利用MATLAB进行复变函数的主要运算

利用MATLAB进行复变函数的主要运算

摘要

复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.

本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.

关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换

1.复数的生成：

Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);

2.复数的运算：

Real（z）imag（z）；

3．共轭复数

复数的共轭可由函数conj 实现。调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角

5．复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。

6．复数的平方根

复数的平方根运算由函数sqrt实现。调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。7．复数的幂运算

复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。

8.复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。

9．复数方程求根

复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。

10.留数

在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数

Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数

Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数

11. taylor 泰勒级数展开

taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个附加参数。 taylor( f , n) 返回 1-n 次幂多项式。

taylor( f , a) 返回 a 点附近的幂多项式近似。

taylor(r, x) 使用独立变量代替函数 findsym( f )。

12. Fourier 变换

Fourie 积分变换 F=fourier(f)返回以默认独立变量x 对符号函数f 的 Fourier 变换，默认返回 w 的 函数。

如果 f (w)=f ，则 fourier 函数返回 t 的函数 F=F(t) 。定义 F( w )int(f( x inf,inf),-i *w* x), x,-)*exp( 为对 x 的积分。 =13 F fourier ( f ,v) 以 v 代替默认值 w 的 Fourier 变换，且有 fourier ( f ,v) 等价于 F ( v) = int inf,inf)。

13. Laplace 变换

Laplace 变换 laplace(F)=L 返回以默认独立变量 T 对符号函数 F 的 Laplace 变换。

函数 返回默认为 s 的函数。如果 F(s)=F ，则 Laplace 函数返回 t 的函数 L(t)=L 。

其中定义 L 为 对 t 的积分 t), 0, inf) 。*s -exp(* int(F(t)=L(s)

laplace(F, t)=L 以 t 代 替 s 的 Laplace 变 换 。 laplace(F, t) 等价于 x), 0, inf ) 。

*t -exp(* int(F(x)=L(t) laplace(F, w, z)=L 以 z 代替 s 的 Laplace 变换相对于 w 的积分）。 laplace(F, w, z) 等价于 w), 0, inf) 。*z -exp(* int(F(w)=L(z)

14. 复变函数图形绘制

设有z=x+iy ,w = f(z) =u(x,y) + iv(x,y).所学知识可知绘制复变函数的图形，需要四维空间才能满足.为了避免这一困难，借用两张复平面：z 平面与w 平面点集间的对应关系来来描述复变函数.

做圆周z =5在

映射5

3z z +

=ω下的象.