北师大版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．１．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝２R.a２＝b２＋c２—２bc cos_A；b２＝c２＋a２—２ca cos_B；c２＝a２＋b２—２ab cos_C.变形（１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C；（２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；（３）错误!＝错误!＝２R.cos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝错误!.（１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）；（２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A；（３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．３．实际问题中的常用角（１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）．（２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等．（３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．错误!１．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin Ｂ．２．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos Ｂ．３．内角和公式的变形（１）sin（A＋B）＝sin C；（２）cos（A＋B）＝—cos Ｃ．４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（）（２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞Ｂ．（）（３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（）（４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a ＝１，则b＝（）Ａ．２Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.]３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（）Ａ．无解Ｂ．两解Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定B[∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!，∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜Ｂ．∴此三角形有两解．]４．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝３∶２∶４，则cos C的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!D[由题意可知a∶b∶c＝３∶２∶４，不妨设a＝３k，b＝２k，c＝４k，则cos C＝错误!＝错误!＝—错误!.]５．在△ABC中，a＝２，c＝错误!，B＝３0°，则S△ABC＝________；b＝________.错误!１[S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!×２×错误!×错误!＝错误!.由b２＝a２＋c２—２ac cos B＝４＋３—４错误!cos ３0°＝１，得b＝１．]利用正、余弦定理解三角形【例１】（２0１6·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知２cos C（a cos B＋b cos A）＝c.（１）求C；（２）若c＝错误!，△ABC的面积为错误!，求△ABC的周长．[解] （１）由已知及正弦定理得２cos C（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin C，即２cos C sin（A＋B）＝sin C，故２sin C cos C＝sin Ｃ．可得cos C＝错误!，所以C＝错误!.（２）由已知得错误!ab sin C＝错误!.又C＝错误!，所以ab＝6．由已知及余弦定理得a２＋b２—２ab cos C＝7，故a２＋b２＝１３，从而（a＋b）２＝２５，所以a＋b＝５（负值舍去）．所以△ABC的周长为５＋错误!.[规律方法] 解三角形的常见题型及求解方法（１）已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及错误!＝错误!＝错误!，可先求出角C及b，再求出c.（２）已知两边b，c及其夹角A，由a２＝b２＋c２—２bc cos A，先求出a，再求出角B，Ｃ．（３）已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，Ｃ．（４）已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理错误!＝错误!可求出另一边b的对角B，由C＝π—（A＋B），可求出角C，再由错误!＝错误!可求出c，而通过错误!＝错误!求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．（sin A＋sin B）＝c（sin C＋错误!sin B），则角A等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝３DB，cos A＝错误!，cos∠ACB＝错误!，BC＝１３．１求cos B的值；２求CD的长．（１）D[由正弦定理可得（a—b）（a＋b）＝c（c＋错误!b），即b２＋c２—a２＝—错误!bc，由余弦定理可得cos A＝错误!＝—错误!，又A∈（0，π），则A＝错误!，故选Ｄ．]（２）[解] １在△ABC中，因为cos A＝错误!，A∈（0，π），所以sin A＝错误!＝错误!.同理可得sin∠ACB＝错误!.所以cos B＝cos[π—（A＋∠ACB）]＝—cos（A＋∠ACB）＝sin A sin∠ACB—cos A cos∠ACB＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.２在△ABC中，由正弦定理得，AB＝错误!sin∠ACB＝错误!×错误!＝２0．又AD＝３DB，所以BD＝错误!AB＝５，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝错误!＝错误!＝9错误!.判断三角形的形状【例２】（１）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若错误!＝错误!，（b＋c＋a）（b＋c—a）＝３bc，则△ABC的形状为（）Ａ．直角三角形Ｂ．等腰非等边三角形Ｃ．等边三角形Ｄ．钝角三角形（２）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c—a cos B＝（２a—b）cos A，则△ABC的形状为（）Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰或直角三角形（１）C（２）D[（１）∵错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c—a）＝３bc，∴b２＋c２—a２＝bc，∴cos A＝错误!＝错误!＝错误!.∵A∈（0，π），∴A＝错误!，∴△ABC是等边三角形．（２）因为c—a cos B＝（２a—b）cos A，C＝π—（A＋B），所以由正弦定理得sin C—sin A cos B＝２sin A cos A—sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B—sin A cos B＝２sin A cos A—sin B cos A，所以cos A（sin B—sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝错误!或B＝A或B＝π—A（舍去），所以△ABC为等腰或直角三角形．][规律方法] 判定三角形形状的方法（１）化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系．（２）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．则该三角形的形状是（）Ａ．直角三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．等边三角形Ｄ．钝角三角形（２）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin２错误!＝错误!，则△ABC的形状一定是________．（１）A（２）直角三角形[（１）因为错误!＝错误!，由正弦定理得错误!＝错误!，所以sin ２A＝sin ２Ｂ．由错误!＝错误!，可知a≠b，所以A≠Ｂ．又A，B∈（0, π），所以２A＝１80°—２B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．（２）由题意，得错误!＝错误!，即cos B＝错误!，又由余弦定理，得错误!＝错误!，整理得a２＋b２＝c２，所以△ABC为直角三角形．]与三角形有关的最值（范围）问题【例３】（２0１9·广州调研）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝２，a cos B＝（２c—b）cos Ａ．（１）求角A的大小；（２）求△ABC的周长的最大值．[解] （１）法一：由已知，得a cos B＋b cos A＝２c cos Ａ．由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝２sin C cos A，即sin（A＋B）＝２sin C cos Ａ．因为sin（A＋B）＝sin（π—C）＝sin C，所以sin C＝２sin C cos Ａ．因为sin C≠0，所以cos A＝错误!.因为0＜A＜π，所以A＝错误!.法二：由已知及余弦定理，得a×错误!＝（２c—b）×错误!，即b２＋c２—a２＝bc，所以cos A＝错误!＝错误!.因为0＜A＜π，所以A＝错误!.（２）法一：由余弦定理a２＝b２＋c２—２bc cos A，得bc＋４＝b２＋c２，即（b＋c）２＝３bc＋４．因为bc≤错误!２，所以（b＋c）２≤错误!（b＋c）２＋４，即b＋c≤４（当且仅当b＝c＝２时等号成立），所以a＋b＋c≤6．故△ABC的周长的最大值为6．法二：因为错误!＝错误!＝错误!，且a＝２，A＝错误!，所以b＝错误!sin B，c＝错误!sin Ｃ．所以a＋b＋c＝２＋错误!（sin B＋sin C）＝２＋错误!sin B＋sin错误!＝２＋４sin错误!.因为0＜B＜错误!，所以当B＝错误!时，a＋b＋c取得最大值6．故△ABC的周长的最大值为6．[规律方法] 求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．B＝２a＋b，若△ABC的面积S＝错误!c，则ab的最小值为（）Ａ．２8 Ｂ．３6Ｃ．４8 Ｄ．５6（２）（２0１9·河北五校联考）在△ABC中，AB＝２，C＝错误!，则AC＋错误!BC的最大值为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．３错误!Ｄ．４错误!（１）C（２）D[（１）在△ABC中，２c cos B＝２a＋b，由正弦定理，得２sin C cos B＝２sin A＋sin Ｂ．又A＝π—（B＋C），所以sin A＝sin[π—（B＋C）]＝sin （B＋C），所以２sin C cos B＝２sin（B＋C）＋sin B＝２sin B cos C＋２cos B sin C＋sin B，得２sin B cos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝—错误!，又0＜C＜π，所以C＝错误!.由S＝错误!c＝错误! ab sin C＝错误!ab×错误!，得c＝错误!.由余弦定理得，c２＝a２＋b２—２ab cos C＝a２＋b２＋ab≥２ab ＋ab＝３ab（当且仅当a＝b时取等号），所以错误!２≥３ab，得ab≥４8，所以ab的最小值为４8，故选Ｃ．（２）∵C＝错误!，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝错误!.由正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝４，∴BC＝４sin A，AC＝４sin B，∴AC＋错误!BC＝４sin B＋４错误!sin A＝４sin错误!＋４错误!sin A ＝２cos A＋6错误!sin A＝４错误!sin（A＋φ）错误!，∴当A＋φ＝错误!＋２kπ（k∈Z）时，AC＋错误! BC取得最大值，为４错误!.故选Ｄ．]解三角形的实际应用【例４】（１）江岸边有一炮台高３0 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为４５°和60°，而且两条船与炮台底部连线成３0°角，则两条船相距________m.（２）某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为４５°，距离A为１0海里的C处，并测得渔船正沿方位角为１0５°的方向，以１0海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以１0错误!海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东________．（１）１0错误!（２）7５°[（１）如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为４５°，设A处观测小船D的俯角为60°，连接BC，BＤ．R t△ABC，∠ACB＝４５°，可得BC＝AB＝３0 m，R t△ABD中，∠ADB＝60°，可得BD＝错误!＝１0错误!m，在△BCD中，BC＝３0 m，BD＝１0错误!m，∠CBD＝３0°，由余弦定理可得：CD２＝BC２＋BD２—２BC·BD cos ３0°＝３00，∴CD＝１0错误!m.（２）如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝１0错误!t，CB＝１0t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB２＝AC２＋BC２—２AC·BC·cos １２0°，可得（１0错误!t）２＝１0２＋（１0t）２—２×１0×１0t cos １２0°.整理得２t２—t—１＝0，解得t＝１或t＝—错误!（舍去），∴舰艇需１小时靠近渔船，此时AB＝１0错误!，BC＝１0．在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，∴sin∠CAB＝错误!＝错误!＝错误!.∴∠CAB＝３0°.所以舰艇航向为北偏东7５°.][规律方法] 利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：（１）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（２）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解．偏北３0°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北7５°的方向上，仰角为３0°，则此山的高度CD＝______m.１00错误![由题意，在△ABC中，∠BAC＝３0°，∠ABC＝１80°—7５°＝１0５°，故∠ACB＝４５°.又AB＝600 m，故由正弦定理得错误!＝错误!，解得BC＝３00错误!m.在R t△BCD中，CD＝BC·ta n ３0°＝３00错误!×错误!＝１00错误!（m）．]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos 错误!＝错误!，BC＝１，AC＝５，则AB＝（）Ａ．４错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!A[因为cos 错误!＝错误!，所以cos C＝２cos２错误!—１＝２×错误!２—１＝—错误!.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB２＝AC２＋BC２—２AC×BC×cos C＝５２＋１２—２×５×１×—错误!＝３２，所以AB＝４错误!.故选Ａ．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为错误!，则C＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[因为S△ABC＝错误!ab sin C，所以错误!＝错误!ab sin Ｃ．由余弦定理a２＋b２—c２＝２ab cos C，得２ab cos C＝２ab sin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝错误!.故选Ｃ．]３．（２0１6·全国卷Ⅲ）在△ABC中，B＝错误!，BC边上的高等于错误!BC，则cos A＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!C[法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝错误!a·错误!a＝错误!ac sin B，∴c＝错误!a.由余弦定理得b２＝a２＋c２—２ac cos B＝a２＋错误!a２—２×a×错误!a×错误!＝错误!a２，∴b＝错误!a.∴cos A＝错误!＝错误!＝—错误!.故选Ｃ．法二：同法一得c＝错误!a.由正弦定理得sin C＝错误!sin A, 又B＝错误!，∴sin C＝sin错误!＝错误!sin A，即错误!cos A＋错误!sin A＝错误!sin A，∴ta n A＝—３，∴A为钝角．又∵１＋ta n２A＝错误!，∴cos２A＝错误!，∴cos A＝—错误!.故选Ｃ．]４．（２0１6·全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝错误!，cos C ＝错误!，a＝１，则b＝________.错误![因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝错误!，cos C＝错误!，所以sin A＝错误!，sin C＝错误!，所以sin B＝sin（π—A—C）＝sin（A＋C）＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.又a＝１，所以由正弦定理得b＝错误!＝错误!＝错误!×错误!＝错误!.]５．（２0１7·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为错误!.（１）求sin B sin C；（２）若6cos B cos C＝１，a＝３，求△ABC的周长．[解] （１）由题设得错误!ac sin B＝错误!，即错误!c sin B＝错误!.由正弦定理得错误!sin C sin B＝错误!.故sin B sin C＝错误!.（２）由题设及（１）得cos B cos C—sin B sin C＝—错误!，即cos（B＋C）＝—错误!.所以B＋C＝错误!，故A＝错误!.由题意得错误!bc sin A＝错误!，a＝３，所以bc＝8．由余弦定理得b２＋c２—bc＝9，即（b＋c）２—３bc＝9．由bc＝8，得b＋c＝错误!.故△ABC的周长为３＋错误!.。