辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.2直线和圆的参数方程(二)导学案(无答案)新人教B版选修4-4
辽宁省北票市高级中学高中选修2-1数学导学案：2.2.1椭圆及标准方程2
2.2.1椭圆及标准方程（2）一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义；3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式．二、预习案求下列方程表示的椭圆的焦点坐标12436122=+y x ）（ 2438222=+y x ）（三、课中案例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,15a c ==y 轴上； ⑶10,5a b c +==．变式：（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；（2）ABC ∆的两个顶点为A （-4,0），B （4,0），周长为18，则C 的轨迹方程为______________（3）已知B,C 是两个定点，8BC =，且ABC ∆的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别(0,-4),(0,4),，，并且经过点)53(-，，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．．6 C ．．12练2 ．方程1922=-my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．四、课后案1．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)2．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1
2.2.1双曲线及标准方程一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出双曲线的模型；2．通过用简易工具画双曲线的图像掌握双曲线的定义；3．通过双曲线标准方程的推导过程掌握双曲线的标准方程的两种形式． 二、预习案 一、课前准备（预习教材P 45~ P 48找出疑惑之处）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线； 由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？ 2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？三、课中案 ※ 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式:已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为_____例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．※ 动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =； （2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升 ※ 学习小结 1 ．双曲线的定义； 2 ．双曲线的标准方程． ※ 知识拓展GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．※ 当堂检测1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为 （ ）． A ．25- B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b = （ ）．4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程 为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．四、课后案1.方程x = ( ) A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分2.双曲线221169y x -=的焦点坐标为 ( )A.(0)0),B.(0(0,,C.(-5,0),(5,0)D.(0,-5),(0,5)3.如果椭圆22162y x +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12F F P ,,是两曲线的一个交点,那么cos 12F PF ∠的值是 ( ) A.13B.23C.73D.144.已知定点A ,B 且|AB |=4,动点P 满足|PA |-|PB |=3,则|PA |的最小值是( )A.12B.32C.72D.55.设m 是常数,若点F (0,5)是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则m = .6.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)过点()()15163543P Q ,,-,且焦点在坐标轴上;(2)经过两点(7,A --，B ．(3)c =经过点(-5, 2),焦点在x 轴上;(4)与双曲线221164y x -=有相同焦点,且经过点2).7．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？※ 能力提升8.已知双曲线22163y x -=的焦点为12F F ,,点M 在双曲线上,且1MF x ⊥轴,则1F 到直线2F M 的距离为 ( )65D.569.若双曲线221(0y x m m n -=>,n >0)和椭圆221y x a b+=(a >b >0)有相同的焦点12F F M ,,为两曲线的一个交点,则|1MF |⋅|2MF |等于 .10.对于曲线C:22141y x k k +=,--下面四个命题:①曲线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则512k <<.其中命题正确的序号为 .11.有一双曲线方程为2212149y x F F -=,,是其两个焦点,点M 在双曲线上. (1)若1290F MF ∠=,求△12F MF 的面积;(2)若1260F MF ∠=时,△12F MF 的面积是多少?若12120F MF ∠=时,△12F MF 的面积又是多少?12.在△ABC中,BC=2,且1sin sin sin2C B A-=,求点A的轨迹.※拓展探究13.从双曲线22221(00)yx a ba b-=>,>的左焦点F引圆2x+2y=2a的切线,切点为T,延长F T交双曲线右支于P 点,若M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO |-|MT |与b -a 的大小关系为( )A.|MO |-|MT |>b -aB.|MO |-|MT |=b -aC.|MO |-|MT |<b -aD.不确定14.求下列动圆圆心M 的轨迹方程:(1)与定圆C:22(2)2x y ++=内切,且过点A (2,0);(2)与定圆1C :22(1)1x y +-=和定圆2C :22(1)4x y ++=都外切;。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1
2.1.1椭圆及标准方程（1）一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义；3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式．二、预习案（预习教材文P 32~ P 37找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++=表示以 为圆心, 为半径的 ． ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当0<122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F ．新知２：椭圆的标准方程：（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简（2）如何建立坐标系可以使方程的形式简单？当焦点在x 轴上时：①建系：②设点：③建立关系式：根据椭圆的定义，知④代入坐标⑤化简指出：（1）比较,a b 的大小关系 a b 0（2）方程()222210x y a b a b+=>>叫做椭圆的标准方程，这里222c a b =- 思考：若焦点在y 轴上，椭圆的标准方程怎样建立？归纳：明确椭圆的两种标准方程的异同点（1）方程的右边都是1；（2）在两个方程中，总有0a b >>（3）,,a b c 的关系式（4）怎么由椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上？焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是（一）基础训练：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)4,3a b ==,焦点在x 轴上(2)1,b c ==焦点在y 上2.已知椭圆的方程为22136100x y +=,则a = ,b = ,c = ,焦点的坐标为 焦距为 ,如果此椭圆上一点P 到焦点1F 的距离为8,则点P 到另一个焦点2F 的距离等于3.求下列椭圆的焦点坐标: (1)2219x y += (2)221312x y += (3)2224x y +=(4)22169144x y +=三、课中案例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程1422=+m y x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ． 变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．．6 C ．．12练2 ．方程1922=-my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．四、课后案1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为 （ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ． (0,1)3.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．6. 椭圆2214x y n +=的焦距为2，求n 的值．。
高中数学 第2章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.2.1 直线的参数方程学案 北师大
2.2.1 直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1 参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.( ) (2)参数与变量x ，y 间存在函数关系.( )(3)点M (2,1)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t 2＋1(t 为参数)上.( )【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)√ 在参数方程中，参数与x ，y 存在函数关系.(3)× x ＝2时，2＝2×t 得t ＝1，而y ＝1时t ＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 直线的参数方程1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).①其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM →的数量来表示.2.经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1).其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP →的数量比QMMP.当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合.填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________.【解析】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°. 【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数) (2)20°预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2：解惑： 疑问3： 解惑：求动点轨迹的参数方程如图221所示，OA 是定圆的直径，长2a ，直线OB 与圆交于M 1，和过A 点的切线交于点B ，MM 1⊥OA ，MB ∥OA ，MM 1与MB 交于点M ，与OA 交于点C ，以O 为原点，OA 为x 轴的正半轴，求动点M 轨迹的参数方程.图221【精彩点拨】 引入弦OM 1与x 轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M (x ，y )的坐标x ，y 分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】 设点M 的坐标为M (x ，y )，弦OM 1与x 轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM 1，则有AM 1⊥OM 1，OC ＝2a cos θ·cos θ＝2a cos 2θ，AB ＝2a tan θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ(θ为参数)，这就是所求的点M 的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x ，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.1.过抛物线y 2＝4px (p ＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA ，OB ，求AB 中点P 的轨迹方程. 【解】 设OA 的斜率为k (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4px ，y ＝kx ，解得A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝4px ，解得B 点坐标为(4pk 2，－4pk ).设AB 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4p k 2＋4pk 22＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2，y ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k (k 为参数)，消去k 得中点P 的轨迹方程为y 2＝2p (x －4p )(p ＞0).求直线的参数方程已知直线l 过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点.【精彩点拨】 根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，得该直线的参数方程.然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点.【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数).(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)求；若已知两个定点，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)求.2.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.直线参数方程的应用探究1 直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】 直线参数方程中参数t 表示直线上以定点P 为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段PM →的数量，当点M 在点P 上方时，t ＞0；当点M 在P 的下方时，t ＜0；当点M 与P 重合时，t ＝0.我们也可以把参数t 理解为以P 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x 0，y 0)，斜率为ba时的直线参数方程怎样？【提示】 直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点P (x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数).当a 2＋b 2＝1时，参数方程为标准形式，|t |的几何意义是有向线段P M →的长度； 当a 2＋b 2≠1时，参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2a 2＋b 2t ，y ＝y 0＋b a 2＋b2a 2＋b 2t ，其中a 2＋b 2t 具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？【提示】 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便.如图222所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图222(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长|AB |.【精彩点拨】 先求得直线l 的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t 的一元二次方程，再利用参数t 的几何意义，逐个求解.【自主解答】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数).(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34. (3)|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5873.在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用).3.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆ρ＝2相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积. 【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 是参数).(2)圆ρ＝2的普通方程为x 2＋y 2＝4. 把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4. 整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，点P 到A ，B 的距离之积为|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2.1.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】 D 2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )【导学号：12990021】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(0，－4)，(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59，(8,0) 【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.【答案】 B3.过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________. 【解析】 ∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 24.已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t ，得x －y ＋1＝0.∴圆心C (－1,0)，又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切， ∴r ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝25.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A ，B 两点，求这两点的距离.【解】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，将此代入y 2＝4x ， 得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根分别为t 1，t 2， 由根与系数的关系，有t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝－422＋32＝64＝8.∴A ，B 两点间的距离是8.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学 第二章 参数方程 2.2 直线和圆的参数方程(二)导学案(无答案)新人教B版选修4-4(
辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.2 直线和圆的参数方程（二）导学案（无答案）新人教B版选修4-4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.2 直线和圆的参数方程（二）导学案（无答案）新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.2 直线和圆的参数方程（二）导学案（无答案）新人教B版选修4-4的全部内容。
2。
2直线和圆的参数方程（二）
一、学习目标及学法指导
1.学习目标:掌握圆的参数方程，并能灵活应用它解题
2.重、难、考点：圆的参数方程
二、预习案
自主学习:预习教材39-40页并完成下列问题
3.圆心在点（—1,2）半径为3的圆的参数方程为____________
三、课中案
典例分析:
例1
变式探
例2
例3
变式探
四．课堂检测
5.设直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t
y t
x 11 ,求它与圆422=+y x 的交点
五．课后案
六．课堂小结：。
2019学年辽宁省北票市高级中学高二数学选修2-1导学案：2.2.2椭圆的几何性质(1)(新人教A版)
2.2.2椭圆的几何性质（1）一、 学习目标及学法指导1.掌握椭圆的几何性质,掌握椭圆中,,,a b c e的几何意义,以及,,,a b c e 的相互关系.2.对照图像理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.二、预习案学生阅读教材第38～40页到例1前要求：1.要抓住如何根据椭圆的标准方程推出椭圆的性质这一主线和重点.2.要理解第一次出现的有关概念,并加以识记.3.要结合教材上图2-5,2-6,体会形数结合与统一的奥妙.问题：1.讨论范围时,由标准方程怎样推出122≤a x ,122≤by 的?其推理的根据是什么? 2.讨论“对称性”时,为什么“把y 换成y -,方程不变”图形就关于x 轴对称呢?3.在讨论“离心率”时,教材中有句“从而22c a b -=越小,因此椭圆越扁吗?4.说出椭圆12222=+by a x (0,0>>b a )的范 围、对称性、顶点和离心率,注意其中哪些性质与椭圆的焦点在哪条坐标轴无关. 总结：椭圆()222210x y a b a b+=>>的几何性质： ※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？三、课中案※典型例题例1.求椭圆1162522=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.练习：说出下列椭圆的范围、对称性、顶点和离心率.1. 4422=+y x2. 16422=+y x小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长为20,离心率为53(2)焦距为6,离心率为53(3)经过点)0,3(-P ,)2,0(Q练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程1) 经过点)0,2(P ,)233,1(Q2) 与椭圆369422=+y x 有相同的焦点,且离心率为55例3.我国自行研制的“中星20号”通信卫星，与2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。
2021-2022年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案新人教B版
2021-2022年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案新人教B版[对应学生用书P28]如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R ，记t 为时间，运动开始时t ＝0，质点位于点A 处，在时刻t ，质点位于点M (x ，y )处，θ＝ωt ，θ为Ox 轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos ωt ，y ＝R sin ωt (t ≥0)，也可写成⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)．若圆心在点M 0(x 0，y 0)处，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y R2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x R ＝cos θ，y R ＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．[对应学生用书P29]求圆的参数方程[例1] 点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析] 如图，设圆心为O ′，连接O ′M .①当M 在x 轴上方时， ∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.②当M 在x 轴下方时， ∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos －2φ，y ＝－r sin－2φ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.③当M 在x 轴上时， 对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ，－π2≤φ≤π2.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ，φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [思路点拨] (1)化参数方程为普通方程． (2)利用圆心到直线的距离d ≤4可求．[精解详析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．2. 设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θcos θ＋sin θ，y 1＝sin θcos θ＋sin θ，0≤θ≤2π，即为所求的参数方程． [例3] 已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ0≤θ≤2π上的动点．(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解．[精解详析] (1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋π3)＋1.∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1，即3x ＋y 的取值范围为 [－1,3]．(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1，即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝1 5－1[对应学生用书P30]一、选择题 1．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2,0)．2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)相切，则实数c等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：选C 将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α0≤α≤2π上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．± 2解析：选D 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝± 2.二、填空题5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)6．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.答案：[1－2，1＋2]7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(0≤α≤2π)相切，则θ＝________.解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 答案：π6或5π68．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心， 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0， 得(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1. 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1.∴当sin(θ＋π4)＝1时，t max ＝2＋1.11．已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t 2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点， 求|AB |及|AM |·|BM |.解：l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ>0，可设t 1′、t 2′是方程的两根，由根与系数关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，∴|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 2′2－4t 1′t 2′＝14.9- '25452 636C 捬x28131 6DE3 淣38400 9600 阀37423 922F 鈯27322 6ABA 檺26876 68FC 棼 28493 6F4D 潍25005 61AD 憭31172 79C4 秄。
辽宁省北票市高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的几种形式课件新人教B版必修2
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
典例分析1： 已知三角形的三个顶点 A（-4，0），B（2，-4），C（0，2）， 求AC边所在直线的方程，以及BC边上中线 所在直线的方程。
y
C A o M x
B
例2：求下列直线的方程： 3 1.已知直线l的斜率为 ，在x轴上的截距是7 2 求l的方程。 2.A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为2 且PA=PB,直线PA的方程为x-y+1=0,求直线 PB的方程
设直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中 x1≠x2，y1≠y2，求l的方程.
y2 y1 结论: 方程 y y1 ( x x1 ) x2 x1
化成比例式为 ：
y y1 x x1 (x1≠x2且y1≠y2) y2 y1 x2 x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
（2）坐标满足方程 y y0 k x x0 的点都
经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是
过点 P x , y ，斜率为 k 的直线 l 的方程． 0 0 0
直线的点斜式方程 方程 y y0 k x x0 由直线上一点及
其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方
P0 l
O x
坐标轴的直线方程 （2） y 轴所在直线的方程是什么？
当直线 l的倾斜角为 90时，直线没有斜率，这
时直线 l 与 y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式
表示．这时，直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0，所
以它的方程就是
x x0 0 ，或 x x0
故
y
l
y 轴所在直线的方程是：
辽宁省北票市高级中学高中数学选修4-4导学案：2-3圆锥曲线的参数方程 精品
高二数学选修4-4第二章第三节圆锥曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1．学习目标：掌握椭圆的参数方程并能灵活应用它解题，了解抛物线、双曲线的参数方程 2．重、难、考点：椭圆的参数方程
二、预习案
自主学习：预习教材41-46页并完成下列问题
中心在点M 0(x 0,y 0)的椭圆1)()(2
2
0220=-+-b
y y a x x 的参数方程为_________________
三、课中案
典例分析
例1（1） 椭圆的方程为
15
)2(3)1(2
2=++-y x ，写出它的参数方程
（2）已知椭圆的参数方程为)(sin 4cos 2为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧==，点M 在椭圆上，对应参数3π
=t ，
点O 为原点，求直线OP 的倾斜角α
变式1：（1）写出椭圆x 2+4y 2=16的参数方程
（2）椭圆的参数方程为)(sin 22cos 31为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+-=+=，点P 为椭圆上对应6π
=t 的点，求
直线OP 的斜率
四．课堂检测：
六．课堂小结。
高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程教案选择性高二选择性数学教案
2.2.2 直线的两点式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养.某区商业中心O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km 和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A 、B 两处，并使区商业中心O 到A 、B 两处的距离之和最短．在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB ，那么直线AB 的方程确定后，点A 、B 能否确定？1．直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程截距式方程 已知条件P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ，且a ≠0，b ≠0.示意图直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围 斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点思考：方程1y 2－y 1＝1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用范围相同吗？ [提示] 不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．2．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的两点式方程也可以用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)表示． ( )(2)任何直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( ) (3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出． ( )[提示] (1)× (2)× (3)√2．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0D [由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简，得x －y －1＝0.]3．若直线l 经过点A (2,5)，B (2,7)，则直线l 的方程为________．x ＝2 [因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x ＝2.]4．直线y ＝3x ＋2在x 轴上的截距是________． －23 [令y ＝0得x ＝－23，即在x 轴上的截距为－23.]直线的两点式方程【例1】 (1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上，则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.] 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]1．求经过两点A (2，m )和B (n,3)的直线方程． [解] 当m ＝3时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝3， 当n ＝2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝2. 当m ≠3且n ≠2时，由两点式得直线方程为y －m 3－m ＝x －2n －2.直线的截距式方程【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程． [思路探究][解] 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l 的方程． [解] 当截距均为零时，设直线方程为y ＝kx ，把点(4，－3)代入得－3＝4k ，解得k ＝－34，所求的直线方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.当截距均不为零且相反时，可设直线方程为x a ＋y －a ＝1，把点(4，－3)代入得4a ＋－3－a＝1，解得a ＝7，所求直线方程为x 7＋y－7＝1，即x －y －7＝0，故所求l 的方程为x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.2．[变条件]本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？” [解] 当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： ①两截距均为零，即3x ＋4y ＝0 ②两截距均不为零且相等即x ＋y －1＝0. ③两截距均不为零且相反即x －y －7＝0.故所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. 利用截距式求直线方程的注意事项(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0. ①若a ＝0，b ≠0，则直线方程为x ＝0； ②若a ≠0，b ＝0，则直线方程为y ＝0； ③若a ＝0，b ＝0，则直线方程为y ＝kx (k ≠0)． (2)截距相等且不为零，可设x ＋y ＝a ； 截距相反且不为零，可设x －y ＝a ； 截距相等且均为零，可设y ＝kx .直线方程的灵活应用1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？ [提示] 点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式． 2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？ [提示] 可选择斜截式．3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ [提示] 选择截距式较好．【例3】 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[思路探究] (1)B ，C 两点坐标――→两点式求方程 (2)求中点坐标――→两点式求直线方程[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －－4－2－－4＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋－22＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －－352－－3，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 1．本例中条件不变，试求AB 边上的高线所在直线的方程． [解] 设AB 边上的高线所在直线斜率为k ， ∵k AB ＝2－－4－3－5＝－34，∴k ＝43，又高线过点C (0，－2)，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y ＋2＝43(x －0)，即4x －3y －6＝0.2．本例中条件不变，试求与AB 平行的中位线所在直线的方程．[解] 由探究1知k AB ＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y ＋3＝－34⎝⎛⎭⎪⎫x －52，即6x ＋8y ＋9＝0.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A ．x 3＋y 2＝0B ．x 2＋y 3＝0C ．x 2＋y3＝1 D ．x 3＋y2＝1 C [由条件可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为2,3，所以方程为x 2＋y3＝1.]2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [由两点式得y －19－1＝x ＋13＋1，即y －1＝2(x ＋1)，令y ＝0得x ＝－32，所以直线在x 轴上的截距为－32.]3．经过点(－1,5)，且与直线x 2＋y6＝1垂直的直线方程是________．x －3y ＋16＝0 [直线x 2＋y 6＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是13，所以所求直线方程是y －5＝13(x ＋1)，即x －3y ＋16＝0.]4．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． [解] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1， 则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.。
辽宁省北票市高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的几种形式学案新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的几种形式一．学习目标1.掌握直线方程的点斜式，两点式，斜截式的特点与适用范围2.能根据问题的具体条件选择适当的形式求直线的方程3.了解一次函数的斜截式与一次函数的关系二．自主学习探究1：在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l 经过的一个点000(,)p x y和斜率k ，能否将直线上所有的点的坐标(,)x y 满足的关系表示出来呢？归纳完成什么是点斜式方程？探究2：x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？应用点斜式方程应注意什么？牛刀小试1：求下列直线的方程:（1） 直线1l ：2,1k 1=-过点（），;（2） 直线2l :2,1过点（-）和点（3，-3）;探究3：如何推导直线的斜截式方程？问题：_______________________叫直线的斜截式方程，其中_____为斜率,__ ____叫直线_______________在y 轴上的截距，简称直线的截距。
斜截式方程与点斜式方程有什么关系？它和一次函数的关系呢？牛刀小试2: 1,12求过点（0）,斜率为-的直线的方程.探究4：大家都知道：两点确定一条直线.那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢？设直线l 经过两点111222P (x y )P (x y )，，，，其中 1212x x y y ≠≠， 则①直线l 斜率是什么？②你能写出直线l 的点斜式方程吗？③应用这个方程应注意什么？三．典例分析例1：已知三角形的三个顶点 A （-4，0），B （2，-4），C （0，2），求AC 边所在直线的方程，以及BC 边上中线所在直线的方程。
.7,2x l 例2：求下列直线的方程：1已知直线l 的斜率为轴上的截距是求的方程。
2.A,B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且PA=PB,直线PA 的方程为x-y+1=0,求直线PB 的方程例3：若两点是直线l 与x 轴的交点A(a ,0), 与y 轴的交点B(0,b ), 其中a ≠0,b ≠0,则直线l 的方程是怎样的？四．快乐体验2.根据下列条件，求直线的方程：(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2；(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；3．过点A (－2,1)且与x 轴垂直的直线的方程是( )A ．x ＝－2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝－23．若AC <0，BC <0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限b表示.kx 可以用y D.经过定点的直线都1表示;b ya x 都可以用方程C.不经过原点的直线)表示;y )(y x (x )x )(x y 方程(y )的点的直线都可以用y ,(x P ),y ,(x P B.经过任意两个不同)表示;x k(x y y )的直线都可以用方程y ,(x A.经过定点P )真命题是(1.下列四个命题中的12112122211100000+==+--=---=-4．已知直线l 过点P (3,2)，且斜率为－45，则下列点不在直线l 上的是( )A ．(8，－2)B ．(4，－3)C ．(－2,6)D ．(－7,10)5．直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y －1＝06．过点A (1,4)且在x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的直线条数为( )A ． 1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．若方程(2t 2＋t －3)x ＋(t 2－t )y －4t ＋1＝0表示一条直线，则实数t 的取值范围是__________．8．一条直线经过点M (2,1)，且在两坐标轴上的截距之和是6，则该直线的方程为__________．9．不论A、B取何值，只要A、B不同时为零，则直线Ax＋By＝0必恒过定点________；若A、B不同时为零，且A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0恒过定点________．．三、解答题10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．(1)直线经过定点P(2，－1)；(2)直线在y轴上的截距为6；(3)直线与y轴平行；(4)直线与x轴平行．11．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC 的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．已知两点A(3,0)、B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，求xy的取值范围．。
辽宁省北票市高级中学高中数学选修4-4导学案：2.3圆锥曲线的参数方程缺答案
高二数学选修4—4第二章第三节圆锥曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1．学习目标：掌握椭圆的参数方程并能灵活应用它解题，了解抛物线、双曲线的参数方程
2．重、难、考点：椭圆的参数方程 二、预习案
自主学习：预习教材41—46页并完成下列问题
中心在点M 0（x 0，y 0)的椭圆1)()(2
2
0220=-+-b
y y a x x 的参数方程为
_________________
三、课中案 典例分析 例1（1)
椭圆的方程为15
)2(3)1(2
2=++-y x ，写出它的参数方程
（2）已知椭圆的参数方程为)(sin 4cos 2为参数t t y t
x ⎩
⎨⎧==,点
M 在椭圆上，对应参
数3
π=t ，点O 为原点，求直线OP 的倾斜角α
变式1：（1）写出椭圆x 2+4y 2=16的参数方程
（2）椭圆的参数方程为)(sin 22cos 31为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+-=+=,点P 为椭圆上对应6
π=t 的
点，求直线OP 的斜率
例2
四．课堂检测：例3
变式探究
1。
2。
6。
五．课后案1.
2.
六．课堂小结。
辽宁省北票市高级中学人教B版高中数学必修二学案：2.2.1直线方程的概念与直线的斜率A层
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率一、学习目标1、正确理解直线方程的概念与倾斜角和斜率的概念.2、理解直线的倾斜角的唯一性以及直线的斜率的存在性.3、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.二、自主学习1．直线方程的概念直线的方程与方程的直线：一般地，如果___________________的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是______________，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的_______.由于方程y=kx+b 的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y=kx+b探究1：如何理解直线方程的概念？在直线方程的概念中，要明确方程的解与直线上点的坐标的关系，它含有哪两重意思？（1）__________________________________；（2）________________________________________________.这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程.2．直线的斜率(1)、斜率：设直线y=kx+b 上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有k=_______=x y ∆∆ (△x≠0，x 1≠x 2).(2)、通常把直线y=kx+b 中的系数k 叫做这条直线的__________；(3)、垂直于x 轴的直线_________ (填“存在”或“不存在”)斜率.3．直线的倾斜角(1)、倾斜角的定义：_________________________所成的角叫做这条直线的倾斜角；(2)、规定：_____________________直线的倾斜角为零度角；(3)、垂直于x 轴的直线的倾斜角等于_______.(4)．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°；4．直线的倾斜角与斜率的关系(1)．斜率和倾斜角都反映了直线相对于______________倾斜程度；(2)．直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x 轴相交的直线，把直线向上的方向与x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；第二种是与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；5．当k=0，直线平行于x 轴或与x 轴重合，此时直线的倾斜角为0°；当k>0时，直线的倾斜角为________；k 值增大，直线的倾斜角也随着______；当k<0时，直线的倾斜角为________，k 值增大，直线的倾斜角也随着______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2直线和圆的参数方程（二）
一、学习目标及学法指导
1.学习目标：掌握圆的参数方程，并能灵活应用它解题
2.重、难、考点：圆的参数方程
二、预习案
自主学习：预习教材39-40页并完成下列问题
1.踱心在原点、半径为R的圆的参数方程为___________ ・
2 .圆心在点半径为R妁圆的参数方程为
3._____________________________________________________ 圆心在点（-
1,2 ）半径为3』勺圆的参数方程为_____________________________
三、课中案
典例分析：
例1「"2 . - ■—- 一 J、：.■•—：
值利最小值.
变式探究川舟-1 u、P.
标为（44） I点A在圆护+y =
上移动「冃?W.AD两边分别平行干
疋轴廿轴•求矩形ABCD面积的最小值及
对应点A的坐标.
例2■ I id忌冷为
Q的轨迹(其中^>o>・
(l}Q(jr + y.H — y)：(2)Q(jr+y*^h
变式探究
△AHC是圆J =/的内援三角形山〔片为为定点,
ZfiAC = tO fl.求△品匚的直心G的轨迹*
曲 c=* costf
例3- .. .
\y- 1 + sioff
求实数武的瞰值范围.
变式探究
经过点A（—3, —寻）•傾斜角为立的直线丄勺圆= 2D相交于A
旧两点.
<1）«弦氐的长^
（对当Afft为BC®申.点时，求直级BC的方裡；
（3）当｛BC I- 8时’班直线BC的方程，
U）为d变优时•求动題BC的中点M的轨逝.
四•课堂检测
1 .圆(x-i)a+y - 4±的点可以表示为( )
A.〔一】+ cOstf^inZ?) B (1 + sin^,£Os^
C. (—1 —2cos^*2sin5) D* (1 + 2co?^»2sin/?)
『jr = 2 + co&a
氏若足囲线( ^ -"为参数)上任意一点，则
i y ■ sina "一1
(x-5)J-Fty+S)2的最大值为( )
A. 36
B. 6
C. 26
D. 25
久根据所给条杵化专程分=4/ —5/Q =U为参数方程* 则参数方程为
4■设PC TQ）是圖必+V =幼上的动点・
CO求触十y的取值范围辛
【2〉若x + y + c>Offl®立，求实数疋的取值范围.
x 1 t 2 2
5.设直线的参数方程为，求它与圆x2 y 4的交点
y 1 t
五.课后案
盂=00讯
（
心対参ft> ±的点到商坐标轴的距离之和y — sin^的最大值为（）九寺K y c. 1 a 72
工=4+学
比已知直线“丿
为参敎）和圖6
j I . y n —4 + 亍
h
fx = 2 + 2 屈 oM J
"为鑫数儿则直线I 勺圆C 的位輦关
[y =—2+ 272sintf
系足
（
>
A.相交但不过園应 &相交且过10心
C. fflffi
D.相切
£_! = ■!；* | t * 8 减
3-已知曲线的會数方釋为|
.，分别LU 和8为
= >0 + /・或n 目
鑫数时，方程表不两条不同的曲线’则临陶条曲线公共点的 个数是
（ ）
A. 0
B. 1
C2
Dd 或 2
大值是
5「衽直角坐标系 My 中，LSftl 曲线C 的塞數方程是
极轴，则曲线C 的极塑标方程可写为 _________
fX =盡 + 3
伉在平面直角坐标系 6 中，直线I 的参效方程为
y = 3-J 土 工 w 2co^?
（#®t€ Rh 圆C 的参数方程为
\y = 2sirtf+2
：.0,2n ））,则圆C 的圆心坐标为
心到直线/的距
离为 _______
7.已知/ + # = 1,且y AS 求x + y 的最大值和暈小值.
4*已知0为參数，卿点M<3,2>到曲线
F x = cosO
（ 的距离的最
估是参数儿若以。
为機点山轴的狂丰轴为
=sinff +
=
六.课堂小结:。