利用MATLAB进行复变函数的主要运算
利用MATLAB进行复变函数的主要运算
利用MATLAB进行复变函数的主要运算摘要复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换1.复数的生成：Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);2.复数的运算：Real（z）imag（z）；3．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角5．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
6．复数的平方根复数的平方根运算由函数sqrt实现。
调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。
7．复数的幂运算复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。
8.复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。
9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
10.留数在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数11. taylor 泰勒级数展开taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。
matlab 复变函数
matlab 复变函数一、介绍MATLAB是一个非常强大的数学软件，可以处理各种复杂的数学问题，包括复变函数。
复变函数是一种在复平面上定义的函数，它可以用来描述许多物理和工程现象。
因此，MATLAB提供了许多功能强大的工具来处理和分析复变函数。
二、基本概念1. 复平面复平面是由实部和虚部组成的平面。
在MATLAB中，可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。
其中x表示实部，y表示虚部。
2. 复变函数复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。
在MATLAB中，可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。
3. 解析性解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。
如果一个函数在某个点处存在导数，则称该点为解析点。
4. 共轭共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 模长模长是指一个复数到原点距离。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
三、常用操作1. 绘制图形绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB 中，可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。
2. 计算导数计算导数是分析复变函数的重要操作之一。
在MATLAB中，可以使用diff函数来计算复变函数的导数。
3. 计算积分计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用integral函数来计算复变函数的积分。
4. 计算共轭计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 计算模长计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
四、常用工具箱1. Symbolic Math ToolboxSymbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。
它提供了许多功能强大的工具来处理和分析符号表达式。
复变函数实验课(一)
湖北民族学院理学院2014年春季学期数学与应用数学专业复变函数实验课（一）计算部分上课教师：汪海玲Matlab中复变函数命令集定义符号变量Syms虚单位z=Sqrt(-1)复数表示z=x+y*i指数表示z=r*exp(i*a)求实部Real(z)求虚部Imag(z)求共轭Conj(z)求模Abs(z)求幅角Angle(z)三角函数z=sin(z)z=cos(z)指数函数z=exp(z)对数函数z=log(z)幂函数z=z^a解方程expr=‘方程式’;Solve(expr)泰劳展开Taylor(e,z)求留数[r,p,k]=residue(p,q)傅立叶变换Fourier(e,z,w)逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z)拉普拉斯变换Laplace(e,w,t)逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)一复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real返回复数x的实部(x)(ximag返回复数x的虚部)2．共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj返回复数x的共轭复数(x)3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs复数x的模)(xangle复数x的辐角)(x上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1.4．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式)sprt返回复数x的平方根值(x6．复数的幂运算x^，结果返回复数x的n次幂。
复数的幂运算的形式为n上机操作：课本例题1.87．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x返回复数x的以e为底的指数值)log(x返回复数x的以e为底的对数值)上机操作：课本例题2.17、 2.188．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式【实验目的】1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件【实验内容】MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式【实验步骤】1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令3．运行，可以直接回车键，F5键【注意事项】1．命令的输入要细心认真，不能出错2．尤其是分号，逗号等符号的区别3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号【实验操作内容】以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限用函数limit 求复变函数极限【Matlab 源程序】syms zf=;limit(f,z,z0) 返回极限结果例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(12、 MATLAB 求复变函数微分用函数diff 求复变函数极限【Matlab 源程序】zz z f sin )(=i z +=1,0f=（）;diff(f,z) 返回微分结果解 syms zf=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)3、 MATLAB 求复变函数积分用函数int 求解非闭合路径的积分.【Matlab 源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：例 3 求积分 π60i i 0x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设()()z f z z e z f z'+=求,sin 1)(x2 = -i/exp(i)4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点说明：向量B 为f(z)的分子系数；向量A 为f(z)的分母系数；向量R 为留数；向量P 为极点位置；向量k 为直接项:例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：R= 2P = -1K = 1 -15、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式【Matlab 源程序】112++z zf=Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans =1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】syms x y; f=();F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.例6 求函数222==-z f x y x x e---(,)(2)x y xy在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans =-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*xmaple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans =-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。
实验一MATLAB计算复积分和留数
实验一MATLAB计算复积分和留数复积分是对于二重积分或多重积分的进一步延伸，通过引入复数域，可以将积分的范围从实数域扩展到复数域。
留数理论是对于复变函数的一种重要工具，它用于计算闭合曲线内的奇点的积分值。
在MATLAB中，可以使用复积分和留数函数来计算复积分和留数。
首先，我们介绍复积分的计算方法。
在MATLAB中，可以使用int函数来计算复积分。
int函数的一般形式为：z = int(fun, a, b)其中，fun是对应的被积函数，a和b分别是积分的下限和上限。
下面我们以计算复数域内的复积分为例进行说明。
假设我们要计算下面的复积分：∫(1/z)dz其中，积分路径为从复平面上的点1到点-1、在MATLAB中，可以使用int函数完成计算：syms zfun = 1/z;a=1;b=-1;res = int(fun, a, b)上述代码中，我们首先定义了被积函数fun，并指定了积分的下限a和上限b。
然后使用int函数进行计算，并将结果保存在res变量中。
代码运行后，可以得到res的值，即复积分的结果。
接下来，我们介绍留数的计算方法。
在MATLAB中，可以使用residue函数来计算留数。
residue函数的一般形式为：[r, p, k] = residue(b, a)其中，b和a分别是分子和分母的多项式系数。
下面我们以计算函数(1/z^2)的留数为例进行说明。
假设我们要计算函数(1/z^2)在z=0处的留数。
在MATLAB中，可以使用residue函数完成计算：b=[01];a=[100];[r, p, k] = residue(b, a)上述代码中，我们首先定义了多项式分子b和分母a的系数。
然后使用residue函数进行计算，并将结果保存在r、p和k变量中。
r对应留数的向量，p对应极点的向量，k对应常数项。
代码运行后，可以得到r、p和k的值，即留数的结果。
综上所述，我们介绍了在MATLAB中计算复积分和留数的方法和函数。
MATLAB学习（4）——复数及其运算
MATLAB学习（4）——复数及其运算MATLAB学习(4)——复数及其运算复数及其运算A)复数的表⽰(1).x=a+bi,其中a称为实部，b称为虚部(2)或写成复指数的形式：x=re^(iθ)其中r称为复数的模，⼜记为 |x| ；θ称为复数的幅度，⼜记为Arg(x) 。
且满⾜r=√(a^2+b^2) ,tanθ=b/a第⼀种⽅式适合处理复数的代数运算，第⼆种⽅式适合处理复数旋转等涉及幅⾓改变的问题复数的构造：(1)直接构造法将复数看做完整的表达式输⼊例：x1=-1+i%实部虚部形式x2=sqrt(2)*exp(i*(3*pi/4))%复指数形式(2)符号函数构造法将复数看做函数形式，将实部和虚部看做⾃变量，⽤syms来构造，⽤subs对符号函数中的⾃变量赋值例:syms a b real%声明a b为实数型x3=a+b*i%实部虚部形式复数的符号表达subs(x3,{a,b},{-1,1})%代⼊具体值syms r ct real;%声明r ct为实数型x4=r*exp(ct*i);%复指数形式复数的符号表达subs(x4,{r,ct},{sqrt(2),3*pi/4})%代⼊具体值以上例⼦中复数均为 -1+1i复数矩阵的构造：(1)由复数元素构造例：a1=[sqrt(2)*exp((pi/4)*i) 1+2i 1+3i;sqrt(2)*exp((-pi/4)*i) 1-2i 1-3i](2)由实矩阵构造例:a2re=[1 1 1;1 1 1];%实部实矩阵a2im=[1 2 3;-1 -2 -3];%虚部实矩阵a2=a2re+a2im*i%由实矩阵构造以上两例中的复数矩阵均为1.0000 + 1.0000i 1.0000 +2.0000i 1.0000 +3.0000i1.0000 - 1.0000i 1.0000 -2.0000i 1.0000 -3.0000iB)复数的绘图(1)直⾓坐标图plot函数(2)极坐标图Polar函数调⽤格式：polar(theta,rho)其中theta为极坐标极值,rho为极坐标⽮径例：做出y=t+i*rsin(t) 的坐标图t=0:0.01:2*pi;y=t+i*t.*sin(t); %直⾓坐标表⽰r=abs(y);delta=angle(y);%极坐标表⽰subplot(2,1,1)plot(y)%绘制直⾓坐标图title('直⾓坐标图');subplot(2,1,2)polar(delta,r)%绘制极坐标图title('极坐标图')C)复数的操作函数常⽤矩阵分解函数转⾃博客：。
复变函数的matlab解法探究
科教论坛科技风2020年12月DOC10.19392/kl1671-7341.202034015复变函数的matlab解法探究张春玲魏永亮3冯贵平上海海洋大学海洋科学学院上海201306摘要：结合海洋数学物理理论知识基础，运用matlab编程软件，在学生掌握了理论解法的基础上，利用计算机来实现理论问题的快速自动解法，使学生更好地理解所学的知识，并采用师生互动和同学之间相互讨论的形式，有效地将理论与实际相结合。
关键词：复变函数;matlab;仿真技术;快速求解中图分类号：013海洋数理基础是海洋科学专业的必修课,也是学生们普遍感觉题目难度大，求解繁琐，不易理解的一门专业课⑴。
其中复变函数又是数学理论的一个重要分支,在实际教学过程中，手工解题过程耗时耗力，计算效率低，学生即使能够通过繁琐的计算，得出理论解，也很难直观地理解解的分布及物理意义。
MatGb编程软件具有强大的数值计算能力和卓越的可视化能力，随着信息技术的发展，越来越多地被应用到各个行业⑵&而且，该软件是海洋数据处理的主要工具之一，对于海洋科学专业的学生，学会利用Malb求解海洋数理方程是一个必要的技能"3E#&因此,本文以复变函数论几个典型的例子为例，探究MaGb编程软件在求解海洋数理方程的便利。
1复变函数的Matlab解法1.1求复数的实部、虚部、模、辐角主值、共轭复数女口，利用Matlab求解复数(辔),(槡3+2-的实部、虚部、模、辐角主值、共轭复数。
实验代码如下：a=((3+43i)/(1-23i))S；b=(sqrt(3)+i)S-3)；ars=real(a)；brs=re a1(b)；aim二imaa(a)；bini二imaa(b)；am二abs(a)；bm=abs(b)；aang=angla(a)；bang=angla(b)；ag=co n j(a);b g=conj(b);1.2求解复数方程利用Matlab求解复数方程34+54=0。
Matlab中的复数运算基础教程
Matlab中的复数运算基础教程引言：在科学计算和工程领域中，复数运算是一项非常重要的技术。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了灵活而高效的复数运算工具。
本文将介绍Matlab中的复数运算基础知识，涵盖了复数的表示、基本运算、共轭和幅角的计算等。
1. 复数的表示复数是由实数和虚数组成的数。
在Matlab中，复数可以用a + bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部。
例如，3 + 2i就是一个复数。
在Matlab中，可以直接输入复数，例如：z = 3 + 2i;这样就定义了一个复数变量z。
2. 基本运算Matlab中的复数运算基本与实数一致。
支持加法、减法、乘法和除法等运算。
例如，可以使用"+"运算符计算两个复数的和：z1 = 3 + 2i;z2 = 1 + 4i;z = z1 + z2;这样，z的值将是4 + 6i。
3. 共轭运算在复数运算中，共轭运算是一个重要的概念。
复数的共轭是将虚部的符号取反得到的结果。
在Matlab中，可以使用conj函数对复数进行共轭运算。
例如：z = 3 + 2i;w = conj(z);这样，w的值将是3 - 2i。
4. 幅角运算在复数的表示中，幅角是指复数与正实轴之间的夹角。
在Matlab中，可以使用angle函数计算复数的幅角。
angle函数的结果以弧度形式表示。
例如：z = 3 + 2i;theta = angle(z);这样，theta的值将是0.5880弧度。
5. 赋值运算在进行复数运算时，经常需要将结果赋值给一个变量。
在Matlab中，可以使用等号将计算结果赋值给一个变量。
例如：z1 = 3 + 2i;z2 = 1 + 4i;z = z1 + z2;在这个例子中，z1和z2分别是两个复数，将它们相加的结果赋值给z。
6. 数值计算与绘图Matlab中的复数运算不仅支持基本的数值计算，还能与绘图功能结合。
通过使用plot函数和复数运算，可以绘制出复平面上的曲线。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用【摘要】MATLAB在复变函数教学中扮演着重要的角色。
本文首先介绍了MATLAB在教学中的重要性和复变函数教学的特点，然后详细探讨了MATLAB在复变函数图像绘制、数值计算、符号计算、实例分析和数据分析中的应用。
通过这些具体案例，可以看出MATLAB在复变函数教学中的多方面作用。
文章总结了MATLAB在复变函数教学中的重要性，并指出MATLAB的应用提升了教学效果。
未来，MATLAB在复变函数教学中的应用还有待进一步探索和提升，可以为学生提供更加直观、灵活和高效的学习体验。
MATLAB的应用有望在复变函数教学中取得更大的突破和发展。
【关键词】MATLAB, 复变函数, 教学, 图像绘制, 数值计算, 符号计算, 实例分析, 数据分析, 教学效果, 未来发展。
1. 引言1.1 MATLAB在教学中的重要性MATLAB在复变函数教学中不仅可以提高学生的学习效率，还能够拓展他们的数学思维和计算能力。
将MATLAB作为教学工具引入复变函数课程中，对于学生的学习和发展具有重要意义。
1.2 复变函数教学的特点复变函数是数学分析中的一个重要分支，包括解析函数、共轭函数、共轭解析函数等概念。
复变函数教学在数学及工程类专业中占据着重要的地位，因为它涉及到很多实际问题的解决办法，如电路分析、信号处理、图像处理等。
复变函数的特点主要表现在以下几个方面：1. 抽象性高：与实数函数不同，复变函数的定义域和值域都是复数集合，这使得复变函数的概念和性质更加抽象和深奥。
学生往往难以直观理解复变函数的含义和应用。
2. 几何意义强：复变函数可以看作平面上的点在复平面上的映射，而复平面是由实数轴和虚数轴组成的，因此复变函数的图像常常与平面几何有关，如曲线、区域、奇点等概念在复变函数中具有重要意义。
3. 计算方法多样：复变函数的计算方法包括解析计算、数值计算、符号计算等多种方式，学生需要掌握多种计算方法，并能灵活运用于实际问题中。
实验六、利用MATLAB计算复变函数在孤立奇点处的留数及进行复积分
实验六、利用MATLAB 计算复变函数在孤立奇点处的留数及进行复积分计算一、本实验教学的作用：熟悉MATLAB 基本命令与操作，利用MATLAB 计算复变函数在孤立奇点处的留数；利用MATLAB 计算围线积分。
通过实验具体操作，培养学生综合实践能力。
二、本实验教学目的及学生能力标准：会利用MATLAB 计算复变函数在孤立奇点处的留数；会利用MATLAB 计算围线积分。
三、实验内容：四、相关知识1.在孤立起点处的留数----通过求极限的方法计算留数假设已知奇点α和重数m 则用下面的MATLAB 语句求出相应的留数B=limit(F*(z-α),z, α) 单奇点B=limit(F*(z-α)*m ,z,m -1)/prod(1:m-1),z,α m 重奇点例1 计算z e z z z z f 23)3cos()1(1)(-+-=π在孤立起点处的留数 解 函数)(z f 在0=z 是三重奇点，在1=z 是简单奇点>>syms z>>f=cos(z+pi/3)*exp(-2*z)/z^3*(z-1);>>limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1;2),z,0);>> limit((f*(z-1),z,1)ans=-1/4-1/2*3^(1/2)1/2*exp(-2)*cos(1)-1/2*3^(1/2)*exp(-2)*sin(1)学生练习1 计算z e z z z z f 23)3sin()1(1)(-+-=π在孤立起点处的留数 提示 函数)(z f 在0=z 是三重奇点，在1=z 是简单奇点>>syms z;>>f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/z^3*(z-1);>>limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1;2),z,0);>> limit((f*(z-1),z,1)ans=-1/4*3^(1/2)+1/2-1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*3^(1/2)*exp(-2)*cos(1)例2 计算3542)(zz i z z f ++=在孤立起点处的留数 解 函数)(z f 在0=z 是三重奇点，在i i z 2,2-=是简单奇点>>syms z;>>f= (z+2*i3) /z^5+z^3);>>limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1;2),z,0);>> limit((f*(z-2*i),z,2i)>> limit((f*(z+2*i),z,-2i)ans=i/8-i/8例3 计算函数1)(2-=z e z f z在∞=z 处的留数 解 函数)(z f 在扩充复平面有三个极点：∞-=,1,1z>>syms z>>z1=exp(z)/(z^2-1);>>B1=limit(z1*(z-1),z,1)>>B2=limit(z1*(z+1),z,-1)>>B=B1+B2ansB1=1/2*exp(1)B2=-1/2*exp(-1)B=1/2*exp(1)-1/2*expp(-1)学生练习2 计算函数4sin )(zz z z f +=在0=z 处的留数 提示 函数)(z f 在0=z 是四重奇点>>syms z;>>f= (sin(z)+z)/z^4;>>limit(diff(f*z^4,z,3)/prod(1;3),z,0);ans=-1/6学生练习3 计算下列函数在奇点处的留数：（1） z z z 212-+ （2）14-z z 解 在Matlab 命令窗口键入：>> [r1,p1,k1]=residue([1,1],[1,-2,0])r1 =1.5000-0.5000p1 =2k1 =[ ]>> [r2,p2,k2]=residue([1 0],[1 0 0 0 -1])r2 =0.25000.2500-0.2500 + 0.0000i-0.2500 - 0.0000ip2 =-1.00001.00000.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000ik2 =[ ]反之：>> [B,A]=residue([0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500],[-1 1 i -i],[])B =0 0 1 0A =1 0 0 0 -12.求积分2.1 非闭合路径的积分非闭合路径的积分，用函数int 求解，方法同微积分部分的积分。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用作者：韩英李雁飞汪贤华弓亚鑫舒心来源：《科技资讯》 2014年第32期韩英1 李雁飞2 汪贤华1 弓亚鑫2 舒心2(1.北京石油化工学院数理系;2.北京石油化工学院信息工程学院北京 102617)摘要:复变函数课程的理论比较枯燥。
论文设计了MATLAB软件在复变函数教学中的几个典型案例,将MATLAB引入课堂教学,通过数学实验,让学生感受“看得见”的数学,使得复变函数的理论学习达到事半功倍的效果。
关键词:MATLAB 复变函数泰勒级数洛朗级数中图分类号:O174.55 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2014)11(b)-0121-03“复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课,该课程理论性强、内容抽象,工科学生普遍感到学习困难。
为了解决这个问题,我们在复变函数的教学中引入MATLAB实践内容,使得复变函数的教学理论与实验相结合,教与学相结合,引导学生利用软件对教学内容进行仿真,激发其学习积极性与主动性,提高其对于复变函数内容的理解。
该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。
通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验,达到传统理论教学无法实现的效果。
1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算复数的表示式突出三角表示法和指数表示法,而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂,利用MATLAB可以把复数的实部,虚部,共轭复数,辐角,模等利用简单的命令求出。
解:在MATLAB工具窗输入以下矩阵A=[((1+i)*(2-i)^2*(3-i)^3)/((3+4)^4*(2+i)^5) i^i i^(2^1/2) (-8)^(1/3) log(1+i)]A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+0.7854i>>real(A)-0.0016 0.20791.00000.3466>> imag(A)ans = 0.00051.00001.73210.7854>> angle(A)ans = 2.85781.57081.04721.1552>> abs(A)ans = 0.00170.20791.00002.00000.8585>> conj(A)ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i用MATLAB可直接计算出复数的四则运算和初等函数的值。
用MATLAB复变实践函数展开及留数
1
当分母出现 s b s c s a1 s
m p n
n 1
an 的情况时，只需先对 s b m 和
s c p 分别展开，之后利用 conv 进行多项式乘积，再与 s n a1 s n1 an 的系数求和
即可。 当 f z 是有理分式的情形时，可以使用 Matlab 中的函数 residue，巧妙的运用该函数，可 以求出有理分式的留数。当 f z 的形式不是有理分式时，求函数在极点 z 0 处的留数方法只 能是先判断极点的重数，然后利用 Matlab 的符号运算功能进行计算。 2. 利用留数计算公式求留数 例3：求出函数 f z
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5 下面的程序画出了指数函数 e z 及其泰勒展式的图形： subplot(1,2,1); z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,exp(z)) title('复变函数 e^z 的图形') subplot(1,2,2); w=1;u=1; for k=1:15 u=u.*z./k; w=w+u; end cplxmap(z,w) title('e^z 泰勒展式的图形')
Matlab在复变函数中应用
Matlab在复变函数中应⽤MATLAB在复变函数中的应⽤复变函数的运算是实变函数运算的⼀种延伸，但由于其⾃⾝的⼀些特殊的性质⽽显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引⼊了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后⽽使其显得更为重要了。
使⽤MATLAB来进⾏复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应⽤的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的⽣成在MATLAB中，复数单位为)1ji，其值在⼯作空间中都显⽰为=sq rt=(-0+。
.1i00001.1 复数的⽣成复数可由iz+=。
a=语句⽣成，也可简写成biaz*+b另⼀种⽣成复数的语句是)exp(ithetar=，也可简写成)=，*irz*其中theta为复数辐⾓的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的⽅法有两种。
（1）如同⼀般的矩阵⼀样以前⾯介绍的⼏种⽅式输⼊矩阵例如：)]iA**ii=+3[i*-+*,),235336exp(23,exp(9im=；)2,3(rand]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i ii ++++++注意实、虚矩阵应⼤⼩相同。
2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调⽤形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调⽤形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3．复数的模和辐⾓复数的模和辐⾓的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调⽤形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐⾓例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐⾓（1）i231+ （2）i i i --131 （3）ii i 2)52)(43(-+（4）i i i +-2184由MATLAB 输⼊如下：]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=.0--i ---50002308.30000i0000i.3.1i500013.0000real%实部)(aans=0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000 imag%虚部(a)ans=–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.00000.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i 1.0000+3.0000i abs%模(a)ans=0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle%辐⾓)(aans=–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
用matlab计算复变函数的积分
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例3
解析推导
Matlab计算
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例4
解析推导
matlab计算 n为0时 结果为2πi
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n为其它整数时，结果为零
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例5
解析推导
Matlab计算
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例6
解析推导 Matlab计算（参数积分）
Matlab计算（留数定理）
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例6
也可用matlab的 residue函数 求留数
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例10
解析推导结合Matlab求留数(用limit和diff函数，或用residue函数)
Matlab计算(参数积分)
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例11
方法一：用matlab求留数和极点，再通过留数求和计算积分
方法二：用matlab直接积分
在复平面上选取实轴和上半圆弧作为
闭合围道，包围的极点为 i 和 3i， 由于在上半圆弧上的积分为零，因此
当t= -3时做积分
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例13
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例14
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用matlab协助 求留数：
若把它当作更高阶极点对待求留数，结果一样
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用matlab验证这个级数求和，结果一致
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例15
先来计算 这部分积分
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用matlab计算复变函数的积分
张宏浩
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例1
matlab中如何处理复数,matlab中复数的处理函数
matlab中如何处理复数,matlab中复数的处理函数matlab中复数的处理函数MATLAB 中复数的处理函数要说明复数的运算，先从解以下的⼆次⽅程式的复数根谈起上式的根有实部 (-2) 及虚部 (±3)，我们就这个复数的表⽰法来说明 MATLAB的复数功能。
MATLAB 是以 i或 j字元来代表虚部，其它的复数相关函数有real, imag, conj, abs, angle等等，详见线上说明 lookfor complex。
如果复数表⽰为 x=a+bi共轭复数 = , 复数⼤⼩ r = , 复数向量的夹⾓ θ= tan -1 (b/a)复数实部 a = r cosθ, 复数虚部 b = r sinθ, 复数指数表⽰法 x=r ei上述各函数对应 MATLAB的复数指令为a=real(x), b=imag(x), =conj(x),r=abs(x), =angle(x), x=r*exp(i*angle(x))以下是⼏个复数表⽰式的例⼦：>> x=1-2*i; % 注意是 2*i 不是 2i>> real(x) % 列出实部ans=1>> imag(x) % 列出虚部ans =-2>> conj(x) % 计算共轭复数ans =1.0000 + 2.0000i>> abs(x) % 计算复数的⼤⼩ans =2.2361>> angle(x) % 计算复数向量的夹⾓(以径度表⽰)ans =-1.1071>> a=1; b=4; c=13;>> x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) % 以解⼆次⽅程式根的公式计算复数根x1 =-2.0000 + 3.0000i>> x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)x2 =-2.0000 - 3.0000i>> y=exp(i) % 以复数指数⽅式表⽰⼀个复数y =0.5403 + 0.8415i>> y=exp(i*pi*0.75)y =-0.7071 + 0.7071i和复数有关的图以极座标来表⽰会⽐⼀般的卡⽒座标要合适，polar 指令可以将数据以极座标⽅式加以绘图， 其语法为 polar(theta,r)，(theta,r)分别代表极座标上的⾓度及半径值。
用MATLAB计算复数的实部、虚部、模、辐角,共轭复数、简单复数方程根及复数的极限
z = 2.1520 + 0.9505i
二、复数的三角函数运算同实数的三角函数运算
三角函数运算函数为 sin(x),cos(x),tan(x),cot(x),sec(x),csc(x),sinh(x),cosh(x),tanh(x),coth(x),sech( x),csch(x) 反三角函数运算函数为 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x),asec(x),acsc(x), 例 5 求复数 3+4i 的三角函数 >> z=3+4i; >> sin(z) ans = 3.8537 -27.0168i
三、用 MATLAB 计算复数方程的根及极限
例 6 求方程 z 8 0 的根. >> solve('z^3+8=0') ans = -2 1+i*3^(1/2) 1-i*3^(1/2) 例 8 对复变函数 f ( z ) z , 取 z 0 1 2i syms z z0 >> f=z^2; >> z0=1+2i z0 = 1.0000 + 2.0000i >> limit(f,z,z0) ans = -3+4*i
例 1：求复数 12 2i 的实部、虚部、模、共轭复数和辐角 >> z=-sqrt(12)-2i; >> x=real(z) x = -3.4641 >> y=imag(z) y = -2 >> abs(z) ans = 4.0000 >> conj(z) ans =
1
-3.4641 + 2.0000i >> angle(z) ans = -2.6180 例 2 imag([5-8j,3+4j]) ans = -8 4
matlab复变函数画图形
matlab复变函数画图形第四篇计算机仿真第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的,本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换,21.1 复数运算和复变函数的图形21.1.1 复数的基本运算1复数的生成复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成创建复矩阵有两种方法((1)一般方法例 21.1.1创建复矩阵的一般方法(【解】仿真程序为A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i,说明: %后为注释语句,不需输入)(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵【解】仿真程序为re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算1 复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下:real(z) 返回复数 z 的实部;imag(z) 返回复数 z 的虚部.2 共轭复数复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.3 复数的模与辐角复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为:abs(z) 返回复数 z 的模;angle(z) 返回复数 z 的辐角.例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)(【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 -3.0000ireal(a)%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000(注明:凡ans 及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案,本句ans 是real(a)的答案)imag(a)%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000conj(a)%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000iabs(a)%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle(a)%ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490 4 复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现(5 复数的平方根复数的平方根运算由函数 sqrt 实现(调用形式如下:sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值6 复数的幂运算复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂( 7 复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现(调用形式如下:exp(z) 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;log(z) 返回复数 z 的以 e 为底的对数值. 例21.1.2 求下列式的值(πi2ln(,10)e(1); (2)(【解】log(-10)%ans= 2.3026 + 3.1416iexp(pi/2* i)%ans =0.0000+ 1.0000i 21.1.3 复变函数的图形1.整幂函数的图形2z 例 21.1.6 绘出幂函数的图形.【解】 z=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^2);colorbar('vert');title('z^2')%(如图21.1所示)2z图21.1 复变函数的图形2. 根式函数的图形12z 例 21.1.7 绘出幂函数的图形【解】 z=cplxgrid(30);cplxroot(2);colorbar('vert');title('z^{1/2}' ) %(如图21.2).12z 图21.2 复变函数的图形3. 复变函数中对数函数的图形Lnz例 21.1.3 绘出对数函数的图形.【解】z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));hold ontitle('Lnz')endLnz 图21.3 对数函数 view(-75,30) %(如图21.3)例 21.1.4 计算机仿真编程实践:nzkn (1,2,,),,,,n,2z,,10k若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式n1,0,,nk,1()zz,,kmm,1mk(),成立.【解】仿真程序n=round(1000*random('beta',1,1))+1% n=input('please enter n=')su=1;sum=0;for s=1:nN(s)=exp(i*2*s*pi/n);endfor k=1:nfor s=1:nif s~=ksu=1/(N(k)-N(s))*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum%仿真验证结果为:n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
matlab复变函数求导
matlab复变函数求导Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数来进行各种数学计算和数据分析。
在Matlab中，我们可以使用复变函数求导来解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍如何使用Matlab 进行复变函数的求导。
复变函数是指输入和输出都是复数的函数。
它可以表示为f(z)，其中z是复数。
复变函数的导数也是一个复变函数，表示为f'(z)。
复变函数的求导可以通过求偏导数来实现，即对实部和虚部分别求导。
在Matlab中，我们可以使用syms函数来定义复变函数，并使用diff函数来求导。
首先，我们需要将变量定义为符号变量，以便Matlab能够识别它们是符号而不是数值。
例如，我们可以使用以下代码定义一个复变函数f(z)：syms zf = z^2 + 2*z + 1在这个例子中，我们定义了一个复变函数f(z)，表示为z的平方加上2乘以z再加上1。
接下来，我们可以使用diff函数来求导，如下所示：df = diff(f, z)这个代码将返回复变函数f(z)的导数df。
在这个例子中，导数df 等于2*z + 2。
我们可以通过将z替换为具体的数值来计算导数的数值结果。
例如，我们可以将z替换为3，然后计算导数的数值结果：df_value = subs(df, z, 3)这个代码将返回导数在z等于3时的数值结果。
除了使用diff函数，Matlab还提供了一些其他函数来处理复变函数的求导问题。
例如，我们可以使用gradient函数来计算复变函数的梯度。
梯度是一个向量，表示函数在每个点的导数。
我们可以使用以下代码来计算复变函数f(z)的梯度：[grad_x, grad_y] = gradient(f, real(z), imag(z))在这个例子中，grad_x和grad_y分别表示复变函数f(z)在实部和虚部方向上的导数。
我们可以将这两个导数合并成一个复变数导数，如下所示：grad = grad_x + 1i * grad_y这个代码将返回复变函数f(z)的导数grad。
Matlab在复变函数中应用
第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换）。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中，产生复数的方法有两种：1.由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2.由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种：1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章）2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式：real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则：1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式：Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置，可用Z .’或conj (Z’)。
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利用MATLAB进行复变函数的主要运算
摘要
复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.
本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.
关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换
1.复数的生成：
Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);
2.复数的运算：
Real（z）imag（z）；
3．共轭复数
复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角
复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角
5．复数的乘除法
复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
6．复数的平方根
复数的平方根运算由函数sqrt实现。
调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。
7．复数的幂运算
复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。
8.复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。
9．复数方程求根
复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
10.留数
在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数
Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数
Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数
11. taylor 泰勒级数展开
taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。
此功能函数可有3个附加参数。
taylor( f , n) 返回 1-n 次幂多项式。
taylor( f , a) 返回 a 点附近的幂多项式近似。
taylor(r, x) 使用独立变量代替函数 findsym( f )。
12. Fourier 变换
Fourie 积分变换 F=fourier(f)返回以默认独立变量x 对符号函数f 的 Fourier 变换，默认返回 w 的 函数。
如果 f (w)=f ，则 fourier 函数返回 t 的函数 F=F(t) 。
定义 F( w )int(f( x inf,inf),-i *w* x), x,-)*exp( 为对 x 的积分。
=13 F fourier ( f ,v) 以 v 代替默认值 w 的 Fourier 变换，且有 fourier ( f ,v) 等价于 F ( v) = int inf,inf)。
13. Laplace 变换
Laplace 变换 laplace(F)=L 返回以默认独立变量 T 对符号函数 F 的 Laplace 变换。
函数 返回默认为 s 的函数。
如果 F(s)=F ，则 Laplace 函数返回 t 的函数 L(t)=L 。
其中定义 L 为 对 t 的积分 t), 0, inf) 。
*s -exp(* int(F(t)=L(s)
laplace(F, t)=L 以 t 代 替 s 的 Laplace 变 换 。
laplace(F, t) 等价于 x), 0, inf ) 。
*t -exp(* int(F(x)=L(t) laplace(F, w, z)=L 以 z 代替 s 的 Laplace 变换相对于 w 的积分）。
laplace(F, w, z) 等价于 w), 0, inf) 。
*z -exp(* int(F(w)=L(z)
14. 复变函数图形绘制
设有z=x+iy ,w = f(z) =u(x,y) + iv(x,y).所学知识可知绘制复变函数的图形，需要四维空间才能满足.为了避免这一困难，借用两张复平面：z 平面与w 平面点集间的对应关系来来描述复变函数.
做圆周z =5在
映射5
3z z +
=ω下的象.。