应力与应变之间的物理关系
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
应力与应变间的关系
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
4应力与应变关系
§4－1 广义虎克定律
基本变形时的胡克定律
y
1）轴向拉压胡克定律 x E x 横向变形
x
x
y x
2）纯剪切胡克定律
x
E
G
物体中一点的应力状态用六个应力分量所确定，同一点 的应变状态用六个应变分量所确定。故应力与应变之间的关 系可以用下列解析形式的函数来表示 • 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy， yz， zx) y= y (x，y，z， xy， yz， zx) ……. zx= zx (x，y，z， xy， yz， zx)
可以得到：
x y z
x x (3 2 ) y z x 2 (3 2 )
xy yz zx 0
比较可以得到：
(3 2 ) E ; 2( ) E E ; (1 )(1 2 ) 2(1 )
y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx
z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx
xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx
yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx
对于正交各向异性体，由于对称 关系（正应力分量只产生线应变， 不产生剪应变）。因此，弹性矩阵 中的36个弹性常数中，有24个为0， 在剩下的12个只有9个是独立的。
应变和应力关系
新能源技术：利用应变和应力原理，优化风力发电机叶片设计，提高风能 利用率和发电效率。
机器人技术：通过研究应变和应力与机器人关节运动的关系，提高机器人 的灵活性和稳定性，拓展机器人的应用领域。
应变和应力对未来科技发展的影响
增强材料性能：通过深入研究应变和应力，可以开发出性能更强的新型材 料，为未来的科技发展提供物质基础。
智能制造：利用应变和应力的知识，可以优化制造过程中的材料性能，提 高生产效率和产品质量，推动智能制造的发展。
生物医学应用：在生物医学领域，应变和应力的研究有助于更好地理解和 控制人体生理机制，为未来的生物医学应用提供支持。
压痕法：利用压痕仪在物体表面压出一定形状的压痕，通过测量压痕的尺寸来计算应力
应变和应力的相互影响
应变和应力之间的关系：应变是应力作用下的物体形状变化，应力是抵抗变形的力。
应变和应力的测量方法：通过应变计和应力计进行测量，应变计测量物体变形，应力计测量物 体受到的力。
应变和应力的相互影响：应变和应力之间存在相互影响，例如在材料屈服点附近，应变和应力 之间会发生突变。
应力的概念
分类：正应力、剪应力、弯 曲应力等
定义：物体受到外力作用时， 内部产生的反作用力
单位：帕斯卡（Pa） 作用效果：使物体产生形变
应变和应力的关系
应变是物体形状 的改变，应力是 物体内部抵抗变
形的力
应变和应力之间 存在线性关系， 即应变正比于应
力
应变和应力之间 的关系可以用胡 克定律表示，即 应力=弹性模量
应变和应力关系
汇报人：XX
应变和应力的定义 应变和应力的测量方法 应变和应力的应用领域 应变和应力的研究进展 应变和应力的未来展望
关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系
弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力是应变的原因，应变是应力的结果。
应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。
对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。
极限应力值要通过材料的力学试验来测定。
将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。
材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。
我所认识的应力应变关系讲解
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
应力与应变间的关系
τ xy
右侧面
σx τ xz
x
γ xy
γ yz
γ zx
O
∠ xOy ∠ yOz
∠zox 。
z
σz
前面
2、各向同性材料的广义胡克定 、 律
(1)线应变的推导 线应变的推导 分别单独存在时, 在σx σy σz 分别单独存在时 x 方 依次为: 向的线应变 εx 依次为
x σ
z
x
x σ
εx ' =
σx
τ = Gγ
或
γ=
τ
G
τ γ γ τ
为剪切弹性模量，单位为N/m G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系 σx σy σz τ x y τ y z τ z x εx ε y ε z γ x y γ y z γ z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定 ） (a)三个正应力分量 拉应力为正 (a)三个正应力分量 三个正应力分量：拉应力为正
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 因此 该圆筒变形后的厚度并无变化 仍然为 t =10mm .
G G G
在线弹性范围内, 小变形条件下, 在线弹性范围内 小变形条件下 各向同性材料。 各向同性材料。
1 εx = σx ν (σ y +σz ) E 1 E
[
]
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 在线弹性范围内 小 变形条件下, 变形条件下 各向同性材 料。
ε y = [σ y ν (σz +σx )]
ν ν ε z = (σ x + σ y ) = (τmax + τmax ) = 0 E E
同理可得,圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 该点到圆筒横截面中心的距离为ρ 同理可得 圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为ρ) 处 的径向应变为
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
应力与应变间的关系
210 × 10 9 = ( − 160 + 0 .3 × 240 ) × 10 − 6 = − 20 .3MPa 1 − 0 .3 2 6
∴σ 1 =44 .3 MPa ;σ 2 =0;σ 3 = − 20 .3MPa ;
0.3 ε 3 = − (σ 3 + σ 1 ) = − ( − 22.3 + 44.3) × 10 6 = − 34.3 × 10 − 6 E 210 × 10 9 实 际上 从排 序的 角度 来 看是 求得 ε 2
µ
注意:主应力和主应变的方向是相同的 注意 主应力和主应变的方向是相同的. 主应力和主应变的方向是相同的
2011-11-30
7
§7-4 应力与应变间的关系
一、单拉下的应力--应变关系 单拉下的应力--应变关系 -y
σx
εx=
σx
E
ε y =− σ x
E
γ ij ≈ 0 (i,j = x,y,z )
µ
ε z =− σ x
E
µ
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系 纯剪的应力--应变关系 --
γ xy =
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τ xy
1 − 2µ θ = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) E 1 − 2µ = (σ x + σ y + σ z ) E
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3(1 − 2 µ ) (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) σ m θ = = E 3 k 体积胡克定律， k 为体积弹性模量，
σ m 是三个主应力的平均值
所以， 所以，该点处为平面应力状态
′ σ2
E [ε 1 + µε 2 ] ∴σ 1 = 2 1− µ 210 × 10 9 = ( 240 − 0 .3 × 160 ) × 10 − 6 = 44 .3MPa 1 − 0 .3 2
第四章 应力和应变的关系
引入记号：
δ W = σ xδε x + σ yδε y + σ zδε z + τ xyδγ xy + τ yzδγ yz + τ zxδγ zx
则有
δ V = ∫∫∫ δ Wdτ
第二节 弹性变形过程中的能量 对于W的全微分，由于能量的单值性：
dW = σ x d ε x + σ y d ε y + σ z d ε z + τ xy d γ xy + τ yz d γ yz + τ zx d γ zx
则
δU 2 = ∫∫∫
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + ∂y ∂z ∂x ∂δ ∂τ ∂τ δu + yz + y + yz ∂x ∂y ∂z ∂τ ∂τ ∂σ z δv + zx + zy + δw dτ ∂x ∂y ∂z
第二节 弹性变形过程中的能量 由平衡方程： σ ij , j + X i = 0 又由 ∂δu = δ ∂u = δε x ; ∂δv + ∂δu = δ ∂v + ∂u = δγ xy
∂x ∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
则
δ U1 + δ U 2 = ∫∫∫ σ xδε x + σ yδε y + σ zδε z + τ xyδγ xy + τ yzδγ yz + τ zxδγ zx dτ
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f 3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f 5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
固体力学中的材料应变和应力关系
固体力学中的材料应变和应力关系固体力学是研究物体在受力作用下的形变和力学性能的学科。
在固体力学中，材料的应变和应力关系是一个重要的研究内容。
应变是物体在受力作用下发生的形变程度，而应力则是物体在受力作用下所产生的内部分子间的力。
材料的应变和应力关系可以用应力-应变曲线来表示。
应力-应变曲线是通过对材料进行拉伸或压缩试验得到的。
在拉伸试验中，材料在受到外力拉伸后会发生形变，形变的程度可以通过应变来表示。
应变可以分为线弹性应变、非线弹性应变和塑性应变等不同类型。
线弹性应变是指材料在受力作用下，应变与应力之间呈线性关系的情况。
在这种情况下，材料的应力-应变曲线呈直线，斜率代表了材料的弹性模量。
弹性模量是材料抵抗形变的能力的量度，可以用来描述材料的刚度。
不同材料的弹性模量不同，可以通过对材料进行拉伸试验来测定。
非线弹性应变是指材料在受力作用下，应变与应力之间呈非线性关系的情况。
在这种情况下，材料的应力-应变曲线呈曲线形状，不再是直线。
非线弹性应变通常是由于材料的微观结构发生变化导致的，比如晶体的滑移和位错运动。
非线弹性应变的研究对于了解材料的变形行为以及材料的强度和韧性具有重要意义。
塑性应变是指材料在受力作用下，形变不可逆的情况。
当材料的应力超过一定的临界值时，材料会发生塑性变形，形变不会随着外力的消失而恢复原状。
塑性应变是材料的塑性变形特性，可以通过对材料进行压缩试验来研究。
塑性应变的研究对于了解材料的可塑性、延展性和可加工性具有重要意义。
除了应力-应变曲线，材料的应变和应力关系还可以通过材料的本构关系来描述。
本构关系是指材料的应力与应变之间的函数关系。
常见的本构关系有线弹性本构关系、非线弹性本构关系和塑性本构关系等。
不同的材料具有不同的本构关系，可以通过对材料进行试验来确定。
总之，固体力学中的材料应变和应力关系是一个复杂而重要的研究内容。
通过对材料进行拉伸、压缩等试验，可以得到材料的应力-应变曲线，进而了解材料的弹性、塑性等性能。
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
应力和应变之间的关系
应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项
弹塑性力学04应力和应变关系汇总
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。
1. 应变能弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变旳关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料旳弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变旳关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变旳关系
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料旳广义胡克定律 （1）符号要求
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上旳压应力为
y
P A
300 103 0.12
y x
30MPa
x
(b) Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2
应力与应变间的关系
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
体积应变和最大剪应力分别为
1 2
E
(1
2
3)
1.95 104
max
1 2
(1
3
)
7.25MPa
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy
G
yz
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系.
应变,就是物体受到外力而产生的局部或全部物理状态变化的现象。
如面团,轻微压一下再松手 ,面团可以恢复原状,如弹簧,在-定拉力或压下,弹簧长度发生变化，去掉这个力, 弹簧恢复原状。
但是,如果这个大了,团不能恢复原状,弹簧也同样不能恢复原状。
应变=单位度伸或缩短量。
励=单位面积所用力。
按照你说的应变与位移,应该与弹簧或具有弹性的物体有关。
这样来说，弹簧的应变就能够计算到位移。
虎克定律。
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系
流体力学是研究流体运动和相应物理现象的学科。
在研究流体运动时，我们需要了解流体的应力和应变关系，以便更好地理解流体的运动和行为。
在流体中，应力可以定义为单位面积上的力。
流体的应力主要分为两种类型：正应力和剪应力。
正应力是垂直于单位面积的力，通常表示为P，而剪应力是沿着单位面积方向的力，通常表示为τ。
应变表示单位长度的变化。
在流体学中，应变通常使用拉伸应变来描述，它表示单位长度的变化。
拉伸应变可以定义为单位长度的变化与初始长度之比。
简单来说，它代表了流体的形变。
在流体力学中，我们可以使用帕斯卡定律来描述流体的应力和应变关系。
帕斯卡定律指出，当施加力于一个封闭的流体中时，这个流体会均匀地传递这个力。
这意味着，在一个封闭的流体中，应力是均匀分布的，而应变是与应力成比例的。
总的来说，流体力学中的应力和应变关系是非常重要的，因为它们可以帮助我们更好地理解流体的行为和运动。
理解这些关系可以帮助我们更好地设计流体系统和解决流体问题。
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