不定积分 (公式大全)
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。
积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。
下面是一些常见的高等数学积分公式：一、不定积分公式：1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）其中n不等于-1，C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）二、定积分公式：1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）三、定积分计算方法与公式：1.分部积分法∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx2.代换法（换元积分法）∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))3.增广方法当函数的导数是其本身的倍数，例如dy/dx = ky时，可以使用增广方法进行求解，具体公式为∫d(y)e^(-kx) = e^(-kx)y4.牛顿-莱布尼茨公式若F(x)为f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)5.分式积分对于形如∫(P(x)/Q(x))dx的分式积分，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，可以使用部分分式法进行分解，然后再分别求积分。
不定积分公式大全
不定积分公式大全1.幂函数的不定积分公式- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）- ∫x^(-1) dx = ln，x， + C- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C2.三角函数的不定积分公式- ∫sinx dx = -cosx + C- ∫cosx dx = sinx + C- ∫sec^2x dx = tanx + C- ∫csc^2x dx = -cotx + C- ∫secx tanx dx = secx + C- ∫cscx cotx dx = -cscx + C3.反三角函数的不定积分公式- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/，x，(√(x^2-1)) dx = arccosh(x) + C - ∫1/，x，(√(1-x^2)) dx = arcsech(x) + C 4.指数函数和对数函数的不定积分公式- ∫e^x dx = e^x + C- ∫ln(x) d x = xln(x) - x + C- ∫1/x dx = ln，x， + C5.双曲函数的不定积分公式- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C- ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C- ∫csch^2(x) dx = -coth(x) + C- ∫sech(x) tanh(x) dx = sech(x) + C- ∫csch(x) coth(x) dx = -csch(x) + C6.分部积分法的不定积分公式- ∫u dv = uv - ∫v du7.代换法的不定积分公式- ∫f(u) du = ∫f(g(x))g'(x) dx8.积分换元法的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(g(t)) g'(t) dt9.坐标系中的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(y(x)) y'(x) dx （极坐标系）- ∫f(x, y) dx = ∫f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ （极坐标系）10.特殊函数的不定积分公式- ∫e^(-x^2) dx = √π * erf(x) + C （误差函数）这些不定积分公式是数学中常用的公式，通过熟练掌握和灵活运用，可以帮助我们解决各类数学问题。
常见的不定积分公式大全
常见的不定积分公式大全一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 例如，∫ 3dx = 3x + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 如∫ x^2dx=frac{x^3}{3}+C，∫ x^(1)/(2)dx=(2)/(3)x^(3)/(2)+C。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 注意这里绝对值的作用，当x>0时，∫(1)/(x)dx=ln x + C；当x<0时，∫(1)/(x)dx=ln(-x)+C。
4. ∫ e^x dx = e^x+C- 例如，∫ 2e^x dx = 2e^x + C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- ∫ 2^x dx=(2^x)/(ln 2)+C。
6. ∫sin xdx =-cos x + C- 例如，∫ 3sin xdx=- 3cos x + C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 如∫ 5cos xdx = 5sin x+C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 因为(d)/(dx)(tan x)=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
9. ∫(1)/(sin^2)xdx =-cot x + C- 由于(d)/(dx)(-cot x)=(1)/(sin^2)x。
二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(u)du（令u = ax + b）- 例如，∫sin(2x + 1)dx，令u = 2x+1，则du=2dx，所以∫sin(2x +1)dx=(1)/(2)∫sin udu=-(1)/(2)cos u + C=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
2. ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(u)du（令u = x^n）- 如∫ x^2sin(x^3)dx，令u = x^3，du = 3x^2dx，则∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin udu=-(1)/(3)cos u + C=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
50个常用不定积分公式表
50个常用不定积分公式表50个常用不定积分公式表是高等数学中非常重要的知识结构之一。
它能帮助学生和从业者更加清晰地理解不定积分的概念，从而能更好地掌握对不定积分的计算。
为了更好地掌握不定积分的计算，今天我们一起来看一下50个常用不定积分公式表。
首先，需要弄清楚的是，不定积分公式表表示的是不定积分与定积分的区别。
不定积分中，积分变量x的上界a和下界b都可能不同，故而该表中只列出了不定积分的形式，而不列出其定积分的形式。
其次，该表中的不定积分公式也有不同的形式，如枚举公式、积分公式等，我们需要在使用的时候熟练掌握各种公式的用法。
根据不定积分公式表，可以将不定积分公式分为以下8类：1.接公式：其中，最简单的就是不定积分的直接公式，如F(x)=a的导数的积分等。
2.本函数积分：其中，常见的有一元函数、二元函数、多元函数以及三角函数积分等，是不定积分计算中最重要的部分。
3.合函数积分：复合函数积分是指将几个函数组合在一起进行积分，例如微积分中的复合函数积分等。
4.部积分：分部积分在微积分中是指将一个形如F(x)的函数分段积分，并对各段的函数进行积分，然后将各段的积分结果加总，从而得到总的积分。
5.殊函数积分：特殊函数积分指的是将一些特殊的函数进行积分，例如指数函数、对数函数等。
6.荡函数积分：振荡函数积分属于一种特殊的函数积分，指的是将一些振荡函数进行积分。
7.级数积分：幂级数积分指的是将特殊函数的级数表示形式进行积分，例如复变函数的幂级数积分等。
8.他：感性函数积分、应用函数积分、概率函数积分等，都属于不定积分的范畴。
以上就是50个常用不定积分公式表的内容介绍，从上面可以看出，不定积分是一个非常庞杂的概念，其中有很多不同的公式和类型，我们要想更好地掌握不定积分，就需要熟练掌握这些公式，并且要正确使用它们来完成不定积分的计算。
除了掌握50个常用不定积分公式表，要想更好地掌握不定积分的计算，还需要学习更多的关于积分的定理和性质，或者熟练地运用计算机工具来辅助解决不定积分问题。
常见的不定积分(公式大全)
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
不定积分公式大全
不定积分公式大全1.基本的常数不定积分公式：\[\int a dx = ax + C\]（其中a为常数，C为常数，表示不定积分的任意常数项）2.幂函数不定积分公式：\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]（其中n为实数，n不等于-1）3.三角函数的不定积分公式：\[\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C\]\[\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\]\[\int \tan{x} dx = -\ln，\cos{x}， + C\]\[\int \cot{x} dx = \ln，\sin{x}， + C\]\[\int \sec{x} dx = \ln，\sec{x} + \tan{x}， + C\]\[\int \csc{x} dx = \ln，\csc{x} - \cot{x}， + C\]4.反三角函数的不定积分公式：\[\int \arcsin{x} dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arccos{x} dx = x\arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arctan{x} dx = x\arctan{x} - \frac{1}{2}\ln{(1+x^2)} + C\]5.指数函数和对数函数的不定积分公式：\[\int e^x dx = e^x + C\]\[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C\]（其中a为大于0且不等于1的实数）6.常用三角函数的组合不定积分公式：\[\int \sin^2{x} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \cos^2{x} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{\cos{2x}}{2} + C\]7.双曲函数的不定积分公式：\[\int \sinh{x} dx = \cosh{x} + C\]\[\int \cosh{x} dx = \sinh{x} + C\]\[\int \tanh{x} dx = \ln，\cosh{x}， + C\]\[\int \coth{x} dx = \ln，\sinh{x}， + C\]8.基本的三角换元法不定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：\[\int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C\]（其中F是g的原函数）9.分部积分法的不定积分公式：\[\int u dv = uv - \int v du\]（其中u和v是两个函数，du和dv分别是u和v的微分）这些是常用的不定积分公式，通过它们可以求解各种函数的原函数。
不定积分公式大全
1专题---不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰321121221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin lnsin cos cot C x C x xd dx x xdx⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln ⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx xx x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xxx arctan 1122⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 1C ax +-=④()C x x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 22221sin 2 ⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot ⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos 例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdt t t 11ln 212111212121222222C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12 例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x x xd x x dx xx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx x x x xx xx x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
《高数》必背公式之不定积分(完整版)
《高数》必背公式之不定积分（完整版）高等数学中的不定积分是一种数学运算，它是求解导数的逆运算，也称为反导函数。
在学习高等数学的过程中，我们需要掌握一些常用的不定积分公式，以便能够更好地解决各种数学问题。
下面是一些常见的不定积分公式的完整版，共计超过1200字。
1.基本积分公式(1) ∫k dx = kx + C （k为常数，C为任意常数）(2) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n不等于-1，C为任意常数）(3) ∫e^x dx = e^x + C(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （a为常数且a不等于1）(5) ∫sinx dx = -cosx + C(6) ∫cosx dx = sinx + C(7) ∫sec^2x dx = tanx + C(8) ∫csc^2x dx = -cotx + C(9) ∫secx tanx dx = secx + C(10) ∫cscx cotx dx = -cscx + C(11) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C2.分部积分法分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，可以通过将一个积分式子拆分成两部分来求解。
∫u dv = uv - ∫v du其中，u和v是函数，∫u dv和∫v du分别表示u和v的不定积分。
3.三角函数的积分公式(1) ∫sin(ax) dx = -1/a cos(ax) + C(2) ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C(3) ∫tan(ax) dx = -ln，cos(ax)，/a + C （a不等于0）(4) ∫cot(ax) dx = ln，sin(ax)，/a + C （a不等于0）(5) ∫sec(ax) dx = (1/a) ln，sec(ax) + tan(ax)， + C(6) ∫csc(ax) dx = (1/a) ln，csc(ax) - cot(ax)， + C4.指数函数和对数函数的积分公式(1) ∫e^ax dx = (1/a) e^ax + C （a不等于0）(2) ∫ln(ax) dx = x(ln(ax) - 1) + C5.三角函数与指数函数的积分公式(1) ∫e^x sin(x) dx = (1/2) e^x (sinx - cosx) + C(2) ∫e^x cos(x) dx = (1/2) e^x (sinx + cosx) + C(3) ∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^axcos(bx))/(a^2 + b^2) + C(4) ∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^axsin(bx))/(a^2 + b^2) + C以上只是一部分常用的不定积分公式，还有许多其他的公式可以根据需要进行学习。
不定积分公式
解
2x 2 1 dx x 2 ( x 2 1)
( x 2 1) x 2 dx
x 2 ( x 2 1)
x 2 1 dx
x2
dx
x 2 ( x 2 1)
x 2 ( x 2 1)
dx 1 dx x2 x2 1
1 arctan x C. x
例 ７ 求
x 4 dx. x2 1
当 x < 0 时, 因为 ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln( x) C . x
综合以上两种情况,当 x 0 时,得
1 dx ln | x | C . x
例 2 求不定积分、
(1) x 2 xdx ;
1
(2)
dx .
x
解 先把被积函数化为幂函数得形式,再利用基本
e xdx 2 sin xdx 2 x xdx
ex
C1
2( cos
x
5
C
2
)
2
2 5
5
x2
C3
ex
2 cos
x
4 5
x
2
(C1
2C 2
2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C .
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数, 但就是由于
任意常数之和还就是任意常数所, 以只需在最后
sin 2 x
1 dx 1 dx
cos 2 x
sin 2 x
tan x cot x C.
积分公式, 得
(1)
x2
xdx
5
x 2 dx
1
5 1
x2
C
2
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1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
解 :
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
3x2
dx
(1 x 1 1 1 )dx 1 x2 x ln | x | 1 C
3 3 x x2
63
x
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2
1
x2
dx
arctan x a
C
⑾
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
例5 求 1 dx
解 :
1
x2
dx
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1 x
a
dx ln
xdx
|x
ax
|
C
C
ln a
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
x 5
x 2dx
2
3
x2
C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1 x2
解:
1 dx arcsin x C 1 x2
又
1 1 x2
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那 么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有 F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区 间上的一个原函数。
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例1 求 x 12 dx
解 : x 12 dx (x2 2x 1)dx x2dx 2 xdx dx
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x6是x5的一个原函数
6
∴ x5dx 1 x6 C 6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sin xdx cosx C
例10
求
x4 1 x2 dx
解:
x4 1 x2
dx
x4 1
1 x2
1
1 x2
dx
(x2 1)dx
1 1 x2
dx
1 x3 x arctanx C 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3x exdx (3e)x dx (3e)x C 3x ex C
ln(3e)
1 ln 3
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用
例7 求∫(9x2＋8x)dx
解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x