+-=-ÎÎ不成立.对于选项D ：()()2521233k k k Z p p p p ++=+Î不成立.故选: C 3．在0°到360o 范围内，与405o 终边相同的角为（ ）A ．45-o B ．45o C ．135o D ．225o【答案】B【解析】：因为40536045=+o o o ，所以在0°到360o 范围内与405o 终边相同的角为45o ；故选：B 4．角76p所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】广西桂林市奎光学校2021-2022学年高一下学期热身考试数学试题【答案】C 7362p pp <<Q ，\角76p 位于第三象限.故选：C.5．已知角2022a =o ，则角a 的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为20222225360a ==+´o o o ，而222o 是第三象限角，故角a 的终边落在第三象限.故选：C.6．下列说法正确的是（ ）A ．终边相同的角相等B ．相等的角终边相同C ．小于90°的角是锐角D ．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以B 正确；小于90°的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D 错误．故选：B.7．135-o 的角化为弧度制的结果为（ ）A ．32p -B ．35p -C ．34p -D ．34p 【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】C【解析】π3135π rad 1418035-´-==-o．故选：C.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67p ，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288pB ．144pC ．487p D ．以上都不对【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意得，大扇形的面积为11612002020277S p p=´´´=，小扇形的面积为21619288277S p p=´´´=，所以扇面的面积为12120019214477S S p pp -=-=.故选：B9．把375-°表示成2πk q +，k Z Î的形式，则q 的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【来源】河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】∵37515360-=-°-°°，∴π3752πrad 12æö-°=--ç÷èø故选：B10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中¼ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）A ．2pB ．23pC ．3pD ．3p-【来源】海南省琼海市嘉积中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=-，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r éù-+=ëû，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB pÐ=，因此221222233MBB AOB S S S p p=-=´´=V 弓形扇形.故选：B11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4p米，肩宽约为8p米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】江苏省南通市如东县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l pppp =++=；所以其所对的圆心角58524p p a ==；\两手之间的距离2sin1.25 1.7684d R p=»．故选：B ．12．“a 是第四象限角”是“2a是第二或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【来源】河南省新乡市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】当a 是第四象限角时，3222,2k k k Z pp a p p +<<+Î，则3,42k k k Z p ap p p +<<+Î，即2a 是第二或第四象限角.当324a p =为第二象限角，但32pa =不是第四象限角，故“a 是第四象限角”是“2a 是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A13．在Rt POB V 中，90PBO Ð=°，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB V 的面积，且AOB a Ð=弧度，则（ ）A ．tan a a =B ．tan 2a a =C ．sin 2cos a a =D ．2sin cos a a=【来源】上海市川沙中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题【答案】B【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r a .直角三角形POB 中，tan PB r a =，△POB 的面积为21tan 2r a ××.由题意得22112tan 22r r a a ´=××，所以tan 2a a =.故选：B14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，则一个“花瓣”的面积为（ ）A ．2π12R -B ．2π22R -C ．2π14R -D ．()2π1R-【来源】辽宁省沈阳市第八十三中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2p，所以弓形的面积221142S R R p =´-，所以一个“花瓣”的面积为2π22R -，故选：B.15．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）A ．(1p-B ．(2pC ．4pD ．3p æççè【来源】上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期第一次质量检测数学试题【答案】B【解析】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3p，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB pp=´=，2m =，363m AD pp=´=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(123432m m m m p +++=+.故选：B.16．用半径为2，弧长为2p 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）A B C D ．4p【来源】第8章 立体几何初步（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A 版2019必修第二册）【答案】B【解析】令圆锥底面半径为r ，则22p p =r ，因此1r =\圆锥的高为：h ==\圆锥的体积2113p =´´=V 故选：B17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3p -B ．1)p -C ．1)pD ．2)p【来源】陕西省西安市临潼区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,a b ，则a b = ，又2a b p +=，解得(3a p =故选:A 18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3p，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3pB ．3pC ．92D ．112-【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题【答案】D【解析】在圆心角为3p ，弦长等于2米的弧田中，半径为2是，矢=12(弦×矢+矢²)=((211122222éù´+=-⎢⎥ëû，故选D.19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3pB ．3p-C ．6pD ．6p-【来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高一（重点班）上学期期末数学试题【答案】C【解析】：分针转一周为60分钟，转过的角度为2p将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为12.126p p ´= 故选C ．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为23p ，弧长为2p 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A B ．C D 【来源】河南省杞县高中2021-2022学年高一下学期6月月考数学试卷【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则223l p p =，解得3l =，又22p p =r ，解得1r =，所以圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为213V r h p ==.故选：A .二、填空题21圆锥的体积为______【来源】河北省沧衡八校联盟2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】2π3【解析】设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由212=，得l =因为2πr =1r =，所以该圆锥的体积为212ππ133´´=.故答案为：2π322．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积21(2弦矢矢)=´´+，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为23p ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】92+【解析】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ^，所以矢长为CD ，在Rt AOC △中，6AO =，3AOC p Ð=，所以13,2OC OA AC ===，所以3,2CD OD OC AB AC =-===所以弧田的面积为()()2211933222AB CD CD ×+=+=+.故答案为：92.23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1)【解析】设,AOB q Ð=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r，12S S =Q，即2212r r r -=，所以2212r r ==，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm =，故答案为：1).24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40p+【解析】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ^，由条件可知QT =，60PQ = 所以sin QPO Ð=，所以3QPO pÐ=，23QPT p Ð=，所以月牙泉的周长(260403l p p p =´+´=+.故答案为：(40p +25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1π3121sin 2323´´´-´´´=26．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02a a p <<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【来源】江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一强化班上学期期末数学试题【答案】 2 2116l 【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为ra 故2r r la +=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r a ==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l 此时12r l a =，2a =故答案为：2，2116l。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第1练 任意角和弧度制及三角函数的概念(解析版)
第1练任意角和弧度制及三角函数的概念一、单选题B．A．8π33．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B上与点A接触的地方标记为点直），直到前轮与点B接触.经观测，当前轮与点B接触时，标记点度为0.45m.已知前轮的半径为A．20.10m B．19.94m4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为A．122π5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）A．32-6．（2023·全国·高一专题练习）已知角重合．若角α终边上一点A．32-7．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点为角α终边上一点，若二、多选题9．（2023春·江西九江·高一校考期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交于点()1,0A ．已知点()11,B x y 在圆O 上，点T 的坐标是()00,sin x x ，则下列说法中正确的是（）A．若AOB α∠=，则 ACB α=B．若C．10sin y x =，则 0ACB x =D．若10．（2023春·湖北恩施·高一校联考期中）如图所示，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，αβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，则下列说法正确的是（）A． AP的长度为αβ-B．扇形11OA P 的面积为αβ-C．当1A 与P 重合时，12sin AP β=D．当3πα=时，四边形11OAA P 面积的最大值为11．（2023·全国·高三专题练习）如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且AOB ∠=向运动，质点B 同时以rad /s 12π的角速度按逆时针方向运动，则（A．经过1s 后，扇形AOB B．经过2s 后，劣弧 AB 的长为C．经过6s 后，质点B 的坐标为D．经过22s 3后，质点A ，12．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知点点P 为圆C ：2268x y x y +--+A．PAB 面积的最小值为C．∠PAB 的最大值为5π1213．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）0＜φ＜π）的图像与x 轴相邻两个交点之间的最小距离为与x 轴的所有交点的横坐标之和为A．123f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B．f (x )在区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增C．f (x )的图像关于点512π⎛- ⎝D．f (x )的图像关于直线x =14．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，角与x 轴的非负半轴重合，终边经过点A．2±B．±1三、填空题16．（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角为底面周长为2π，则这个圆锥的体积为17．（2023·全国·高三专题练习）已知单位长度，再向下平移两个单位长度，得到为．18．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数四、解答题(1)求扇形AOB的周长；(2)当点C在什么位置时，矩形参考答案：则有113l l r l R -==，所以1l =所以圆台的侧面积为(πR r +故选：C.3．D【分析】由题意，前轮转动了【详解】解：由题意，前轮转动了所以A ，B 两点之间的距离约为故选：D.4．D【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据3如图所示：则圆锥的高h =则圆锥的体积2133V π=⨯⨯故选：D 5．C【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案.【详解】cos198cos132︒︒+cos18sin 42cos 42sin18=︒︒+︒故选：C 6．A【分析】计算得到1,2P ⎛- ⎝【详解】2π2πcos ,sin 33P ⎛对于A，PAB 面积的最小值为点12PAB M S AB y =⋅⋅= 对于B，连接,A C 交圆于22(31)42-=++-AC RC 对于C，当AP 运动到与圆Q ,2sin 4∠==QC CAQ AC ∠∠∠∴=+PAB CAQ CAN。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.若是第三象限角，则是第象限角.【答案】一【解析】是第三象限角，则.所以,故在第一象限.【考点】角的象限.3.化简sin600°的值是( ).A．0.5B．-C．D．-0.5【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.5.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义6.函数的定义域为A．B．为第Ⅰ、Ⅱ象限的角C．D．【答案】C【解析】由题知，解得，故选C【考点】三角函数在各象限的符号7.已知角的终边经过点，则=___________．【答案】【解析】由题知，所以==．【考点】三角函数定义8.某扇形的半径为1cm，它的弧长为2cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4rad C．4°D．2rad【答案】D【解析】因为扇形的弧长公式为l=r|α|，由已知，l=2，r=1，所以＝2弧度故选D．【考点】扇形的弧长公式.9.与13030终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】终边与1303°相同的角是k•360°+1303°，k∈Z∴k=-4时，k•360°+1303°=-137°．故选C．【考点】终边相同的角．10.已知Ｐ（-8,6）是角终边上一点,则的值等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】Ｐ（-8,6）是角终边上一点,所以，；则=【考点】三角函数的定义．11. 60°="_________" ．（化成弧度）【答案】【解析】根据角的弧度数的定义，弧度．【考点】角度制与弧度制的转化．12.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．13.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．14. sin2100 = ( )A．B．-C．D．-【答案】D【解析】sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．【考点】运用诱导公式化简求值．15.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.16.化为弧度角等于；【答案】【解析】，.【考点】角度制与弧度制的互化17.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义18.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.19.已知角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可知，故选D.【考点】三角函数的定义.20.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为 ( )A．B．-C．D．-【答案】B【解析】由题意知,故正确答案为B.【考点】三角函数的定义21.已知，，则＝________.【答案】－【解析】法一：因为，，则可取角的终边上一点P，，则；法二：，因为，所以＝－【考点】任意角三角函数定义，同角三角函数基本关系式22. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．23.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.【考点】角的推广与象限角.24. .【答案】－【解析】由三角函数的诱导公式，=－。
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案一、选择题1．若一个扇形的面积是2π，半径是23 ，则这个扇形的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．π3答案：D解析：设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S ＝12 θr 2，所以θ＝2S r 2 ＝4π（23）2 ＝π3 ，故选D.2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( ) 参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172° A ．sin 1>sin 2>sin 3 B ．sin 2>sin 1>sin 3 C ．sin 1>sin 3>sin 2 D ．sin 3>sin 2>sin 1 答案：B解析：因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y ＝sin x 在0°<x <90°时是增函数，所以sin 8°<sin 57°<sin 65°，即sin 2>sin 1>sin 3，故选B.3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角 答案：C解析：由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2k π＋π2 <θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<θ2 <k π＋π2 (k ∈Z )，∴θ2为第一或第三象限角． 4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3 x 上，则角α的取值集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z答案：D解析：∵y ＝－3 x 的倾斜角为23π，∴终边在直线y ＝－3 x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：设扇形的圆心角为θ，半径为R ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6，得θ＝3．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45 ，则cos α·tan α的值是( )A.－45 B ．45C ．－35D ．35答案：A解析：由三角函数的定义知cos α＝35 ，tan α＝－4535＝－43 ，∴cos αtan α＝35 ×⎝⎛⎭⎫－43 ＝－45. 7．给出下列各函数值：①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④sin 710πcos πtan 179π；其中符号为负的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：C解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角， ∴sin (－1 000°)>0；又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角， ∴cos (－2 200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角， ∴tan (－10)<0；∵sin 710 π>0，cos π＝－1，179 π＝2π－π9，为第四象限角， ∴tan 179 π<0，∴sin 710πcos πtan 179π>0.8．已知角θ的终边经过点P (x ，3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．－3D ．－223答案：A 解析：∵r ＝x 2＋9 ，cos θ＝xx 2＋9 ＝1010 x ，又x <0，∴x ＝－1.9．(多选)下列结论中正确的是( )A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限角或第三象限角C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 答案：ABD解析：若0<α<π2 ，则sin α<tan α＝sin αcos α，故A 正确；若α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π ，k ∈Z ，则α2 ∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2 ，k ∈Z ，所以α2为第一象限或第三象限角，故B 正确；若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k|5k |，不一定等于45 ，故C 错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，圆心角的大小为22＝1弧度，故D 正确．故选ABD.二、填空题10．已知扇形的圆心角为π6 ，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π3解析：设扇形所在圆的半径为r ，则弧长l ＝π6 r ，又S 扇＝12 rl ＝π12 r 2＝π3，得r ＝2，∴弧长l ＝π6 ×2＝π3.11．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，则sin α＝________．答案：－45解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ ＝－5cos θ，故sin α＝－45.12．已知角α的终边经过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝________.答案：12解析：由题可知P (－8m ，－3)，∴cos α＝－8m64m 2＋9 ＝－45 ，得m ＝±12，又cos α＝－45 <0，∴－8m <0，∴m ＝12 .。
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高中数学总复习练习题专题47 任意角和弧度制一、选择题1．（2019·广西高一期末（文））150o 化成弧度制为（ ） A.56πB.4π C.23π D.3π 【答案】A【解析】由题意可得51501501806ππ=⨯=o，故选：A. 2．把85π-化为角度是（ ） A.96-o B.144-oC.288-oD.576-o【答案】C【解析】由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得8818028855π-=-⨯=-o o . 故选：C.3．下列角的终边与37o 角的终边在同一直线上的是（ ） A.37-o B.143oC.379oD.143-o【答案】D【解析】与37o 角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅o o ，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-o o o ，所以，143-o 角的终边与37o 角的终边在同一直线上. 故选：D ．4．与468-o 角的终边相同的角的集合是（ ）A.{}360456,k k Z αα=⋅+∈ooB.{}360252,k k Z αα=⋅+∈ooC.{}36096,k k Z αα=⋅+∈ooD.{}360252,k k Z αα=⋅-∈oo【答案】B【解析】因为4682360252-=-⨯+o o o ，所以252o 角与468-o 角的终边相同，所以与468-o 角的终边相同的角的集合为{}360252,k k Z αα=⋅+∈o o. 故选：B ．5．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α（ ）A.是第三象限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角【答案】D【解析】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选：D.6．已知角α的终边落在x 轴的非负半轴上，则角2α的终边落在（ ） A.x 轴的非负半轴上 B.x 轴上 C.y 轴的非负半轴上 D.y 轴上【答案】B【解析】由题意，知()360k k Z α=⋅∈o，则()1802k k Z α=⋅∈o .当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则3602n α=⋅o ，此时，角2α的终边在x 轴的非负半轴上； 当k 为奇函数时，设()21k n n Z =+∈，则()()211801803602n n n Z α=+⋅=+⋅∈o o o ，此时，角2α的终边在x 轴的非正半轴上. 综上所述，角2α的终边在x 轴上.故选：B ．7．（2019·河南高一期末）已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A.53πB.23π C.52πD.2π 【答案】C【解析】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C8．（2019·山东高一期末）下列各角中，与角6π终边相同的角是（ ） A.136π-B.116π-C.116πD.196π【答案】B 【解析】角6π终边相同的角可以表示为2,()6a k k Z ππ=+∈，当1k =-时，6a 11π=-，所以答案选择B 9．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{}1804518090,k k k Z αα⋅+≤≤⋅+∈oooo中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则有3604536090n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于4590o o :角终边所在的区域；当k 为奇数时，设()21k n n Z =+∈，则有360225360270n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于225270o o :角终边所在的区域.故选：C.10．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（ ） A ．4 B ．2C ．4πD ．2π【答案】A【解析】由已知得，=24l θ=，，又因为弧长l R θ=，所以扇形的半径=2R ，所以面积11=42=422S lR =⋅⋅．选A ．11．（2019·安徽高三月考（文））已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（ ）A.45B.5C.12D.45或5 【答案】D【解析】据题意，得27,1 2.5,2l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得5,22r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5,r l =⎧⎨=⎩所以45l r =或5.故选D . 12．（2019·湖北高三月考（文））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A.2+43B.13+2C.2+83D.4+83【答案】A 【解析】如图，由题意可得23AOB π∠=， 在Rt AOD ∆中，,36AOD DAO ππ∠=∠=，所以2OB OD =，结合题意可知矢2OB OD OD =-==，半径4OB =， 弦2216443AB AD ==-= 所以弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）21(4322)4322=+=， 故选A. 二、填空题13．（2019·上海交大附中高一开学考试）2018°是第________象限角. 【答案】三【解析】20185360218=⨯+o o o Q ，又218o 是第三象限角，所以2018o 也是第三象限角. 故答案为：三.14．（2019·上海市吴淞中学高一期末）圆心角为60︒的扇形，它的弧长为2π，则该扇形所在圆的半径为______. 【答案】6 【解析】263l r r r παπ===∴=故答案为：615．（2018·江西高一期末）扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长为________cm 【答案】6π【解析】圆弧所对的圆心角为30°即为6π弧度，半径为1cm 弧长为l ＝|α|•r 6π=⨯16π=（cm ）．故答案为：6π． 16．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）若角α与角3-2π终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），且302πα≤＜，则=α______． 【答案】2π 【解析】因为角α与角32π-终边相同（始边相同且为x 轴正半轴）， 所以322k παπ=-，k ∈Z ， 又因302πα≤<， 所以当1k =时，2πα=.故答案为：2π 三、解答题17．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【答案】(1) {α|＋2k π<α<＋2k π，k ∈Z}；(2) {α|－＋2k π<α≤＋2k π，k ∈Z}；(3){α|k π≤α≤＋k π，k ∈Z}；(4) {α|＋k π<α<＋k π，k ∈Z}. 【解析】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成， 故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转πrad 而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．18．已知1570α=-o ，2750α=o，135βπ=，23βπ=-． （1）将12,αα用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将12,ββ用角度制表示出来，并在720,180⎡⎤--⎣⎦o o内找出与它们终边相同的所有角．【答案】（1）1196πα=-终边位于第二象限，2256πα=终边位于第一象限； （2）12108,60ββ==-o o，与1β终边相同的角为252-o 和612-o ，与2β终边相同的角为420-o .【解析】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：1195705701806ππα=-=-⨯=-o oo， 2257507501806ππα==⨯=o o o， 又由1195466ππαπ=-=-+，所以1α与角56π的终边相同，所以1α终边位于第二象限；225466ππαπ==+，所以2α与角6π的终边相同，所以2α终边位于第第一象限.（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得131085βπ==o ，2603βπ=-=-o ， 根据终边相同角的表示，可得与1β终边相同的角为1360108,k k Z θ=⨯+∈o o，当1k =-时，1360108252θ=-+=-o o o ；当2k =-时，12360108612θ=-⨯+=-o o o. 与2β终边相同的角为236060,k k Z θ=⨯-∈o o ，当1k =-时，136060420θ=--=-o o o.19．在角的集合{}|9045,k k αα︒︒=+∈Z g， （1）有几种终边不同的角？（2）写出区间(180,180)︒︒-内的角？ （3）写出第二象限的角的一般表示法．【答案】(1) 4种．(2) 135,45,45,135︒︒︒︒--．(3) 360135,k k ︒︒+∈Z g ．【解析】（1）由题知9045,k k α︒︒=+∈Z g ，令0,1,2,3k =，则45,135,225,315α︒︒︒︒=， ∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种． （2）由1809045180,k k ︒︒︒︒-<+<∈Z g ，得53,22k k -<<∈Z ，∴2,1,0,1k =--， ∴在区间(180,180)︒︒-内的角有135,45,45,135︒︒︒︒--． （3）由（1）知，第二象限的角可表示为360135,k k ︒︒+∈Z g ．20．已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+． 由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭． 利用函数单调性的定义，可得当05R <…时，函数502y R R=+是减函数； 当5R >时，函数502y R R=+是增函数． 所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．21．（2019·宁夏银川一中高一期中）已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.（2）因为，所以.，又，所以.22．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．（1）若,6cm 3R απ== ，求该扇形的弧长l ． （2）若扇形的周长为12cm ，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．【答案】（1）2π； （2）2α=，扇形的最大面积为29cm . 【解析】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为623l R παπ==⨯=；（2）由题意，扇形的周长为12cm ，所以212R l +=，可得122l R =-， 又由扇形的面积公式，可得2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+, 当3R =时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为29S cm =， 此时1226l R =-=，即36R αα=⨯=，解得2α=.。