1 有限元-应力应变关系

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2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系

三、正交各向异性材料的应力-应变关系
具有3个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。当图2.2中的
1O2，1O3和2O3平面均为弹性对称面时，按单对称材料的分析方法可以得到式
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
即刚度矩阵或柔度矩阵具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的性常数为21个。
二、单对称材料的应力-应变关系
事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
应变—应力关系为:
11 S1111
22
S2211
33 23

弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系

二维问题有限元

平面应变问题应力应变关系
2、二维问题最小势能原理
对于线弹性问题，结构的应变能为 1 V x x y y xy xy dV 2 V 1 t T T dV dA 2 V 2 A 外力势能为：
根据叉积的几何意义，可知：
2 r12 r13 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) k 1 x1 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) 1 x 2 1 x3 y1 y2 y3
x x y 0 xy
0 y
y u x v
T
1 1 x 0 x E1 1 0 y y 2 1 (1 1 ) 1 1 z xy 0 0 2
xy (1 ) 2 xy xy xy G E yz (1 ) 2 yz yz yz G E zx (1 ) 2 zx zx zx G E
(3)物理关系 (a)平面应力问题
考虑力矩的平衡，可得：上式整理后，可得：
x yx Fx 0 x y x y xy F 0 0 y x y 0 y
xy yx
y x f x 0 y f x y 0
平面应力问题应力应变关系
E1 E ; 1 2 1
D
1
x 1 0 x E 1 0 y y 1 (1 2) 1 2 xy xy 0 0 2

混凝土应力应变

混凝土应力应变分析与设计混凝土是一种常用的建筑材料，它具有良好的抗压性能，但是其抗拉性能较差。

在混凝土结构中，混凝土的受力状态往往是复杂的，需要进行应力应变分析和设计。

1. 混凝土的力学性质混凝土是一种非均质材料，其力学性质受到多个因素的影响，如水胶比、骨料种类和大小、加水量等。

通常情况下，混凝土的强度随着水胶比的降低而增加，在一定范围内随着骨料粒径的增大而增加，在一定范围内随着加水量的增大而降低。

2. 混凝土应力应变关系混凝土在受到外部载荷作用时会发生应变，根据胡克定律可知其应变与应力呈线性关系。

但是在混凝土达到极限强度之前，其应力应变关系并不完全符合线性规律。

因此，在进行混凝土结构设计时需要采用非线性分析方法。

3. 混凝土试验为了确定混凝土的力学性质和应力应变关系，需要进行混凝土试验。

常用的试验方法有压缩试验、拉伸试验和弯曲试验。

在试验过程中，需要注意保证试样的质量和尺寸符合标准要求，并严格控制试验条件。

应力应变分析1. 基本假设在进行混凝土结构的应力应变分析时，通常采用弹塑性理论。

基本假设为：混凝土是一种线性弹性材料，在受到小应变作用时呈现线性规律，在受到大应变作用时呈现非线性规律；混凝土是一种各向同性材料，其力学性质与方向无关；混凝土结构是一个连续体，其内部各点处于相同状态。

2. 应力计算在进行混凝土结构的应力计算时，需要考虑外部载荷和自重荷载对结构产生的影响。

根据静平衡条件和材料本身的特点，可以得出结构内部的正应力、剪应力和法向压应力等。

3. 应变计算在进行混凝土结构的应变计算时，需要考虑材料本身的应变特性和结构的几何形状。

通常采用有限元分析方法进行计算，可以得出结构内部各点处的应变分布。

4. 应力应变关系根据混凝土试验数据和弹塑性理论，可以得出混凝土的应力应变关系。

在进行混凝土结构设计时，需要根据实际情况选择合适的材料参数和非线性分析方法，以确保结构安全可靠。

设计案例以某钢筋混凝土框架为例，进行混凝土应力应变分析和设计。

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

有限元作业-铝材挤压过程分析

铝材挤压过程分析（状态非线性问题）1、问题描述（1）问题的提出在用模具挤压型材的过程中，可能由于模具先天设计不合理导致挤压型材从模具口出来后产生一定程度的变形，如果变形超出许可程度，那么工作人员需要进行修模或者重新设计模具。

利用有限元分析软件可以预测型材和模具在挤压载荷的作用下产生的变形和应力，设计人员可以通过计算结果，分析原因，并对模具和挤压方式等进行改进。

（2）问题描述如图1-1所示为金属铝坯料和挤压模具结构示意图，铝的应力应变关系如图1-2所示，坯料与模具之间的摩擦因数为0.1，求挤压过程中坯料内部的应力场变化。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

图1-1 金属坯料和模具图1-2 铝的应力和应变关系2、整体规划该问题属于状态非线性大变形接触问题。

在分析过程中根据轴对称性，选择挤压式样和模具纵截面的1/2建立几何模型。

3、选择单元类型，定义材料性能因为该问题属于接触问题，所以选择CONTA172接触单元和TARGE169目标单元以及PLANE182结构单元进行求解。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

TARGE169单元实常数设置如图2-1所示：图3-1 TARGE169单元实常数设置4、创建几何模型（1）通过坐标值生成矩形面，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Ar eas/Rectangle/By Dimensions 命令，在出现的对话框中输入点的坐标值分别为：X1=0，Y1=0；X2=8E-3，Y2=0.05；X3=7E-3，Y3=-0.02；X4=0.025，Y4=-0.01。

得到如图4-1所示图形。

图4-1 两个矩形面（2）定义两个关键点，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Keypoints/In Active CS命令，在出现的对话框中输入关键点编号分别为9，10，坐标值分别为：（8E-3,0，0），（0.025，0，0）。

平面问题的有限元分析

4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展

构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展张胜利【摘要】采用有限元数值模拟方法对构造地质问题进行描述和定量化求解是当前地质学领域的研究的一个热点,在近10年以来取得了重要进展,形成了比较完整的理论和技术体系,并在一些典型的地质构造带获得了重要的研究成果.本文以有限元数值模拟方法理论作为出发点,总结分析了国内外有限元数值模拟方法在构造应力场领域的研究进展情况和技术方法,并讨论了其目前存在的问题和未来发展方向.【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2010(032)004【总页数】6页(P405-410)【关键词】构造应力场;数值模拟;有限单元法【作者】张胜利【作者单位】五邑大学信息学院,广东,江门,529020;中科院广州地化所,广东,广州,510640【正文语种】中文【中图分类】P315.12Abstract：The Finite Element Method（FEM）has been used in the study of tectonic stress field for a long time，and the essence of numerical modeling has been adopted to the well－established numerical methods of multidisciplinary acknowledge including mathematics，physics andmechanics for studing characters of geological tectonics.In the last decade，great advances have been made on the numerical simulation method，not only an integrated theory has been built up，but also some significant results have been born from several typical tectonic belts.So the FEM becomes one of the most important numerical methods in the study of tectonic stress field.In this paper，taking theory of FEM as a springboard，the new progress and methods in this field at home and abroad is summarized and analyzed.Some problems and prospect of the researching on the field is also given.Key words：Tectonic stress field；Numerical model；Finite element method地壳中的各种地质构造都是岩石受力发生变形的产物，它们的产生和发展必然也受力学规律的支配。

有限元法基础试题

有限元法基础试题（A ）一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵eT k B DBd Ω=Ω⎰中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。

1.2边界条件通常有两类。

通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。

1.3内部微元体上外力总虚功：()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ⎡⎤=+++++⎣⎦+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ⎡⎤+++⎣⎦的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。

1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。

1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。

二、判断题（5×2分）2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。

（） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。

（） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。

（） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。

（） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。

（）三、简答题（26分）3.1列举有限元法的优点。

（8分）3.2写出有限单元法的分析过程。

（8分）3.3列出3种普通的有限元单元类型。

（6分）3.4简要阐述变形体虚位移原理。

（4分）四、计算题（54分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。

用Ansys或Abaqus分析钢管混凝土结构或构件

用Ansys或Abaqus分析钢管混凝土结构或构件用Ansys或Abaqus分析钢管混凝土结构或构件以上两个软件国外都有人用来分析钢管混凝土结构，但建模的方法不尽相同。

关键在于钢管和混凝土本构关系的选取以及两者之间的界面处理方法，各位有没有这方面的经验能向我们大家介绍一下。

==========程序中大概只有Drucker-Prager比较适合描述受约束混凝土的本构关系，因为这个模型可以考虑 hydrostatic stress （流体静应力）的影响。

在程序中，需要输入cohesion, angle of internal friction，(one more for ANSYS is the angle of dilatancy)。

值得注意的是，两个软件确定这几个参数的公式各不相同，很是令人头疼。

其实user manuals不可能给出明确的表达式，因为到目前为止，好像没有研究把钢管的强度，混凝土的强度，含钢率等等因素（i.e. the confinement）全部在Drucker-Prager 中考虑进去。

至于两种材料的界面，日本的 Hanbin Ge曾用link element来模拟，但在他的文章中，没有详细的描述。

轴压状况下，好像可以忽略滑移。

偏压可能情况有所不同。

==========韩教授书上的混凝土应力-应变关系，可以简单理解为单向受力的混凝土本构关系（考虑了钢管的约束），因此不能用于多向应力状态下混凝土的有限元分析。

材料非线性有限元分析，需要定义材料的屈服面，流动准则，强化准则，等等。

对受约束的混凝土，还要考虑体积膨胀，钢管对它的约束等因素。

显然，不是一个简单的应力-应变曲线所能概括的。

==========三向有限元分析，需要定义屈服面、流动准则和强化准则等等，而考虑钢管约束的混凝土本构关系，只是应力-应变关系。

对钢管混凝土的有限元分析，主要困难是如何定义屈服面，和模拟两个材料之间的滑移，我曾经用过接触分析（contact analysis）来求轴压构件的承载力，发现最大承载力能够比较精确地求得，但是精确的荷载-位移曲线很难获得，因为商用软件（Ansys\Marc）里面的D-P模型是塑性模型。

《有限元分析》课程设计说明书

矩形梁的弹塑性分析（VM24）1原附件1.1帮助文档（VM24）VM24Plastic Hinge in a Rectangular Beam OverviewTest CaseA rectangular beam is loaded in pure bending. For anelastic-perfectly-plastic stress-strain behavior, show that the beamremains elastic at M = Myp = σypbh2/6 and becomes completely plastic atM = Mult = 1.5 Myp.Figure 24.1 Plastic Hinge Problem SketchMaterial PropertiesE = 30 x 106 psiυ = 0.3σyp = 36000 psiGeometricPropertiesb = 1 inh = 2 inIz= b h3/12 = 0.6667in4LoadingM = 1.0 Mypto 1.5Myp(Myp= 24000in-lb)Analysis Assumptions and Modeling NotesThe problem is solved by using two types of plasticity rules: •the bilinear kinematic hardening (BKIN)•the bilinear isotropic hardening (BISO)An arbitrary beam length is chosen. Because of symmetry, only half of the structure is modeled (since length is arbitrary, this means only that boundary conditions are changed). The load is applied in four increments using a do-loop, and convergence status is determined from the axial plastic strain for each load step in POST26.Results Comparison (for both analyses)1.Solution converges2.Solution does not converge (indicates that the structure hascollapsed). Moment ratios slightly less than 1.5 will also show a collapse since plasticity is monitored only at discrete integration points through the cross-section.1.2命令流文件/COM,ANSYS MEDIA REL. 10.0 (05/31/2005) REF. VERIF. MANUAL: REL. 10.0 /VERIFY,VM24/PREP7/TITLE, VM24, PLASTIC HINGE IN A RECTANGULAR BEAMC*** STR. OF MATLS., TIMOSHENKO, PART 2, 3RD ED., PG. 349, ART. 64C*** USING BILINEAR KINEMATIC HARDENING PLASTICITY BEHA VIOR TO DESCRIBEC*** THE MATERIAL NONLINEARITYANTYPE,STATICET,1,BEAM23R,1,2,(2/3),2 ! AREA = 2, IZZ = 2/3, H = 2MP,EX,1,30E6MP,NUXY,1,0.3TB,BKIN,1,1 ! BILINEAR KINEMATIC HARDENING TBTEMP,70TBDATA,1,36000,0 ! YIELD POINT AND ZERO TANGENT MODULUSN,1 ! DEFINE NODESN,2,10E,1,2 ! DEFINE ELEMENTD,1,ALL ! BOUNDARY CONDITIONS AND LOADSSA VE ! SA VE DATABASEFINISH/SOLUSOLCONTROL,0NEQIT,5 ! MAXIMUM 5 EQUILIBRIUM ITERATIONS PER STEPNCNV,0 ! DO NOT TERMINATE THE ANALYSIS IF THE SOLUTION FAILS! TO CONVERGEOUTRES,EPPL,1 ! STORE PLASTIC STRAINS FOR EVERY SUBSTEPCNVTOL,U ! CONVERGENCE CRITERION BASED UPON DISPLACEMENTS ANDCNVTOL,ROT ! ROTATIONS*DO,I,1,4F,2,MZ,(20000+(I*4000)) ! APPLY MOMENT LOADSOLVE*ENDDOFINISH/POST26NSOL,2,2,U,Y,UY2 ! NODE 2 DISPLACEMENTESOL,3,1,,LEPPL,1,EPPLAXL ! AXIAL PLASTIC STRAINPRV AR,2,3FINISH/CLEAR, NOSTART ! CLEAR PREVIOUS DATABASE BEFORE STARTING PART2/PREP7C*** USING BILINEAR ISOTROPIC HARDENING PLASTICITY BEHA VIOR TO DESCRIBEC*** THE MATERIAL NONLINEARITYRESUMETBDELE,BKIN,1 ! DELETE NONLINEAR MATERIAL TABLE BKINTB,BISO,1,1 ! BILINEAR ISOTROPIC HARDENING TBTEMP,70TBDATA,1,36000,0 ! YIELD POINT AND ZERO TANGENT MODULUSFINISH/SOLUSOLCONTROL,0NEQIT,5 ! MAXIMUM 5 EQUILIBRIUM ITERATIONS PER STEPNCNV,0 ! DO NOT TERMINATE THE ANALYSIS IF THE SOLUTION FAILS! TO CONVERGEOUTRES,EPPL,1 ! STORE PLASTIC STRAINS FOR EVERY SUBSTEPCNVTOL,U ! CONVERGENCE CRITERION BASED UPONDISPLACEMENTS ANDCNVTOL,ROT ! ROTATIONS*DO,I,1,4F,2,MZ,(20000+(I*4000)) ! APPLY MOMENT LOAD SOLVE*ENDDOFINISH/POST26NSOL,2,2,U,Y,UY2 ! NODE 2 DISPLACEMENT ESOL,3,1,,LEPPL,1,EPPLAXL ! AXIAL PLASTIC STRAIN PRV AR,2,3/OUT,vm24,vrt/OUTFINISH*LIST,vm24,vrt2.设计题目图1受纯弯曲的悬臂梁的弹塑性弯曲问题描述如图1所示，一矩形悬臂梁梁受纯弯曲问题。

内聚力模型在裂纹萌生及扩展中的应用

内聚力模型在裂纹萌生及扩展中的应用孙家啟;纪冬梅;唐家志【摘要】断裂及开裂是工程中严重的结构失效形式.结合传统断裂力学中应力强度因子K以及J积分,综述了内聚力模型基本思想及发展,分析了典型的内聚力模型及模型应用的局限性,总结了不同内聚力模型在有限元中的实现形式,概述了国内外学者关于内聚力模型解决不同材料裂纹萌生与扩展的研究状况,得出了内聚力模型可以用以研究裂纹尖端塑性变形、静力和疲劳载荷条件下的蠕变开裂,以及金属、岩土材料及混凝土、复合材料及纳米晶材料裂纹萌生与裂纹扩展的结论.【期刊名称】《上海电力学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】7页(P129-134,139)【关键词】内聚力模型;有限元方法;裂纹萌生;裂纹扩展【作者】孙家啟;纪冬梅;唐家志【作者单位】上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090【正文语种】中文【中图分类】TB383.1对于含裂纹结构失效的问题,尤其是裂纹尖端应力场的分布与演化,研究者们尝试采用不同的方法予以解决.1921年,GRIFFITH A A[1]提出,当裂纹扩展过程中释放的弹性应变能与新裂纹形成的表面能相等时,裂纹就会失稳扩展,这对脆性材料的断裂理论做出了开创性研究.[2]严格地说,Griffith理论只适用于理想脆性材料,IRWIN G R[3]和OROWAN E[4]各自提出了裂纹尖端区域塑性耗散功的理论,将Griffith理论应用到工程材料中.1958年,IRWIN G R[5]提出了临界应力强度因子概念,巧妙地将能量释放率和裂纹尖端应力强度因子结合起来,进一步推动了断裂力学的发展.1961年,PARIS P C等人[6]将应力强度因子理论应用于疲劳裂纹扩展的研究中.当裂纹尖端塑性区尺寸不能忽略时,裂纹尖端塑性区域的应力应变场已无法由K场表征.RISE J R[7]提出了与路径无关的J积分,奠定了弹塑性断裂力学的理论框架.J 积分虽然可以处理弹塑性材料的断裂问题,但对于塑性过程区相当大的裂纹前缘,萌生后裂纹的扩展过程是人们更为感兴趣的阶段,[8]而且传统断裂力学往往不适用于研究裂纹的萌生阶段.近年来,内聚力模型(Cohesive Zone Model,CZM)已被广泛应用于有关裂纹扩展的研究中,相比于应力强度因子K,内聚力的存在使得裂纹尖端保持闭合的趋势,在一定程度上减轻甚至消除了应力的奇异性.CZM将裂纹问题归结为一个非线性边值问题,并不需要起裂扩展准则,而且该模型基于弹塑性断裂力学,其适应性强,可以解决很多的非线性、大变形问题.本文综述了CZM的发展过程、与有限元算法结合的具体实现,以及基于内聚力模型的有限元算法在不同材料裂纹萌生与扩展中的应用.1.1 内聚力模型的发展CZM首先由DUGDALE D S[9]和BARENBLATT G I[10]提出,BARENBLATT G I 将CZM应用于脆性材料的断裂研究中,DUGDALE D S采用类似CZM模型,研究了裂纹尖端的屈服和塑性区尺寸的大小.在这些早期关于非线性断裂的研究中,当内聚力区尺寸小于裂纹和试样尺寸时,CZM理论与GRIFFITH A A的能量平衡理论等效.对于内聚应力的分布,DUGDALE D S将其看作在数值上等于材料的屈服强度,但这与物理事实不符.BARENBLATT G I认为内聚应力是内聚区裂纹面各点处裂纹张开位移的函数,在分子尺度上引入了内聚力,但符合这一特性的解析式较难具体给出,而实际情况下,多数研究者仍然假设内聚力为常数.HILLERBORG A等人[11]在BARENBLATT G I的基础上加入了拉伸强度,首次将内聚力模型应用到有限元计算中,模拟了脆性材料的断裂过程.该模型不仅允许已有裂纹的增长,还允许新裂纹的萌生与演化,并且完整地描述了基于该模型断裂过程的细节.NEEDLEMAN A[12]采用高次多项函数,模拟了延性材料的断裂情况.KOLHE R 等人[13]在对镍铝合金的剪切断裂性能进行数值模拟时,采用了分段函数的方法来描述CZM.CZM的实质是表征分子和原子间相互作用的简化模型,裂纹的尖端被假定为两个裂纹界面组成的一个很小的内聚区,内聚区的本构关系即界面上作用牵引力T与两裂纹面间相对位移U之间的关系.图1为内聚力模型和裂纹尖端内聚区的分布.图1中,由未完全承载的点A开始,T随着U的增加而增加,随之达到一个应力最大值Tmax的点C,此时该材料点的应力承载达到了最大值,材料点开始出现初始损伤.随着界面位移的继续增大,应力开始下降,该阶段为材料点的损伤扩展阶段,点E为裂纹界面完全分离的材料点,其承载降为零.内聚力区内应力的变化通过内聚力法则和裂纹界面位移联系起来,针对不同的材料,可以选择不同的内聚力法则,通过选取适当的参数,可以反映界面层的强度、韧度等力学性能.1.2 内聚力模型分类1.2.1 基于有效位移的内聚力模型基于位移的内聚力模型将裂纹上下表面之间的有效牵引力定义为有效分离位移的函数,即牵引力分离法则.常见的牵引力分离法则有线性软化、双线性软化,以及指数、梯形等.将模型中有效牵引力与内聚强度σmax归一化处理后如图1所示.不同模型的区别在于与之间函数关系的不同,通常情况下,材料的断裂是基于裂纹面法向应力Tn 的1型裂纹和基于裂纹面切向应力Tt 的2型裂纹的混合失效模式. TVERGAARD V[14]引入的内聚力模型为:式中:δn,δt——断裂时对应的断裂面法向和切向位移;无量纲有效位移, ;立方多项式模型有效牵引力,αe——无量纲1型和2型断裂模式混合常数;Δn,Δt——裂纹面法向和切向位移.式(1)是基于有效位移的内聚力模型的代表形式,如文献[15]提出的内聚力模型为: 式中:ψ——界面表面能.而法向和切向的牵引力Tn和Tt满足令αe=δn/δt,式(3)和式(4)即式(1)的特例.文献[16]提出的能够应用于多晶脆性材料和沥青混凝土的线性软化模型为:式中:σmax——法向内聚强度;τma x——切向内聚强度;Ds——内部残余强度变量.上述模型亦可以扩展到三维裂纹的模拟,然而基于有效位移的内聚力模型存在以下两个问题:一是模型在软化条件下,正的刚度容易造成不合理的牵引力-位移关系的出现;二是模型的断裂能为常数,而实际上1型裂纹和2型裂纹的断裂能不同,在混合断裂模式中,断裂能不是常数,所以模型不能进行混合断裂的模拟.1.2.2 基于势能的通用内聚力模型基于有效位移的内聚力模型在解决裂纹扩展中出现的问题,可以在基于势能的通用内聚力模型中得到解决.基于势能的通用内聚力模型应用三次多项式表示法向牵引力,用线性关系式表示切向牵引力,例如文献[17]应用于研究空穴形成和生长的模型为:式中:αs——剪切刚度参数.由界面表面能函数可得到法向和切向牵引力:式中,Δn<δn,但当Δn>δn时,对应点的内聚力为零.内聚力模型在断裂力学研究的问题上有诸多的优势,并且随着计算机计算能力和有限元方法的日益发展,更多的研究者开始使用和改进内聚力模型并结合有限元方法,用以解决多种材料的断裂问题.有限元中内聚力模型的实现方式是引入内聚力单元,利用内聚力单元建立界面周围材料之间的应力应变关系,用应力-位移形式,即用TSL(Traction Separation Law)来定义内聚力单元的本构关系.当内聚力单元的应力或应变状态满足损伤起始准则后,内聚力单元开始发生损伤,即进入损伤演化阶段.目前,TSL法则主要有双线性、梯形、多项式以及指数等多种表达式,图2给出了常见的线性衰减演化和指数衰减演化模式.这两种演化模式都是在只受法向拉力作用下,应力值随着相对位移的增加而增大,当界面元的相对位移大于其损伤点U0所对应的位移后,随着相对位移的增加,界面元刚度开始下降;当界面元相对位移增加至图中B点时,界面单元刚度降为零,此时界面元的相对位移为Uf,界面元连接的上下两个单元可以完全分离.曲线O-A-B-O所包围的面积即为材料破坏过程中的应变能释放率,数值上等于新生裂纹面的界面表面能.利用内聚力单元模拟裂纹的扩展,首先要将内聚力单元嵌入有限元模型中,嵌入的方式有两种:一是在可能出现裂纹的路径中插入内聚力单元;二是在数值模拟的过程中,在需要的时间和位置自适应地插入内聚力单元.在使用内聚力模型分析工程材料的失效问题时,有限元分析是非常重要的.[18]对于内聚力模型本身的适用性不存在很大争议,但是如何在数值模拟中植入内聚力模型,提出了很多种方法,如XIE D等人将其分为两种:一是连续内聚力模型,二是离散型内聚力模型.[19-20]连续内聚力模型认为断裂过程区是一个连续的柔性层,连续介质的本构关系采用内聚力法则.目前常用的连续内聚力单元为CAMANHD P P等人[21]提出的零厚度的界面内聚力单元.离散内聚力模型认为断裂过程区为一个离散的弹簧基础,弹簧基础连接两个裂纹表面相邻的节点对,用非线性类型的弹簧基础模拟内聚力特性.CZM已经被广泛应用于研究多种材料的失效现象,其研究对象包括脆性材料、准脆性材料、高分子聚合物材料、功能梯度材料、纳米材料、单晶和多晶材料等.此外,CZM也被应用于疲劳裂纹扩展、钢筋混凝土的粘结滑移、材料的动态断裂等现象的研究中.3.1 脆性材料针对弹塑性分析中小范围屈服条件下线弹性裂纹的分析,研究者对内聚区作了很多种假设.1967年,KEER L M[22]假定内聚区牵引力沿着光滑连接的裂纹表面以经典弹性力学本构方程分布.在Keer方法的基础上,CRIBB J L和TOMKINS B[23]得到了一种满足脆性材料裂纹尖端应力分布的内聚区应力与裂纹面张开位移的关系.随后,SMITH E[24]得到了内聚区应力-张开位移的通用理论,并且可以用一系列简单公式表达其关系.对于混凝土、岩石、纤维混凝土等准脆性材料存在相对较大的非线性断裂区域,其表现出的明显非线性断裂特性和断裂参数,存在显著的尺寸效应现象引起了国内外许多学者的关注.HILLERBORG A等人[25]在模拟混凝土材料断裂的过程中引入了线性软化模型,该模型由材料的内聚力强度和产生新的裂纹面释放的断裂能决定.之后有许多断裂分析模型得到了应用,如等效裂纹、双参数和双K断裂模型,以及由初始断裂能和总断裂能确定的用于研究混凝土断裂及裂纹尺寸效应的双线性软化模型等.WEIBULL W[26]关于由随机统计性引起的尺寸效应的研究、CARPINTERI A[27]关于裂纹的分形特性引起的尺寸效应的研究和BAIANT Z P等人[28]关于裂纹的能量释放和应力重新分布引起的尺寸效应的研究是国内外关于混凝土材料断裂和裂纹尺寸效应研究的3个主要方面.另外,相关学者对纤维混凝土的断裂过程也进行了研究,纤维混凝土的断裂要考虑素混凝土失效以及与纤维相关的失效机制.3.2 聚合物聚合物典型的失效主要有材料的剪切屈服和银纹的产生两种形式.与剪切屈服相比,由于裂纹尖端应力集中而导致的银纹生成和积累更容易造成聚合物材料的失效,细观层次的银纹形成和断裂表现为宏观层次的裂纹生成和扩展.内聚力在聚合物材料银纹扩展的研究中得到了广泛应用.聚合物的断裂过程包括银纹的萌生、银纹的扩展和银纹的断裂3个过程.文献[29]应用基于细观力学的内聚表面模型来分析聚合物银纹断裂的3个阶段,研究者将高密度的内聚表面插入连续介质中,模拟了聚合物中的大规模银纹形成现象.3.3 纳米晶金属金属材料的断裂过程一般要经历微裂纹的萌生、裂纹的扩展和裂纹扩展到临界尺寸后扩展失稳至完全断裂几个阶段.随着晶粒尺寸的减小,与较粗晶金属相比,微、纳米晶金属材料的变形机制出现了很多新特征,晶粒内部会产生较大的应变梯度,原子模拟和传统连续介质方法无法解释材料的微结构由于尺寸效应而表现出的强化和尺度效应.于是表征超细晶和纳米晶金属晶粒内部不均匀塑性变形的基于机制的应变梯度塑性(CMSG)理论和模拟晶粒间滑移与分离,以及晶间微裂纹的萌生和扩展的内聚力界面模型在纳米晶金属断裂研究中得到广泛应用.HUANG Y等人[30]基于Taylor位错模型建立了CMSG,只包含传统应力、应变分量的CMSG理论的本构方程可以表示为:式中:应力率;K——体积弹性模量;kk——体应变率;δij——Kronecker张量;μ——剪切模量;应变率偏量;——等效应变率;σe——von Mises等效应力;σy——材料初始屈服强度;m——率敏感性指数;——应力偏量;f——单轴拉伸时塑性应变ξp的无量纲函数.基于该本构关系,利用内聚力模型,吴波等人[31]对纳米晶Ni晶间断裂进行了数值模拟.该研究利用Voronoi tessellation方法建立随机晶粒模型,假定晶间断裂是纳米晶Ni惟一的断裂失效模式,验证了纳米晶金属晶粒的尺度效应会对材料宏观力学性能产生重要影响,得到了纳米晶Ni晶间微裂纹的萌生和扩展很大程度上依赖于晶粒几何形状和晶粒材料特性分布的结果.吴波等人[32]利用同样的方法,得出了随着纳米孪晶铜晶粒尺寸和孪晶薄层间距的减小,晶内应变梯度效应增强、材料得到强化的结论.3.4 疲劳裂纹增长内聚力模型已成功地模拟了很多材料的单调断裂问题.对于疲劳裂纹而言,由于载荷的施加与卸载,致使裂纹尖端应力重新分布,疲劳裂纹扩展产生阻滞现象.因此,在循环载荷下,适合疲劳裂纹扩展的内聚力模型的开发成为解决此类问题的关键.YANG B 等人[33]在模拟材料的疲劳裂纹扩展时,提出了一种内聚力模型,该模型模拟准脆性材料在任意载荷下的疲劳裂纹的萌生和扩展比经典断裂力学更具优势和灵活性.BOUVARD J L等人[34]在研究单晶高温合金疲劳裂纹扩展时,提出了一种基于损伤演化的内聚力模型,该模型为不可逆转的内聚力模型,不仅能够解决带预置裂纹纯疲劳裂纹、高温下蠕变疲劳的萌生和扩展,还可以应用于复杂载荷下及几何形状复杂试样的裂纹扩展.(1) 相对于传统断裂力学,内聚力模型在模拟裂纹前缘、裂纹萌生过程中塑性区的演化过程有很大的优势;(2) 内聚力模型与有限元算法的结合推动了内聚力模型的发展,为材料塑形断裂的研究提供了强有力的手段;(3) 内聚力模型可用于研究裂纹尖端塑性变形、静力和疲劳载荷条件下的蠕变开裂,以及金属、岩土材料及混凝土、复合材料及纳米晶等多种材料的裂纹萌生与裂纹扩展.【相关文献】[1]GIRIFFITH A A.The phenomena of rupture and flow in solids[J].Philosophical Transactions of the Royal Society A:Mathematical,Physical and Engineering Sciences,1921,221(583-593):163-198.[2]王自强,陈少华.高等断裂力学[M].北京:科学出版社,2009:6-9.[3]IRWIN G R.Fracture dynamics in fracture ofmetals[Z].Cleveland,Am.Soc.Metals,1948:147-166.[4]OROWAN E.Fracture and strength of solids[J].Reports on Progress inPhysics,1948(12):185.[5]IRWIN G R.Analysis of stress and strains near the end of a crack transversing aplate[J].Applied Mechanics,1957(24):361-364.[6]PARIS P C,GOMEZ M P.A rational analytic theory of fatigue[J].The Trend in Engineering,1961(13):9-14.[7]RICE J R.A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks[J].Journal of Applied Mechanics,1968,35(2):379-386.[8]吴艳青,张克实.利用内聚力模型(CZM)模拟弹粘塑性多晶体的裂纹扩展[J].应用数学和力学,2006,27(4):454-462.[9]DUGDALE D S.Yielding of steel sheets containing slits[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1960,8(2): 100-108.[10]BARENBLATT G I.The mathematical theory of equilibrium cracks in brittlefracture[J].Advances in Applied Mechanics,1962(7): 55-125.[11]HILLERBORG A,MODEER M,PETERSSON P E.Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements[J].Cement and Concrete Research,1976(6): 773-782.[12]NEEDLEMAN A.An analysis of tensile decohesion along an interface[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1990,38(3): 289-324.[13]KOLHE R,TANG S,HUI C Y,et al.Cohesive properties of nickel-alumina interfaces determined via simulations of ductile bridging experiments[J].International Journal of Solids and Structures,1999,36(36):5 573-5 595.[14]TVERGAARD V.Effect of fibre debonding in a whisker-reinforced metal[J].Materials Science and Engineering: A,1990,125(2):203-213.[15]TVERGAARD V,HUTCHINSON J W.The influence of plasticity on mixed mode interface toughness[J].Mechanics and Physics of Solids,1993,41(6): 1 119-1 135.[16]GEUBELLE P H,BAYLOR J S.Impact-induced delamination of composites:a 2D simulation[J].Composites Part B: Engineering,1998,29(5): 589-602.[17]NEEDLEMAN A.A continuum model for void nucleation by inclusiondebonding[J].Journal of Applied Mechanics,1987,54(3):525-531.[18]何文涛.离散内聚力模型及其应用[D].武汉:华中科技大学,2013.[19]XIE D,SALVI A G,SUN C,et al.Discrete cohesive zone model to simulate static fracture in 2D triaxially braided carbon fiber composite[J].Journal of CompositeMaterials,2006,40(22):2 025-2 046.[20]XIE D,WAAS A M.Discrete cohesive zone model for mixed-mode fracture using finite element analysis[J].Engineering Fracture Mechanics,2006,73(13):1 783-1 796.[21]CAMANHO P P,DAVILA C G,DE MOURA M F.Numerical simulation of mixed-mode progressive crack in composite materials[J].Journal of Composite Materials,2003,37(16):1 415-1 438.[22]KEER L M.Stress distribution at the edge of an equilibrium crack[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1964,12(3): 149-163.[23]CRIBB J L,TOMKINS B.On the nature of the stress at the tip of a perfectly brittle crack[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1967,15(2):135-140.[24]SMITH E.A generalization of elliott’s model of a crack tip[J].International Journal of Fracture,1975,11(2):295-299.[25]HILLERBORG A,MODEER M,PETERSSON P E.Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements[J].Cement andConcrete Research,1976,6(6): 773-781.[26]WEIBULL W.A statistical theory of the strength ofmaterials[M].Stockholm,Sweden:Generalstabens Litografiska Anstalts Förlag,1939:151-155.[27]CARPINTERI A.Fractal nature of material microstructure and size effects on apparent mechanical properties[J].Mechanics of Materials,1994,18(2):89-101.[28]BAZANT Z P,CHEN E P,Scaling of structural failure[J].Applied MechanicsReview,1997,50(10): 593-627.[29]TIJSSENS M G A,VAN DER GRESSEN E,SLUYS L J.Modeling of crazing using a cohesive surface methodology[J].Mechanics of Materials,2000,32(1):19-35.[30]HUANG Y,QU S,HWANGK C,et al.A conventional theory of mechanism based strain gradient plasticity [J].International Journal of Plasticity,2004(20):753-782.[31]吴波,魏悦广,谭建松,等.纳米晶Ni晶间断裂的数值模拟[J].金属学报,2009(9):1 077-1 082.[32]吴波,魏悦广.纳米孪晶铜力学性能和尺度效应的研究[J].金属学报,2007(12):1 245-1 250.[33]YANG B,MALL S,RAVI-CHANDAR K.A cohesive zone model for fatigue crack growth in quasibrittle materials[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(22):3 927-3 944.[34]BOUVARD J L,CHABOCHE J L,FEYEL F.A cohesive zone model for fatigue and creep-fatigue crack growth in single crystal superalloys[J].International Journal ofFatigue,2009,31(5):868-879.。

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科研热词本构模型岩石力学混凝土数值模拟应力-应变关系本构关系应力应变关系应力土力学动态再结晶损伤蠕变温度本构方程有限元应变软化应变堆石料含水率饱和黏土锈蚀软化试验研究耦合统一硬化模型流变应变速率应变率应力-应变曲线应力-应变岩石孔隙水压力大型三轴试验声发射塑性变形力学特性力学性能主应力轴循环旋转三轴试验高速切削颗粒流频率非线性超声非线性分析非线性陶瓷基复合材料
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
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ug有限元应力-单元和应力-单元-节点

ug有限元应力-单元和应力-单元-节点有限元应力分析是工程领域中一种常用的数值计算方法，可用于评估结构的应力和变形情况。

在ug有限元软件中，应力的计算主要基于单元和单元节点。

本文将详细介绍ug有限元应力-单元和应力-单元-节点的相关概念和计算方法。

在ug有限元分析中，将结构划分为若干个小的几何单元，用于离散化结构。

每个单元代表结构中的一个局部区域，可以是一维、二维或三维的。

根据结构的几何形状和应力分布特点，可以选择不同类型的单元。

常见的单元类型有线性单元、二次单元、六面体单元等。

在有限元分析中，应力是描述结构单位面积内各个方向力的分布情况。

根据虚功原理和位移-应力关系，可以通过计算单元节点上的位移和形状函数来得到应力的近似值。

具体计算方法可以采用基于应力-应变关系的理论，如背单元法、纯形法等。

3.单元节点单元节点是单元中的特定点，用于描述单元内部的状态和连接单元之间的关系。

在ug有限元软件中，可以通过设置单元节点的位移和边界条件来模拟结构的加载和约束条件。

通过计算单元节点上的位移和形状函数，可以得到单元内部的应力分布情况。

4.应力-单元-节点计算方法在ug有限元应力分析中，通过在结构上离散化生成单元，并根据输入的加载条件和边界条件，计算得到单元节点上的位移和形状函数。

进一步利用位移和形状函数，可以得到单元内部的应力分布情况。

通过对所有单元的应力进行合并和平均处理，可以得到整个结构的应力情况。

综上所述，ug有限元应力-单元和应力-单元-节点是一种常用的结构应力分析方法。

通过划分单元和计算单元节点上的位移和形状函数，可以得到结构的应力分布情况。

在ug有限元软件中，可以选择不同类型的单元和应力计算方法，以满足工程需求。

该方法在工程领域具有广泛的应用价值，可以帮助工程师评估和优化结构的强度和稳定性。

应力与应变分析课件

03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能。
解方程
通过加权残值法，求解方程中的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力可以分为多种类型，如正应力、剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程，如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数

有限元理论基础

(ANSYS 软件)的理论基础－基本方程，边界条件。

基本方程：描述应力状态的平衡方程描述应变状态的几何方程－－－－－有限元计算的核心思想。

描述应力应变关系的本构方程对应的边界条件。

2.1应力状态分析图2.1为单元体的应力状态。

图2.1 单元体的任一点的应力状态描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211σσσσσσσσσσij ，剪应力互等ji ij σσ=，六个独立分量单元体的静力平衡问题。

单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。

三维力的平衡微分方程：1312111=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ 0=+∂∂j i ij F x σ 0=∂∂i ij x σ2322212=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ0,=+j i ij F σ0,=i ij σ 03332313=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ j=1,2,3 j=1,2,3note: 1. σ11 在垂直x 轴平面的应力，在X 轴的分量。

2. F 为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。

F i 为I 轴的体力分量。

3.物体表面单位面积的面力T 三个分量为T x ,T y ,T z ,或T １,T ２,T ３,应力σ的三个分量σx ,σy ,σz 或σ1,σ2,σ3 应力边界条件：332313232221223121111σσσσσσσσσ++=++=++=T T T 3,2,1===i T T iji ji i σσ表达作用在物体表面单位面积丧的面力T 与物体内的应力分量之间的关系。

2.2 应变状态分析图2.2为单元体的应变状态。

图2.2单元体的一点的应变状态的张量描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211εεεεεεεεεεεεεεεεεεεzz zy zx yz yy yxxz xy xxij 与应力状态相似。

有限元分析

τ yz =τzy
τxy =τ yx， yz =τzy， zx =τxz τ τ
(1- 1)
应力分量
σ σ τ τ τ 可以证明：可以证明：如果 σx、 y、 z、 xy、 yz、 zx 这六个量点是已知的，在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力点是已知的和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，应力分量。它们就称为在该点的应力分量它们就称为在该点的应力分量。
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成物体是均匀的，
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数才不随位置座标而变。弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变而物体的弹性常数弹性模量和波桑系数才不随位置座标而变。
(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除物体是完全弹性的，
去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
[
]
1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、
弹性体在受外力以后，还将发生变形。弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变变形形状态，一般有两种方式来描述：形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。、给出各点的位移；、给出各体素的变形各体素的变形。各点的位移弹性体内任一点的位移，用此位移在、、三弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三位移个坐标轴上的投影u、、来表示来表示。个坐标轴上的投影、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。不是定值，而是坐标的函数。

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材料的性能
上海交通大学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
试验原理
F
力传感器荷载－位移图 F
引伸计
L
上海交通大学
SJTU

数据采集及放大
F
F A0
L L L0 L0 L0
应力－应变图

F
A0
F
L
断口
1 低碳钢拉伸
2
颈缩阶段－滑移线
上海交通大学
SJTU
低碳钢（受拉）
铸铁（受压）
混凝土（受压）
铸铁（受拉）
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
胡克定律
2
线弹性应力－应变关系－广义虎克定律
2.1
胡克定律（Hooke’s Law－1676）
p

单向拉压
y
x

x

x

y
z
z
上海交通大学
SJTU
x
z
z

1 x
x
E
线应变 x : 同样可以得到y 和 z
2 2 x y
y
E 3 x z3 z E
1 x 2 x 3 x
x
x ( y z )
SJTU
冷作时效－预加塑性变形，卸载，经过一段时间再加载使材料的比例极限或弹性极限还有所提高的现象。
O
O'

精确测量表明，强化阶段卸载再加载并不严格沿直线进行，而有一机械迟滞迴线，表示能量损耗。
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
延伸率和收缩率
1.4
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，立即再加载
A O ' A D H
b

A
A
A D”
D
H
弹性迟滞环（能量耗损）
上海交通大学
SJTU

冷作硬化－经过塑性变形，使材料比例极限或弹性极限提高、塑性降低的现象。
b

上海交通大学
SJTU
2 无屈服、强化和局部变形现象，衡
量其强度的唯一指标是强度极限。
3 受拉直至断裂，变形很小，横截面
o

的大小几乎无变化。
0.4 ~ 0.5%
典型脆性材料
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
其他塑性材料的拉伸 1.7 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为
衡量材料塑性变形能力的指标
材料的塑性:材料经受较大塑性变形而不破坏的能力。其度量如下: 延伸率
(Percent Elongation)
上海交通大学
SJTU

L f L0 L0
100%
试件断裂时的残留变形
Af
Lf
断面收缩率

A0 A f A0
(Percent Reduction in Area)
上海交通大学
SJTU
与低碳钢拉伸时力学行为类似的塑性材料，如 16 锰钢， 50 钢，以及一些高强度低合金钢等。另一些塑性材料，如青铜等，则无明显的屈服阶段。
(MPa)
锰钢
800 600 400 200
镍钢 16锰钢青铜
(%)
0 10 20 30
材料力学 Mechanics of Materials
SJTU
材料试验机 Ziwek, MTS, INSTRON
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
1
材料的机械性能
1.1
(Mechanical Properties of Materials) (Tension and Compression Test)
O
O'

材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
卸载再加载（Unloading，Reloading）荷载逐渐卸至零，经过一段时间后再加载
A O ' A D
b

A
A
A D”
D
H
弹性迟滞环（能量耗损）
上海交通大学
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
材料的性能
1
材料的机械性能
1.1
(Mechanical Properties of Materials) (Tension and Compression Test)
材料拉、压试验
试验条件：常(室)温准静态加载上海交试验设备通大学
b 390MPa S 235 MPa
SJTU
S e B C p A
E
H
o

拉伸应力－应变图
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢拉伸
1.2
低碳钢拉伸时的力学性能
b
2 屈服阶段 (BC段)

S e B C p A
屈服极限 (Yielding Stress) S

p 时，应力与应线弹性阶段，变成比例。
E
E
上海交通大学
SJTU
纯剪切应力状态下，线弹性阶段， p 时，切应力与切应变成比例。
o

p

G

G
G
剪切弹性模量（Shear Modulus)
Robert Hooke－England Scientist
延伸率较小
Lf
5%

典型塑性材料
Q235钢 25 ~ 30 %
60%
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
泊松比
1.5
横向变形系数－泊松比（Poisson’s Ratio)
R R0
拉伸时，轴向伸长，横向收缩。
压缩时，轴向收缩，横向膨胀。轴向

p
e
A
E
A
近似实际
上海交通大学
SJTU
o

e
e
o
E
o
弹性应变
p
e

材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
低碳钢性能
低碳钢卸载、再加载时的力学行为卸载，再加载屈服、强化阶段内当荷载 S 逐渐卸至零时，部分变形恢复， e A p 部分变形残留。即：
E x 1 1 y x

1 z 1 x
x
E
z3
z
E
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
广义胡克定律
2.2
广义虎克定律
y y
(Generalized Hooke’s Law)
叠加原理（Principle of Superposition）
拉伸
R0
S D Poisson－French scientist
SJTU
不可压缩材料
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
铸铁的拉伸 1.6 铸铁（Gray Cast-Iron) 拉伸时的力学性能 1 应力与应变无明显的线性关系，通常弹性模量E 以规定总应变对应的割线斜率来近似度量－割线弹性模量。
材料力学 Mechanics of Materials
第四章应力－应变关系
压缩时的性能
1.8
低碳钢压缩时的力学性能
1 2

c p
t p
E E
c
t

c S
t S
c , t
S
压缩
拉伸
上海铸铁压缩时的力学性能交通受压缩时的强度极限和延伸率大比拉伸时大得多。学
SJTU
y
2 y
y
E
2 小变形

2 z
上海交通大学
SJTU
y y

x
x
x
x

2 y
y
E

1 x
x
E

3 x 3 z 3 y z3
z
z
E E

z
y
z
z
z
线应变 x , y , z
第四章应力－应变关系
其他塑性材料的拉伸 1.7 其它塑性金属材料拉伸时的力学行为
名义屈服应力
0.2
(MPa)
锰钢
800 600

镍钢 16锰钢青铜
上海交通大学
SJTU
E
E
p
o

400 200
0.2%
(%)
0 10 20 30
工程上，对无明显屈服极限的塑性材料，取残余或塑性应变为0.2％对应的应力，作为其屈服极限，称为名义屈服极限，记为0.2 。